2021-2022学年山东省济南市章丘区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济南市章丘区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 第届冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 若，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列由左到右变形，属于因式分解的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形是(    )

A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形

7. 下面关于平行四边形的说法中，不正确的是(    )

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 有两组对角相等的四边形是平行四边形

8. 如果是一个完全平方式，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知关于的分式方程有增根，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，中，平分，是中点，，；，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知：四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 和的公因式是______．
14. 关于的不等式组的解集为，则的值为______．
15. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是______．

16. 将分式化简的结果是______．
17. 如图，将旋转得到，经过点，若，，则的度数为______．

18. 如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，连接，作，得到四边形，它的周长记作，照此规律作下去，则等于______．

三、解答题（本大题共9小题，共78分）

19. 解不等式组，并写出它的整数解．
20. 因式分解：
    ；
    ．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
    画出关于原点成中心对称的；
    画出绕点逆时针旋转所得到的；
    将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，画出第二次平移后的．
    若看成是由经过一次平移得到的，则这一平移的距离等于______个单位长度．
     

23. 如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
    判断与的位置关系，并说明理由；
    若，，，求线段的长．

24. 某超市节前购进了、两种畅销口味的粽子．已知购进种粽子的金额是元，购进种粽子的金额是元，购进种粽子的数量比种粽子的数量少个，种粽子的单价是种粽子单价的倍．
    求、两种粽子的单价分别是多少元？
    为满足消费者需求，该超市准备再次购进、两种粽子共个，若总金额不超过元，问最多购进多少个种粽子？
25. 如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且．
    求证：四边形是平行四边形；
    连接，若平分，，，求平行四边形的周长．

26. 【阅读材料】
    把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
    如：对于．
    用配方法分解因式；
    当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
    解：原式．
    对于，所以，当时，代数式有最小值，最小值是．
    【问题解决】利用配方法解决下列问题：
    配方法因式分解：；
    当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
    对于代数式，有最大值还是最小值？请直接写出的最大值或最小值．
27. 如图，是等腰直角三角形，，，在线段上，是线段的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．
    如图，求证：；
    当、、三点共线时，如图，若，求的长；
    如图，若，连接，当运动到使得时，求的面积．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
；；，．
故选：．
利用不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义，对各选项作出判断，即可得出正确答案．
【解答】

解：，不是因式分解，故本选项错误；
B.，不是因式分解，故本选项错误；
C.，是因式分解，正确；
D.不是因式分解，故本选项错误．
故选C．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知：且，

故选：．
根据分式的值为的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式不能分解，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
A、原式利用平方差公式分解即可；
B、原式利用完全平方公式分解即可；
C、原式不能分解；
D、原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：多边形的边数是：．
故选：．
已知每一个内角都等于，就可以知道每个外角是度，根据多边形的外角和是度就可以求出多边形的边数．
通过本题要理解已知内角或外角求边数的方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、有两组对角相等的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
故选C
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
垂直平分，
，
，
故选：．
先由等腰三角形的性质求出的度数，再由垂直平分线的性质可得出，进而可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
分式方程有增根，
，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故选：．
把分式方程化成整式方程得，由分式方程有增根得出，把代入，即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：延长交于，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
故选：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，过作，连接．
是边的中点，，，
是的中位线，，；
是的中点，，，
是的中位线，，
在中，由三角形三边关系可知，即，
，
当，即时，四边形是梯形，
故线段长的取值范围是．
故选D．
当时，最短，利用中位线定理可得的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得的其他取值范围．
解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：和的公因式是，
故答案为：．
根据公因式的定义即可得到结论．
本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
，

故答案为：．
求出不等式组的解集，根据已知得出，从而求出的值．
本题考查了一元一次不等式组，解一元一次方程的应用，关键是能求出．
 

15.【答案】 

【解析】解：一次函数和的图象交于点，
不等式的解集是，
故答案为：．
根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
此题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
先将分子、分母因式分解，再约分即可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握因式分解的能力和约分．
 

17.【答案】 

【解析】解：将旋转得到，
，，，
，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质得到，，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：点，分别为，边的中点，
，，，
，
，
四边形为菱形，
四边形的周长，
同理：四边形的周长记作，

，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，进而证明四边形为菱形，求出菱形的周长，总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、菱形的判定定理，图形的变化规律，根据三角形中位线定理总结出规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的整数解为：，，． 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：

；


． 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答；
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

21.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
如图，即为所求；

，
看成是由经过一次平移得到的，这一平移的距离等于个单位长度．
故答案为：．
根据中心对称性质即可画出关于原点成中心对称的；
根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转所得到的；
根据平移的性质即可将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，画出第二次平移后的进而可以解决问题．
本题考查了作图旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

23.【答案】解：，
理由如下：，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
连接，设，则，，
，
，
，
解得：，
则． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论；
连接，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
 

24.【答案】解：设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：种粽子的单价为元，种粽子的单价为元；
设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意得：，
解得：，
答：最多购进个种粽子． 

【解析】设种粽子的单价为元，则甲种粽子的单价为元，根据“购进甲种粽子的金额是元，购进乙种粽子的金额是元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少个“列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，根据总金额不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
≌，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长． 

【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可；
由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再求出，求解即可．
此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：；
当时，有最小值，原式最小值为；
有最大值，最大值为．
，
即当时，原式有最大值，最大值为． 

【解析】原式可化为，由完全平方公式可得，再根据平方差公式可化为，计算即可得出答案；
当时，有最小值，计算即可得出答案；
，，代数式有最大值，应用配方法可化为，即当时，原式有最大值，计算即可得得出答案．
本题主要考查了因式分解的应用，完全平方式，非负数的性质，熟练掌握因式分解的应用，完全平方式，非负数的性质进行求解时解决本题的关键．
 

27.【答案】证明：如图中，
，都是等腰三角形，
，，，
，
≌，
．

解：如图中，

，，
，
≌，
，
，
，
．

如图中，作于．

，
，
≌，
，，
，，
，，
，，，
，，
是等边三角形，
，
． 

【解析】如图中，证明≌即可解决问题．
利用全等三角形的性质，证明，再利用勾股定理即可解决问题．
如图中，作于证明是底角为的等腰三角形，求出，，，根据计算即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．