初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试单元测试巩固练习

北师大版九年级上   单元测试

第1单元

班级________  姓名________

一、单选题

1．如图，P是矩形的边上一个动点，矩形的两条边的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线和的距离之和是（    ）

A． B． C． D．无法确定

2．如图，将长方形纸片折叠，使点落在边上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分展开是一个正方形，其数学原理是（    ）

A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形

C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形

3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ）

A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分

C．对角线相等 D．对角线平分一组对角

4．在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（    ）

A．若，则四边形是矩形

B．若垂直平分，则四边形是矩形

C．若，则四边形是菱形

D．若平分，则四边形是菱形

5．如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（     ）

A．60° B．30° C．45° D．90°

6．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（    ）．

A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分

7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（    ）

A． B． C．5 D．4

8．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断

9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（　　）

A．8 B．8 C．4 D．6

10．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD=120° ；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④．其中正确的结论有（     ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．如图，是菱形的对角线、的交点，、分别是、的中点．下列结论：①；②四边形也是菱形；③四边形的面积为；④；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（        ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

12．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）

A．对角线相等 B．对角线平分一组对角

C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直

13．如图，丝带重叠的部分一定是（     ）

A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．都有可能

14．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为(　　)

A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm

15．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（　　）

A．每一条对角线平分一组对角

B．对角线相等

C．对角线互相平分

D．对角线互相垂直

二、填空题

16．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为___cm．

17．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝_____．

18．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为______cm2．

19．如图所示，直线经过正方形的顶点，分别过顶点、作于点、于点，若，，则的长为______．

20．如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为_____．

21．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为_______________．

22．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件____，使平行四边形ABCD是矩形．

三、解答题

23．（问题情境）

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

（探究展示）

（1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由；

（2）AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（拓展延伸）

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．

24．如图，若四边形的对角线与相交于点O，且，则四边形是正方形吗？

25．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在上，且．求证：四边形是矩形．

26．一个菱形的周长是，一条对角线长，求：

（1）另一条对角线的长度；

（2）菱形的面积．

27．如图，在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为，则当t为何值时，四边形是矩形？

参考答案

1．A

2．A

3．C

4．D

5．C

6．A

7．A

8．B

9．D

10．C

11．B

12．A

13．A

14．B

15．C

16．

17．

18．24

19．1或7

20．625

21．4

22．∠ABC＝90°

23．解：（1）AM=AD+MC．理由如下：

如图1（1）所示，分别延长AE，BC交于点N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴ADBC，

∴∠DAE=∠ENC，

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE，

∴MA=MN，

∵E是CD的中点，

∴DE=CE，

在ADE与NCE中，

∴ADE≌NCE（AAS），

∴AD=NC，

∵MN=NC+MC，

∴AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM成立．理由如下：

如图1（2）所示，将ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴ABDC，∠D=∠ABM=90°，

∴∠AED=∠BAE，

∵旋转，

∴∠F=∠AED，∠FAB=∠EAD，BF=ED，∠D=∠ABF=90°，

∴∠ABM＋∠ABF=180°，

∴点F、B、M在同一直线上，

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE，

∴∠BAF=∠MAE，

∵∠BAE=∠BAM+∠MAE，

∴∠AED=∠BAM+∠BAF=∠FAM，

∴∠F=∠FAM，

∴AM=FM，

∵FM=BF+BM

∴AM=DE+BM；

（3）①结论AM=AD+MC仍然成立，理由如下：

①如图2（1），延长、交于点，

四边形是矩形，

．

．

平分，

．

．

．

在ADE与PCE中，

∴ADE≌PCE（AAS），

．

∵MP=PC+MC，

∴AM=AD+MC；

②结论不成立，理由如下：

假设成立．

过点作，交的延长线于点，如图2（2）所示．

四边形是矩形，

，．

，

．

．

．

，

．

，

，

．

．

．

，

．

，

．与条件“ “矛盾，故假设不成立．

不成立．

24．解：四边形ABCD是正方形，

理由是：∵OA＝OB＝OC＝OD，

∴AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是矩形，

∵，

∴OA2＋OB2＝AB2，

∴∠AOB＝90°，

即AC⊥BD，

∴四边形ABCD是正方形．

25．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°；AC=BD，AO=AC，BO=BD；
∴AO=BO；而AM=BP，
∴AM：AO=BP：BO，
∴MP∥AB；

同理可证：QN∥CD；
∵AB∥CD，
∴MP∥QN；

同理可证：MQ∥PN，
∴四边形MPNQ是平行四边形；
∵MP∥AB，PN∥BC，∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴四边形MPNQ是矩形．

26．解：（1）∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC=CD=AD，BD=60cm，BO=DO=30cm，AO⊥BO，

∵C菱形=200cm，

∴4AB=200cm，

∴AB=50cm，

在Rt△AOB中，由勾股定理cm，

∴AC=2AO=80cm；

（2）S菱形=cm2．

27．解：由题意得：AP=4t，DQ=20-t；

∵四边形APQD是矩形，

∴AP=DQ，即4t=20-t，

解得：t=4（s）．

即当t=4s时，四边形APQD是矩形．