2021-2022学年山东省威海市文登区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省威海市文登区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在算式的中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是(    )

A. 加号 B. 减号 C. 乘号 D. 除号

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 四边形是平行四边形，下列说法错误的是(    )

A. 当时，四边形是矩形
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当平分时，四边形是菱形

6. 若实数，满足，且，恰好是等腰的两条边的长，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D. 或

7. 用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在正方形网格中有个格点三角形，分别是：，，，，，其中与相似的三角形是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下表是某公司年月份至月份的收入统计表．其中，月份和月份被墨水污染．若月份与月份的增长率相同，设它们的增长率为，根据表中的信息，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 如果代数式有意义，那么的取值范围是______．
12. 若是方程的一个根，则的值为______．
13. 如图，在中，，分别是，上的点，且若，，，则的值为______．

14. 如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为，小正方形的面积为，则矩形的宽为______．

15. 如图，一块三角形余料，它的边，高现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为______．

16. 已知菱形，分别以点，，，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，若，，则图中阴影部分的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 用适当的方法解下列方程：
    ；
    ．
19. 已知，，求下列代数式的值：
    ；
    ．
20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
    求的取值范围．
    设出、是方程的两根，且，求的值．
21. 已知：在中，，分别是，边上的高，连接．
    求证：∽．

22. 为了吸引游客，某旅游景点推出团体票，收费标准如下：如果团队人数不超过人，每张票元；如果超过人，每增加人每张票降低元，但每张票不得低于元．某旅行社共支付团体票价元，则该旅行社购买了多少张票？
23. 如图，在中，，平分，交于点是的外角的角平分线．过点作，交于点．
    
    试判断四边形的形状并说明理由；
    当满足什么条件时，四边形为正方形？请说明理由．
24. 四边形，点是对角线上一点，将一个含有角的三角板的直角顶点与点重合，使其一条直角边经过点，另一条直角边与交于点．
    
    如图，若四边形是正方形，求证：；请用两种方法证明
    如图，若四边形是矩形，且，，猜想与之间的数量关系，并证明．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用合比性质进行计算．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、；
B、；
C、；
D、；
综上，可知的结果最大，故选D．
分别按四个选项的结论计算出算式的值，然后再判定结果最大的运算符号．
此题主要考查的是二次根式的混合运算．
二次根式的加减运算，实质是合并同类二次根式的过程；
二次根式的乘除运算，把被开方数相乘除，根指数不变．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项准确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

5.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
当时，四边形还是平行四边形，故符合题意；
B、四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，故不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形，故不符合题意
D、四边形是平行四边形，
，
，
平分时，
，
，
，
四边形是菱形，故不符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定方法即可判断．
本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得：，，
当是等腰三角形的底时，，，能构成三角形，周长为，
当是底时，，，不能构成三角形．
故选：．
利用非负数的性质求出，的值，再分两种情形讨论即可．
本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由原方程得，
，
，
．
故选：．
先化二次项系数为，把常数项右移，然后等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，再整理即可．
本题考查解一元二次方程配方法，配方法的一般步骤：把常数项移到等号右边；把二次项系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，
 

8.【答案】 

【解析】解：由图形知，中，
而中，只有和，
再根据两边成比例可判断，与相似的三角形是，
故选：．
根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用月份的收入月份的收入月收入的增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，点的坐标为，
，，
矩形与矩形是位似图形，
，，
∽，∽，
，，
，，
解得：，，
点的坐标为，
故选：．
根据位似图形的概念得到，，进而证明∽，∽，根据相似三角形的性质求出，得到答案．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
解得：，
故的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，
故答案为：．
将代入方程，即可求的值．
本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得；，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设矩形的长为，宽为，则有，，
所以，，
所以，
即矩形的为，
故答案为：．
根据图形的面积，设矩形的长为，宽为，得出，，进而得到，，求出即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：设正方形零件的边长为，
在正方形中，，
∽，
是高，
，即，
，
答：正方形的边长为．
故答案为：．
根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即∽，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答．
本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：设交于，

四边形是菱形，，，
，，，，
，
由勾股定理得：，
即，
分别以点，，，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，，
，
阴影部分的面积

，
故答案为：
设交于，根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，求出，求出，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可．
本题考查了菱形的性质和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先进行化简，再算乘法即可；
利用乘法的分配律进行运算，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：，
，
配方得：，
，
开方得：，
解得：，；

，
两边开方得：，
解得：，． 

【解析】移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
 

19.【答案】解：，，
，，



；




． 

【解析】由已知条件可得：，，
利用分式的加减法对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
利用完全平方公式对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：根据题意得：
，
解得：．
的取值范围是．
根据题意得：，，
，
，
，
解得：，不合题意，舍去，
的值是． 

【解析】由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得，由此可解得的值．
根与系数的关系及已知条件可得关于的一元二次方程，解得的值并根据中的所得的的取值范围作出取舍即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
 

21.【答案】证明：设与交于点，

，分别是，边上的高，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽． 

【解析】设与交于点，首先利用两个角相等可说明∽，得，从而证明∽．
本题主要考查了相似三角形的判定，证明∽，得出是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该旅行社购买了张票，则每张票的票价为元，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：该旅行社购买了张票． 

【解析】设该旅行社购买了张票，则每张票的票价为元，根据该旅行社共支付团体票价元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，
理由：，平分，
，即，，
平分，
，
又，
，
即，
，
，
四边形中，，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；

当时，四边形是正方形；
理由：，平分，
，，
，
，
，
由知，四边形是矩形，
四边形为正方形． 

【解析】首先利用外角性质得出，进而得到，即可求出四边形是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定四边形是矩形；
能使得矩形的邻边和相等的条件均可．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：方法一
连接，如图，

四边形是正方形，
，，．
在和中，
，
≌，
，．
，，
．
，
，
，
，
；
方法二
过点作于点，于点，如图，

四边形是正方形，
，，．
，，
四边形为正方形，
，．
．
，
，
．
在和中，
，
≌，
；
解：与之间的数量关系为：，理由：
过点作于点，于点，如图，

四边形是矩形，
，
，．
四边形为矩形，
，，，．
，
矩形∽矩形，
．
，，
，
，
∽，
． 

【解析】方法一：连接，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质解答即可；
方法二：过点作于点，于点，利用正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质解答即可；
过点作于点，于点，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的意义，利用正方形的性质构造恰当的辅助线是解题的关键．