2021-2022学年山东省济南市济阳区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省济南市济阳区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若不等式组的解集为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知点与关于坐标原点对称，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若一次函数的图象过点、，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如果，那么代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修，求甲队每天修路的长度．为了解决上述问题，佳佳列出了两个方程：，其中(    )

A. 表示甲队修所用的时间 B. 表示甲队每天修路的长度
C. 表示乙队每天修路的长度 D. 表示乙队修所用的时间

10. 如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、边于点、若点为的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 若点在第二象限，则的取值范围是______．
14. 分解因式：          ．
15. 若，，则______．
16. 在中，，，则______．
17. 如图，正方形的边在正五边形的边上，则______．

18. 如图，的顶点，分别在轴，轴上，，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共13小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 因式分解：．
20. 因式分解：．
21. 先化简，再求值，其中．
22. 解不等式：，并在数轴上表示其解集．
     
23. 解不等式组：．
24. 解方程：．
25. 如图，在▱中，点、分别在，上，且，连接、
    求证：．

26. 在四边形中，已知，，，且于点试求：
    的长；
    的度数．
    四边形的面积．

27. 
    在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使得点移至图中的点的位置．
    平移后所得的顶点的坐标为______，的坐标为______；______；
    平移过程中扫过的面积为______；
    点是直线上的一动点，求出线段的最小值．
28. 某商场在“六一”儿童节来临之际用元购进、两种玩具个，购买玩具与购买玩具的费用相同．已知玩具的单价是玩具单价的倍．
    求、两种玩具的单价各是多少？
    若计划用不超过元的资金再次购进、两种玩具共个，已知、两种玩具的进价不变，求种玩具最多能购进多少个？
29. 阅读以下例题：解不等式：．
    解：当，则，
    即可以写成：，解不等式组得：．
    当若，则，
    即可以写成：，解不等式组得：．
    综合以上两种情况：不等式解集：或．
    以上解法的依据为：当，则，或，．
    若，则， ______或， ______；
    请你模仿例题的解法，解不等式：
    ；
    ．
30. 如图，已知中，，于点，的平分线分别交，于点、．
    试说明是等腰三角形；
    若点恰好在线段的垂直平分线上，猜想：线段与线段的数量关系，并说明理由；
    在的条件下，若，求的面积．

31. 感知：
    如图，在等腰三角形中，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，过点作交的延长线于点，连接．
    则线段与的数量关系是______，的面积为______用含的式子表示；
    应用：
    如图，在一般的中，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，用含的式子表示的面积，并说明理由．
    拓展：
    如图所示，在等腰三角形中，，将边绕点顺时针旋转，当，连接，若的面积为，则的长为______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不能，因为；
B、不能，因为；
C、能，因为；
D、不能，因为．
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到三角形的形状．
解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转度后与原图形重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组的解集为，
，，
，，


，
故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，从而可得，，然后求出，的值，再代入式子中，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点与关于坐标原点对称，
，，
．
故选：．
直接利用关于原点对称点的性质两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过点、，
，
一次函数向右平移一个单位过，随的增大而增大，
不等式的解集是，
故选：．
根据平移的性质得出一次函数过点，然后根据一次函数的性质即可求得．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，平移的性质，根据平移的性质求得一次函数的图象过点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
，


，
故选：．
根据题意可得，，然后再把所求的式子进行提公因式，进行计算即可解答．
本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解提公因式法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
原式

．
故选：．
先将所求式子化简，再由已知得，整体代入即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质将所求式子化简及整体思想的应用．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是多边形的外角和的运用，明确正多边形的每个外角的度数边数是解题的关键．
任意多边形的外角和为，用除以即为多边形的边数．
【解答】

解：因为多边形的外角和为，
所以该多边形的边数．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修，
方程中，表示甲队每天修路的长度；
方程中，表示甲队修路所需时间或乙队修路所需时间．
故选：．
利用工作时间工作总量工作效率及工作效率工作总量工作时间，结合给出的各数量，即可找出，表示的含义，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长．
故选：．
利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
，
，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故选：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由旋转得：，，
．
故选：．
先根据勾股定理计算的长，由旋转的性质得是等腰直角三角形，并由勾股定理可得结论．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
根据题意可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底．
【解答】
解：，
，
．  

15.【答案】 

【解析】解：，
．
，
．
．
．
．
故答案为：．
根据等式的性质解决此题．
本题主要考查代数式化简，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作边上的高交的延长线于点，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据三角形的内角和定理求出顶角的度数并求出其邻补角为，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出腰上的高，然后利用三角形的面积公式计算即可得解．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作出腰上的高线，构造出含角的直角三角形是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：五边形为正五边形，
，
四边形为正方形，
，
．
故答案为：．
根据多边形内角和公式，计算出正五边形中，，正方形中，，即可．
本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意，
第一次旋转得到的坐标为，
第二次旋转得到的坐标为，
第三次旋转得到的坐标为，
第四次旋转得到的坐标为，
，
四次一个循环，
，
则第次旋转结束时，点的坐标为，
故答案为：．
探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第次旋转后矩形的位置是解题的关键．
 

19.【答案】解：

． 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用多项式乘多项式化简，再合并同类项，最后结合平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
 

21.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
则．
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

23.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
经检验：当时，．
这个方程的解为． 

【解析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为解决此题．
本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形性质得出，，求出，，得出平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，主要考查学生运用平行四边形的性质和判定进行推理的能力．
 

26.【答案】解：，
，
，，
，
的长为；
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
的度数为；
由题意得：
四边形的面积的面积的面积



，
四边形的面积为． 

【解析】根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质可得，再利用的结论进行计算即可解答；
根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

27.【答案】      

【解析】解：如图：

由图可得：平移后所得的顶点的坐标为，的坐标为，

故答案为：，，；

平移过程中扫过的区域如图：

由图可知：


，
平移过程中扫过的面积是，
故答案为：；

当时，线段取最小值，如图：

由图可知：的面积为平移过程中扫过的面积的一半，
，
，
，
，
即线段的最小值为．
画出图形，观察即可得到、的坐标，利用两点的距离公式即可求出；
用矩形面积减去个角上的直角三角形面积即可得答案；
由等面积法可得答案．
本题是几何变换综合题，考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

28.【答案】解：设种玩具的单价为元，则种玩具的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种玩具的单价是元，种玩具的单价是元；
设购进种玩具个，则购进种玩具个，
由题意得：，
解得：，
种玩具最多能购进个，
答：种玩具最多能购进个． 

【解析】设种玩具的单价为元，则种玩具的单价为元，由“用元购进、两种玩具个，购买玩具与购买玩具的费用相同”，列出分式方程，解方程即可；
设购进种玩具个，则购进种玩具个，由题意：用不超过元的资金再次购进、两种玩具共个，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

29.【答案】   

【解析】解：若，则，或，，
故答案为：，；
当，则，
即可以写成：，解不等式组得：，
当，则，
即可以写成：，解不等式组得：，
综合以上两种情况：不等式解集：或；
当，则，
即可以写成：，解不等式组得：，
当，则，
即可以写成：，解不等式组得：，
综合以上两种情况：不等式解集：．
利用有理数的乘法法则，即可解答；
仿照例题的思路，分两种情况，进行计算即可解答；
仿照例题的思路，分两种情况，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

30.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
；
，，，
，
，
，
的面积

，
的面积为． 

【解析】根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，，从而利用等角的余角相等可得，然后再利用对顶角相等可得，最后根据等角对等边即可解答；
根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再利用的结论可得，然后利用含度角的直角三角形的性质，即可解答；
在中，利用和的结论可得，，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，含度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
 

31.【答案】   

【解析】解：由题意得：≌，
，
，
故答案是：，；
如图，

，理由如下：
作于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
如图，

作于，作于，
由知：≌，
，，
，
，
，
，
，
，，
在中，，，
．
可证明：≌，进而得出结果；
可证明≌，进而求得结果；
作于，作于，≌，进而求得，，，进一步求得结果．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三等角”模型．