人教版六年级上册8 数学广角——数与形教案设计

数与形

第2课时  利用图形求等比数列之和

【教学内容】 人教版小学数学教材六年级上册第107～108页例2。

【教学目标】

1．在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。

2．让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。

【重 难 点】 探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。

【教学准备】 教学课件。

【教学过程】

一、创设情景——提出问题

情景1、（播放一段拉面师傅做拉面的视频）相信同学们都见过拉面师傅做拉面，我们来再现一次。拉面师傅将一根很粗的面条，拉伸，捏合，如此反复几次，就拉成了很多根细面条，这样捏合8次后可拉出多少根面条？

前8次捏合成的面条根数构成了一个数列:(等比数列)

1，2，4，8，16，32，64，128

情景2、庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”

意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。可以得到一个数列……

二、教学例2：出示1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64……

师：观察这个算式，它有什么特点？

生：后面一个分数是前一个分数的1/2.

师：算式中的省略号是什么意思？

生：后边还有很多数，无数个。

师：“无数个”就是没有尽头的意思。你能接着还说几个吗？按照这样的规律没有尽头地加下去，它的和等于多少？

师：没感觉是吧？没关系！同学们可以借助图形找找感觉。

出示练习纸：

师：请你从上面3个图形中任选一个，然后在你选择的图形中找到它的1/2，在1/2的基础上加上它的1/4，再加上它的1/8，按算式的要求一直加下去，看看能不能找到和是多少。

学生操作，教师巡视、指导，然后在全班交流。

出示学生作品1（圆形）

师：仔细观察，这位同学先通过平分找到圆的1/2，然后在1/2的基础上做什么？

生：继续平分，加上1/4、1/8、1/16、1/32。

师：如果继续往下加，下一个数加在哪里？

生：加在空白部分。

出示学生作品2（线段图）

师：这位同学是用线段图表示的，他先找到线段的1/2，然后加上1/4，再加上1/8、1/16、1/32、1/64。算式中的省略号表示哪里？

生：1/64右边的空白处。

师：感受一下，这样一直加下去，和应该是多少？

有几位学生指出和等于1，大部分学生认为和无限接近于1.

师：老师用正方形再来演示一下加的过程。   课件出示（正文形演示）

师：按这样的规律加下去，和是多少？

生：1

生：无限接近于1。（学生意见不统一，相互争论起来。）

师：有的同学认为等于1；有的同学觉得越来越接近1，但不等于1。意见不一致，我们不着急得到最终结果，先来看看同学们画图的收获，刚开始同学们看到这个算式一点感觉都没有，不知道和是多少。通过画图，同学们知道它的和与谁有关系？

生：1。

师：无论是觉得等于1，还是觉得和1差一点，起码我们有了一个方向，觉得结果与1有关系！这就是图的好处，它能帮助我们找到一种感觉，一个方向。但是，我们还有困惑，结果到底是等于1，还是接近于1？你们觉得图能回答这个问题吗？

生：不能。

师：这就是图的缺陷，它不能准确地、精细化地表示结果。农村有句俗语——“喇叭不响换法吹”，所以当图解决不了的时候，我们可以用数进行推理。既然这个“和”与1有关系，我们就从1开始想。

课件出示：  1=1/2+1/2

师：我们可以把1想象成1/2+1/2，成立吗？然后把第二个1/2看成是1/4+1/4。成立吗？

课件出示：1=1/2+1/2

           =1/2+1/4+1/4

师：继续将第二个1/4分成1/8+1/8，像这样一层层分下去。

课件出示：1=1/2+1/2

           =1/2+1/4+1/4

           =1/2+1/4+1/8+1/8

           =1/2+1/4+1/8+1/16+1/16

           =1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/32

           =1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/64   

师：第二个1/64又可以分成……（生：两个1/128相加）。

师：按这样的规律继续往下分，分得完吗？

生：分不完，能分无数个。

师：如果是无数个，没有尽头，可不可以用省略号表示？（可以）

课件出示：1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……

师：读一读这个算式。（生读）

师：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……这个算式是由谁分出来的？

生：由1分出来的。

师：那么，1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……等于几？

生：等于1.

师：可能有很多同学还没有完全理解这个算式为什么等于1，因此在情感上还无法接受这个结果，没关系！因为这个问题太难了，同学们到了初中、高中时还要继续学习。

今天我们研究这个问题的目的，是在寻求它等于几的过程中体会数和形之间的关系，回顾一下刚才的探究过程，刚开始同学们看到这样一个算式，不知道等于几，谁帮助我们找到了感觉，找到了“和”与1有关系?  

生：图形

师：图形帮助我们发现按照这样的规律加下去，和越来越接近1，甚至有的同学想到了等于1。当图形不能精确地表示出和到底是等于1，还是接近于1的时候，谁又帮助我们找到了准确的结果。

生：数

师：是的，数又帮助我们通过推理得出和就等于1。同学们，数和形有关系，你们觉得数和形之间有关怎样的关系？

生：关系密切，你中有我，我中有你，互相帮助……

师：关系密切，你中有我、我中有你的本质，在于它们可以相互帮助。其实，在我们以前的学习中，有很多地方体现出数形之间互相帮助的特点。

三、回顾以前学习中数形互助的例子。

课件出示：1/2*1/5   b=2a-3……

师：我们一起来回忆，当遇到比较难的问题时，比如学到1/2*1/5的计算过程时，还有学到b=2a-3时，我们通过画图帮助理解抽象的数量关系；两条直线之间距离相等，就说明了这两条直线是平行关系；我们学习几何时，角因为有了度数，我们就知道了它是什么角。 这些例子都体现出了数与形之间互相帮助，在实际生活中，也有很多地方用到数形互助来解决问题的。

四、深入体会数无形时少直观，形无数是难入微。

1、以形助数，解决销售问题（课件出示）

师：这是某超市2017年的饼干销售量统计表。如果你是超市经理，下一年你会继续进货卖这种饼干吗？

生：进吧。

师：只看数据，感觉不太强烈。把这些数据制成折线统计图，大家再来感受一下。（PPT）

师：请问经理，继续进货吗？为什么?

生：进货。因为销售量越来越多，呈上升的趋势。

师：统计图呈现了销售量上升的趋势，所以大家决定继续进货，接着卖。在解决这个问题的时候，是谁帮助了谁？

生：图在帮助数。

2、以数解形，解决运输问题（课件出示）

师：用图中这辆卡车运沙坑里的沙子，一次能将沙子全部运走吗？老师把车厢的形状和沙坑的形状简化出来，请你判断一下。

生：不知道。老师，能给我们数据吗？

师：想要看看能不能拉走，需要借助数据算一算，是吗？（课件出示）

生：能拉走，车厢的容积是15立方米，沙坑的容积是14.7立方米。

师：解决这个问题时，又是谁帮助了谁？

生：数帮助了形。

师：同学们思考一下，在数与形互助的过程中，数的优势是什么？形的优势是什么？

生：数是准确的，形能一目了然。

师：数能更精准地表达事物，形能更加直观地表达事物。其实，华罗庚爷爷很早就说过这样一句话：“数缺形是少直观，形少数时难入微”。其实，跳出数学看我们的生活，像这样完美结合的事物有很多。如花和蜜蜂，花借蜜蜂传播花粉，蜜蜂靠采蜜维持生存等等，大自然中像这样相互依存、相互帮助的事情有很多，只有这样相互帮助，我们的大自然才更加美好，社会会更和谐。好，这节课就上到这里。

附 板书设计：

                   数 与 形

                 准确    直观