初中苏科版2.4 线段、角的轴对称性课后作业题

课  时  练

2.4线段、角的轴对称性

1．和三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）

A．三条角平分线的交点 

B．三边中线的交点 

C．三边上高所在直线的交点 

D．三边的垂直平分线的交点

2．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是　   　．

4．如图，△ABC中，AB+AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为　 　cm．

5．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　      　．

6．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是　   　．

7．如图，△ABC的周长是12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是　   　．

8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝15，且BD：DC＝3：2，则D到边AB的距离是　 　．

9．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　   　cm．

10．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．

（1）求∠DAF的度数；

（2）若△DAF的周长为10，求BC的长．

11．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝2∠C，BC边的垂直平分线交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD，求∠ADB的度数．

12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB．

（1）求∠A；

（2）若DE＝2cm，BD＝4cm，求AC的长．

13．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．

（1）若AB＝21cm，则△CMN的周长＝　     　；（第一问直接写答案）

（2）若∠MFN＝80°，求∠MCN的度数．

14．如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．

（1）求证：AB＝AD；

（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

15．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝16，BC＝12．

（1）△ABD与△CBD的面积之比为　    　；

（2）若△ABC的面积为70，求DE的长．

16．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12．求DE的长．

17．已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．

（1）作出边AC的垂直平分线DE；

（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．

18．如图，△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．

19．如图，某学校（A点）与公路（直线l）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等．

（1）试用直尺和圆规在图中作出点C（不写作法，保留痕迹）；

（2）求出商店C与车站D之间的距离．

20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．

（1）求BC的长；

（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．

参考答案

1．D．

2．D．

3．15．

4．6．

5．4：5：6．

6．15．

7．18．

8．6．

9．19．

10．解：（1）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴∠DAB＝∠ABC＝30°，

∵FG是AC的垂直平分线，

∴FA＝FC，

∴∠FAC＝∠ACB＝50°，

∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAB+∠FAC）＝20°；

（2）∵△DAF的周长为10，

∴AD+DF+FA＝10，

∴BC＝BD+DF+FC＝AD+DF+FC＝10．

11．解：∵∠ABC＝2∠C，

∴设∠C＝α，则∠ABC＝2α，

∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠C＝120°，

∴2α+α＝120°，

∴α＝40°，

∴∠C＝40°，

∵BC边的垂直平分线交AC边于点D，

∴BD＝CD，

∴∠DBC＝∠DCB＝40°，

∴∠ABD＝40°，

∴∠ADB＝180°﹣60°﹣40°＝80°．

12．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，

∴∠A＝∠DBE．

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠DBE．

∵∠C＝90°，

∴∠A＝∠DBE＝∠CBD，

∴∠A＝30°；

（2）∵∠C＝90°，

∴DC⊥BC，

∵DE⊥BA，BD平分∠ABC，DE＝DC＝2cm，

∴BD＝AD＝4cm，

∴AC＝AD+DC＝6cm．

13．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，

∴AM＝CM，BN＝CN，

∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝21cm，

故答案为：21cm；

（2）∵∠MFN＝80°，

∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣80°＝100°，

∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，

∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝100°，

∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣100°＝80°，

∵AM＝CM，BN＝CN，

∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，

∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×80°＝20°．

14．（1）证明：连接AC，

∵点E是BC的中点，AE⊥BC，

∴AB＝AC，

∵点F是CD的中点，AF⊥CD，

∴AD＝AC，

∴AB＝AD．

（2）∴∠EAF＝∠BAE+∠DAF．

证明∵由（1）知AB＝AC，

即△ABC为等腰三角形．

∵AE⊥BC，（已知），

∴∠BAE＝∠EAC（等腰三角形的三线合一）．

同理，∠CAF＝∠DAF．

∴∠EAF＝∠EAC+∠FAC＝∠BAE+∠DAF．

15．解：（1）∵BD是△ABC的角平分线，

∴△ABD与△CBD的面积之比为4：3；

（2）∵△ABC的面积为70，△ABD与△CBD的面积之比为4：3，

∴△ABD的面积为40，又AB＝16，

则DE＝5．

16．解：如图，过点D作DF⊥BC于F，

∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE＝DF，

S△ABC＝×16•DE+×12•DF＝70，

所以，14DE＝70，

解得DE＝5．

17．解：（1）如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；

（2）如图，连接CE，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE＝CE，

∴∠A＝∠ACE，

∵AE＝BC，

∴CE＝BC，

∴∠B＝∠CEB，

设∠A＝x，

则∠CEB＝∠A+∠ACE＝x+x＝2x，

在△BCE中，∠BCE＝180°﹣2×2x＝180°﹣4x，

∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝x+180°﹣4x＝120°，

解得x＝20°，

即∠A＝20°．

18．解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

同理AG＝CG，

∴△AEG的周长为AE+AG+EG＝BE+EG+CG＝BC＝10．

19．解：（1）如图所示：

（2）作AB⊥l于B点，则AB＝300米．

连接AC．

∵点C在AD的垂直平分线上，

∴CD＝CA．

∵AB＝300，AD＝500，

∴BD＝400．

设CD＝x，则AC＝x，BC＝400﹣x．

∴3002+（400﹣x）2＝x2．

解得 x＝312.5．

即 商店C与车站D之间的距离CD＝312.5米．

20．解：（1）如图，

∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，

∴AD＝BD，AE＝CE，

∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC，

∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE＝6cm，

∴BC＝6cm；

（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，

∴OA＝OC＝OB，

∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC＝16，

∴OC+OB＝16﹣6＝10cm，

∴OC＝5cm，

∴OA＝OC＝OB＝5cm．