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山东省济南市济阳区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份山东省济南市济阳区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．±
2．已知是二元一次方程2x+y＝3的一组解，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
3．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝25°，则∠BDF的度数为（ ）
A．25°B．50°C．75°D．100°
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（﹣3，3）B．（0，4）C．（3，3）D．（1，6）
5．已知点（x1，2），（x2，﹣4）都在直线y＝﹣x+3上，则x1与x2的大小关系是（ ）
A．x1＞x2B．x1＝x2C．x1＜x2D．不能比较
6．在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.7m，9.8mB．9.7m，9.7mC．9.8m，9.9mD．9.8m，9.8m
7．下列命题中：①相等的角是对顶角；②如果，那么x＝4；③两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等；④三角形的内角和等于180°．其中是真命题的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．函数y＝bx与y＝ax+b（a≠0，b≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
11．如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（ ）
A．160°B．150°C．140°D．130°
12．甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发5分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟；②乙的速度是90米/分钟；③甲出发18分钟时，两人在C地相遇；④乙到达A地时，甲与A地相距460米，其中正确的说法有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题。（本大题共6个小题．每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）
13．化简：＝ ．
14．如图，如果※的位置为（3，1），则☆的位置是 ．
15．小明所在班级为希望工程捐款，他统计了全班同学的捐款情况，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图，可计算出全班同学平均每人捐款 元．
16．如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为 ．
17．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为 ．
18．如图，△OA1B1，△A1A2B2都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2都在x轴上，点B1，B2都在一次函数（x＞0）的图象上，则点B2的坐标为 ．
三、解答题。（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．解方程组：．
21．如图，在平面直角坐标系中．
（1）画出△ABC，其中A（1，﹣2），B（﹣2，4），C（2，2）；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（其中A1、B1、C1分别为A、B、C的对应点）；
（3）△ABC与△A1B1C1重合部分的面积为 ．
22．如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米．当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．
23．小聪、小明准备代表班级参加学校“团史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）根据上面的折线统计图，补全下列表格中的统计量：
a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ，e＝ ，f＝ ．
（2）只结合小聪和小明成绩的平均数、中位数， 的数学成绩较好；只结合小聪和小明成绩的极差和方差， 的数学成绩较稳定．
24．某一天，蔬菜经营户王大叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：
（1）王大叔当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？
（2）他卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
25．已知A、B两地相距420km，甲、乙两车均从A地向B地出发，乙车比甲车先出发1小时，两车分别以各自的速度匀速行驶，甲、乙两车距A地的路程y（千米）与甲车行驶所用的时间x（小时）的关系如图所示，结合图象信息回答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时；
（2）分别求出甲、乙两车距A地的路程y（千米）与它行驶所用的时间x（小时）之间的函数关系式；
（3）甲车出发多长时间后两车相距15千米？直接写出x的值．
26．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为 ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为 ；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
27．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB：与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和点C（2，0）．
（1）求直线AB和AC的函数表达式；
（2）点P为y轴上一动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标；
（3）点M为直线AC上一动点，当△ABM是等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
参考答案
一、选择题。（共12题，每题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．±
【分析】首先根据平方根概念求出＝3，然后求3的平方根即可．
解：∵＝3，
∴的平方根是±．
故选：D．
2．已知是二元一次方程2x+y＝3的一组解，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】把x与y代入方程计算即可求出a的值．
解：把代入方程得：2a+1＝3，
移项合并得：2a＝2，
解得：a＝1．
故选：A．
3．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝25°，则∠BDF的度数为（ ）
A．25°B．50°C．75°D．100°
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠FAC＝∠1，再根据角平分线的定义可求得∠BAC的度数，再利用平行线的性质可求解．
解：∵DF∥AC，
∴∠FAC＝∠1＝25°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠FAC＝25°，
∴∠BAC＝50°，
∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BAC＝50°
故选：B．
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（﹣3，3）B．（0，4）C．（3，3）D．（1，6）
【分析】根据题意先作出△ABC关于y翻折后得到的图形，再画出向上平移2个单位长度的图形即可得到答案．
解：根据题意可得点B的对应点B'的坐标为（3，3）．
故选：C．
5．已知点（x1，2），（x2，﹣4）都在直线y＝﹣x+3上，则x1与x2的大小关系是（ ）
A．x1＞x2B．x1＝x2C．x1＜x2D．不能比较
【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合2＞﹣4，即可得出x1＜x2．
解：∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（x1，2），（x2，﹣4）都在直线y＝﹣x+3上，且2＞﹣4，
∴x1＜x2．
故选：C．
6．在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.7m，9.8mB．9.7m，9.7mC．9.8m，9.9mD．9.8m，9.8m
【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用出现次数最多的数是众数找到众数即可．
解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
9.7m出现了2次，最多，
所以众数为9.7m，
故选：B．
7．下列命题中：①相等的角是对顶角；②如果，那么x＝4；③两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等；④三角形的内角和等于180°．其中是真命题的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据对顶角，解一元一次方程，三角形内角和定理和全等三角形的判定一一判断即可．
解：①相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
②如果，那么x＝3，原命题是假命题；
③两边分别相等且其夹角相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
④三角形的内角和等于180°，是真命题；
故选：B．
8．某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据“甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架”列出方程组，此题得解．
解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．
故选：D．
9．函数y＝bx与y＝ax+b（a≠0，b≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象判断出b的符号，然后根据b的符号判断出正比例函数的图象经过的象限即可，做出判断．
解：A、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＜0，b＞0．
∴函数y＝bx图象应该经过一、三象限，故A正确；
B、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＜0，b＜0．
∴函数y＝bx图象应该经过二、四象限，故B错误；
C、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＞0，b＞0．
∴函数y＝bx图象应该经过一、三象限，故C错误；
D、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＞0，b＜0．
∴函数y＝bx图象应该经过二、四象限，故D错误．
故选：A．
10．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
解：∵直线y＝x+1经过点P（1，b），
∴b＝1+1，
解得b＝2，
∴P（1，2），
∴关于x的方程组的解为，
故选：D．
11．如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（ ）
A．160°B．150°C．140°D．130°
【分析】根据角的和差关系，得∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝90°﹣75°＝15°．根据三角形外角的性质，得∠AGF＝∠B+∠BAC＝75°，那么∠AGF＝∠C+∠CFG＝45°+∠CFG＝75°，故∠CFG＝75°﹣45°＝30°，从而解决此题．
解：如图．
由题意得：∠B＝60°，∠BAE＝90°，∠C＝45°，∠CAE＝75°．
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝90°﹣75°＝15°．
∴∠AGF＝∠B+∠BAC＝60°+15°＝75°．
∴∠AGF＝∠C+∠CFG＝45°+∠CFG＝75°．
∴∠CFG＝75°﹣45°＝30°．
∴∠α＝180°﹣∠CFG＝180°﹣30°＝150°．
故选：B．
12．甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发5分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟；②乙的速度是90米/分钟；③甲出发18分钟时，两人在C地相遇；④乙到达A地时，甲与A地相距460米，其中正确的说法有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
甲的速度为：（3000﹣2700）÷5＝60（米/分），故①正确，
乙的速度为：（2700﹣1200）÷（15﹣5）﹣60＝90（米/分），故②正确，
甲、乙相遇时乙出发的时间为：2700÷（60+90）＝18（分钟），此时甲出发：5+15＝23）分钟，故③错误，
乙到达A地时，甲与A地相距的路程是：[（3000﹣90×18）÷60﹣（3000﹣90×18）÷90]×60＝460（米），故④正确，
故选：C．
二、填空题。（本大题共6个小题．每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）
13．化简：＝ ．
【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算即可．
解：
＝
＝，
故答案为：．
14．如图，如果※的位置为（3，1），则☆的位置是 （1，2） ．
【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行解答．
解：根据数对表示位置的方法可知☆的位置是（1，2），
故答案为：（1，2）．
15．小明所在班级为希望工程捐款，他统计了全班同学的捐款情况，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图，可计算出全班同学平均每人捐款 41 元．
【分析】根据加权平均数的定义计算可得．
解：全班同学平均每人捐款＝41元，
故答案为：41．
16．如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为 70° ．
【分析】先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
解：∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°，
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°，
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°，
∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°，
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°，
∴α＝20°，β＝25°，
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°，
故答案为：70°．
17．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为 3.4 ．
【分析】由由折叠的性质得BE＝AE，设BE＝AE＝x，然后在Rt△BEC中，由勾股定理得出方程，求出x即可．
解：由折叠的性质得：BE＝AE，
设BE＝AE＝x，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE2＝BC2+EC2，
∴x2＝32+（5﹣x）2，
∴x＝3.4；
故答案为：3.4．
18．如图，△OA1B1，△A1A2B2都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2都在x轴上，点B1，B2都在一次函数（x＞0）的图象上，则点B2的坐标为 （15，3） ．
【分析】由△OA1B1，△A1A2B2都是斜边在x轴上的等腰直角三角形可得OB1所在直线解析式为y＝x，从而求出A1（12，0），再由OB1∥B2A1可求出直线B2A1解析式，进而求解．
解：∵△OA1B1为等腰直角三角形，
∴∠B1OA1＝45°，
∴OB1所在直线解析式为y＝x，
令x＝﹣x+8，
解得x＝6，
把x＝6代入y＝x得y＝6，
∴OB1＝＝6，
∴OA1＝OB1＝12，
∴A1（12，0），
∵∠B2A1A2＝45°，
∴OB1∥B2A1，
设直线B2A1解析式为y＝x+b，
将（12，0）代入y＝x+b得0＝12+b，
解得b＝﹣12，
∴y＝x﹣12，
令x﹣12＝﹣x+8，
解得x＝15，
把x＝15代入y＝x﹣12得y＝3，
∴B2的坐标为（15，3）．
故答案为：（15，3）．
三、解答题。（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【分析】按照运算顺序，先算乘法，再算加减，然后进行计算即可．
解：
＝6﹣4﹣2
＝0．
20．解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
由①+②得：5x＝5，
解得：x＝1③，
把③代入①得：1﹣y＝2，
解得：y＝﹣1，
∴原方程组的解为．
21．如图，在平面直角坐标系中．
（1）画出△ABC，其中A（1，﹣2），B（﹣2，4），C（2，2）；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（其中A1、B1、C1分别为A、B、C的对应点）；
（3）△ABC与△A1B1C1重合部分的面积为 3 ．
【分析】（1）画出图形解答即可；
（2）根据对称的性质画出图形即可；
（3）根据三角形面积公式解答即可．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）△ABC与△A1B1C1重合部分的面积＝，
故答案为：3．
22．如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米．当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，
根据勾股定理可得：x2+62＝（x+2）2，
解得，x＝8．
答：旗杆的高度为8米．
23．小聪、小明准备代表班级参加学校“团史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）根据上面的折线统计图，补全下列表格中的统计量：
a＝ 8 ，b＝ 7.5 ，c＝ 7 ，d＝ 6和10 ，e＝ 4 ，f＝ ．
（2）只结合小聪和小明成绩的平均数、中位数， 小明 的数学成绩较好；只结合小聪和小明成绩的极差和方差， 小聪 的数学成绩较稳定．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数、极差、方差的定义求解即可；
（2）根据平均数、中位数的意义即可判断小明的数学成绩较好；根据极差和方差的意义，即可判断小聪的数学成绩较稳定．
解：（1）由折线图可知，小聪6次成绩按从小到大的顺序排列为：7，7，7，8，9，10，
所以，中位数b＝＝7.5，众数c＝7，
方差f＝×[3×（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝；
小明6次成绩按从小到大的顺序排列为：6，6，7，9，10，10，
所以平均数a＝＝8，众数d＝6和10，极差e＝10﹣6＝4．
故答案为：8，7.5，7，6和10，4，；
（2）小聪和小明两人成绩的平均数相同，而小明成绩的中位数高于小聪，所以只结合小聪和小明成绩的平均数、中位数，小明的数学成绩较好；
小聪成绩的极差和方差均小于小明，所以只结合小聪和小明成绩的极差和方差，小聪的数学成绩较稳定．
故答案为：小明，小聪．
24．某一天，蔬菜经营户王大叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：
（1）王大叔当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？
（2）他卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
【分析】（1）设批发了黄瓜x千克，茄子y千克，由题意：蔬菜经营户王大叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克以及表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由（1）得结果和表中数据列式计算即可．
【解答】（1）解：设王大叔当天批发了黄瓜x千克，茄子y千克，
由题意得：，
解得：，
答：王大叔当天批发了黄瓜30千克，茄子40千克；
（2）30×（7﹣5）+40×（4﹣3）＝100 （元），
答：王大叔卖完这些黄瓜和茄子共赚了100元．
25．已知A、B两地相距420km，甲、乙两车均从A地向B地出发，乙车比甲车先出发1小时，两车分别以各自的速度匀速行驶，甲、乙两车距A地的路程y（千米）与甲车行驶所用的时间x（小时）的关系如图所示，结合图象信息回答下列问题：
（1）甲车的速度是 105 千米/时，乙车的速度是 60 千米/时；
（2）分别求出甲、乙两车距A地的路程y（千米）与它行驶所用的时间x（小时）之间的函数关系式；
（3）甲车出发多长时间后两车相距15千米？直接写出x的值．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论列方程解答即可．
解：（1）由题意可得，甲车的速度是；420÷4＝105（千米/时）；乙车的速度是：420÷（6+1）＝60（千米/时）；
故答案为：105，60；
（2）设甲车距A地路程y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝kx，
代入（4，420）得k＝105，
∴甲车y与x（小时）之间的函数关系式为y＝105x；
设乙车距A地路程y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝mx+n，
代入（0，60），（6，420）得：，
解得：，
∴乙车y与x（小时）之间的函数关系式为y＝60x+60；
（3）根据题意，得60x+60﹣105x＝15或105x﹣（60x+60）＝15，
解得x＝1或x＝．
答：甲车出发1小时或小时后两车相距15千米．
26．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为 ∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360° ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为 130° ；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；②过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；
（2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可求解；
②设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则可求∠P，∠Q，即可求解．
解：（1）①如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥CD，
∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
当点P在EF的右侧时，过点P作PM∥AB，则PM∥CD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①∠EPF＝100°，则∠EQF＝130°，
由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF，
故答案为130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°．
理由：如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，
则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），
∠Q＝α+β，
即：∠EPF+2∠EQF＝360°．
27．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB：与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和点C（2，0）．
（1）求直线AB和AC的函数表达式；
（2）点P为y轴上一动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标；
（3）点M为直线AC上一动点，当△ABM是等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）将点B（﹣3，0）代入，可求k的值；将点C（2，0）代入y＝﹣2x+b，可求b的值；
（2）求出A（1，2），作点C 关于y轴的对称点C′，连接AC′，交y轴于点P，点P即为所求；
（3）先判断△ABC是直角三角形，设M（t，﹣2t+4），再由AM＝AB＝2，结合勾股定理（t﹣1）2+（2+2t﹣4）2＝20，即可求t的值．
解：（1）把B（﹣3，0）代入，
得，
∴AB的表达式；
把点C（2，0）代入y＝﹣2x+b，
得b＝4，
∴AC的表达式y＝﹣2x+4；
（2）联立，
解得，
∴A（1，2），
作点C 关于y轴的对称点C′，连接AC′，交y轴于点P，点P即为所求，
∵CP＝C'P，
∴CP+AP＝C'P+AP≥AC'，
∴当C'、P、A三点共线时，CP+AP最小，
∵C（2，0），
∴C'（﹣2，0），
∵A（1，2），C′（﹣2，0），
设直线AC'的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴，
当x＝0时，，
∴P（0，）；
（3）∵A（1，2），B（﹣3，0），C（2，0），
∴AC＝，AB＝2，BC＝5，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
设M（t，﹣2t+4），
∵△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝2，
∴（t﹣1）2+（2+2t﹣4）2＝20，
∴t＝3或t＝﹣1，
∴M（﹣1，6）或（3，﹣2）．
学生
平均数
中位数
众数
极差
方差
小聪
8
b
c
3
f
小明
a
8
d
e
3
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/千克）
5
3
零售价/（元/千克）
7
4
学生
平均数
中位数
众数
极差
方差
小聪
8
b
c
3
f
小明
a
8
d
e
3
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/千克）
5
3
零售价/（元/千克）
7
4
1．的平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．±
2．已知是二元一次方程2x+y＝3的一组解，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
3．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝25°，则∠BDF的度数为（ ）
A．25°B．50°C．75°D．100°
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（﹣3，3）B．（0，4）C．（3，3）D．（1，6）
5．已知点（x1，2），（x2，﹣4）都在直线y＝﹣x+3上，则x1与x2的大小关系是（ ）
A．x1＞x2B．x1＝x2C．x1＜x2D．不能比较
6．在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.7m，9.8mB．9.7m，9.7mC．9.8m，9.9mD．9.8m，9.8m
7．下列命题中：①相等的角是对顶角；②如果，那么x＝4；③两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等；④三角形的内角和等于180°．其中是真命题的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．函数y＝bx与y＝ax+b（a≠0，b≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
11．如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（ ）
A．160°B．150°C．140°D．130°
12．甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发5分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟；②乙的速度是90米/分钟；③甲出发18分钟时，两人在C地相遇；④乙到达A地时，甲与A地相距460米，其中正确的说法有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题。（本大题共6个小题．每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）
13．化简：＝ ．
14．如图，如果※的位置为（3，1），则☆的位置是 ．
15．小明所在班级为希望工程捐款，他统计了全班同学的捐款情况，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图，可计算出全班同学平均每人捐款 元．
16．如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为 ．
17．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为 ．
18．如图，△OA1B1，△A1A2B2都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2都在x轴上，点B1，B2都在一次函数（x＞0）的图象上，则点B2的坐标为 ．
三、解答题。（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．解方程组：．
21．如图，在平面直角坐标系中．
（1）画出△ABC，其中A（1，﹣2），B（﹣2，4），C（2，2）；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（其中A1、B1、C1分别为A、B、C的对应点）；
（3）△ABC与△A1B1C1重合部分的面积为 ．
22．如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米．当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．
23．小聪、小明准备代表班级参加学校“团史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）根据上面的折线统计图，补全下列表格中的统计量：
a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ，e＝ ，f＝ ．
（2）只结合小聪和小明成绩的平均数、中位数， 的数学成绩较好；只结合小聪和小明成绩的极差和方差， 的数学成绩较稳定．
24．某一天，蔬菜经营户王大叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：
（1）王大叔当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？
（2）他卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
25．已知A、B两地相距420km，甲、乙两车均从A地向B地出发，乙车比甲车先出发1小时，两车分别以各自的速度匀速行驶，甲、乙两车距A地的路程y（千米）与甲车行驶所用的时间x（小时）的关系如图所示，结合图象信息回答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时；
（2）分别求出甲、乙两车距A地的路程y（千米）与它行驶所用的时间x（小时）之间的函数关系式；
（3）甲车出发多长时间后两车相距15千米？直接写出x的值．
26．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为 ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为 ；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
27．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB：与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和点C（2，0）．
（1）求直线AB和AC的函数表达式；
（2）点P为y轴上一动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标；
（3）点M为直线AC上一动点，当△ABM是等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
参考答案
一、选择题。（共12题，每题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．±
【分析】首先根据平方根概念求出＝3，然后求3的平方根即可．
解：∵＝3，
∴的平方根是±．
故选：D．
2．已知是二元一次方程2x+y＝3的一组解，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】把x与y代入方程计算即可求出a的值．
解：把代入方程得：2a+1＝3，
移项合并得：2a＝2，
解得：a＝1．
故选：A．
3．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝25°，则∠BDF的度数为（ ）
A．25°B．50°C．75°D．100°
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠FAC＝∠1，再根据角平分线的定义可求得∠BAC的度数，再利用平行线的性质可求解．
解：∵DF∥AC，
∴∠FAC＝∠1＝25°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠FAC＝25°，
∴∠BAC＝50°，
∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BAC＝50°
故选：B．
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（﹣3，3）B．（0，4）C．（3，3）D．（1，6）
【分析】根据题意先作出△ABC关于y翻折后得到的图形，再画出向上平移2个单位长度的图形即可得到答案．
解：根据题意可得点B的对应点B'的坐标为（3，3）．
故选：C．
5．已知点（x1，2），（x2，﹣4）都在直线y＝﹣x+3上，则x1与x2的大小关系是（ ）
A．x1＞x2B．x1＝x2C．x1＜x2D．不能比较
【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合2＞﹣4，即可得出x1＜x2．
解：∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（x1，2），（x2，﹣4）都在直线y＝﹣x+3上，且2＞﹣4，
∴x1＜x2．
故选：C．
6．在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.7m，9.8mB．9.7m，9.7mC．9.8m，9.9mD．9.8m，9.8m
【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用出现次数最多的数是众数找到众数即可．
解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
9.7m出现了2次，最多，
所以众数为9.7m，
故选：B．
7．下列命题中：①相等的角是对顶角；②如果，那么x＝4；③两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等；④三角形的内角和等于180°．其中是真命题的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据对顶角，解一元一次方程，三角形内角和定理和全等三角形的判定一一判断即可．
解：①相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
②如果，那么x＝3，原命题是假命题；
③两边分别相等且其夹角相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
④三角形的内角和等于180°，是真命题；
故选：B．
8．某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据“甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架”列出方程组，此题得解．
解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．
故选：D．
9．函数y＝bx与y＝ax+b（a≠0，b≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象判断出b的符号，然后根据b的符号判断出正比例函数的图象经过的象限即可，做出判断．
解：A、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＜0，b＞0．
∴函数y＝bx图象应该经过一、三象限，故A正确；
B、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＜0，b＜0．
∴函数y＝bx图象应该经过二、四象限，故B错误；
C、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＞0，b＞0．
∴函数y＝bx图象应该经过一、三象限，故C错误；
D、由一次函数y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象可知：a＞0，b＜0．
∴函数y＝bx图象应该经过二、四象限，故D错误．
故选：A．
10．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
解：∵直线y＝x+1经过点P（1，b），
∴b＝1+1，
解得b＝2，
∴P（1，2），
∴关于x的方程组的解为，
故选：D．
11．如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（ ）
A．160°B．150°C．140°D．130°
【分析】根据角的和差关系，得∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝90°﹣75°＝15°．根据三角形外角的性质，得∠AGF＝∠B+∠BAC＝75°，那么∠AGF＝∠C+∠CFG＝45°+∠CFG＝75°，故∠CFG＝75°﹣45°＝30°，从而解决此题．
解：如图．
由题意得：∠B＝60°，∠BAE＝90°，∠C＝45°，∠CAE＝75°．
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝90°﹣75°＝15°．
∴∠AGF＝∠B+∠BAC＝60°+15°＝75°．
∴∠AGF＝∠C+∠CFG＝45°+∠CFG＝75°．
∴∠CFG＝75°﹣45°＝30°．
∴∠α＝180°﹣∠CFG＝180°﹣30°＝150°．
故选：B．
12．甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发5分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟；②乙的速度是90米/分钟；③甲出发18分钟时，两人在C地相遇；④乙到达A地时，甲与A地相距460米，其中正确的说法有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
甲的速度为：（3000﹣2700）÷5＝60（米/分），故①正确，
乙的速度为：（2700﹣1200）÷（15﹣5）﹣60＝90（米/分），故②正确，
甲、乙相遇时乙出发的时间为：2700÷（60+90）＝18（分钟），此时甲出发：5+15＝23）分钟，故③错误，
乙到达A地时，甲与A地相距的路程是：[（3000﹣90×18）÷60﹣（3000﹣90×18）÷90]×60＝460（米），故④正确，
故选：C．
二、填空题。（本大题共6个小题．每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）
13．化简：＝ ．
【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算即可．
解：
＝
＝，
故答案为：．
14．如图，如果※的位置为（3，1），则☆的位置是 （1，2） ．
【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行解答．
解：根据数对表示位置的方法可知☆的位置是（1，2），
故答案为：（1，2）．
15．小明所在班级为希望工程捐款，他统计了全班同学的捐款情况，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图，可计算出全班同学平均每人捐款 41 元．
【分析】根据加权平均数的定义计算可得．
解：全班同学平均每人捐款＝41元，
故答案为：41．
16．如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为 70° ．
【分析】先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
解：∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°，
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°，
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°，
∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°，
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°，
∴α＝20°，β＝25°，
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°，
故答案为：70°．
17．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为 3.4 ．
【分析】由由折叠的性质得BE＝AE，设BE＝AE＝x，然后在Rt△BEC中，由勾股定理得出方程，求出x即可．
解：由折叠的性质得：BE＝AE，
设BE＝AE＝x，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE2＝BC2+EC2，
∴x2＝32+（5﹣x）2，
∴x＝3.4；
故答案为：3.4．
18．如图，△OA1B1，△A1A2B2都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2都在x轴上，点B1，B2都在一次函数（x＞0）的图象上，则点B2的坐标为 （15，3） ．
【分析】由△OA1B1，△A1A2B2都是斜边在x轴上的等腰直角三角形可得OB1所在直线解析式为y＝x，从而求出A1（12，0），再由OB1∥B2A1可求出直线B2A1解析式，进而求解．
解：∵△OA1B1为等腰直角三角形，
∴∠B1OA1＝45°，
∴OB1所在直线解析式为y＝x，
令x＝﹣x+8，
解得x＝6，
把x＝6代入y＝x得y＝6，
∴OB1＝＝6，
∴OA1＝OB1＝12，
∴A1（12，0），
∵∠B2A1A2＝45°，
∴OB1∥B2A1，
设直线B2A1解析式为y＝x+b，
将（12，0）代入y＝x+b得0＝12+b，
解得b＝﹣12，
∴y＝x﹣12，
令x﹣12＝﹣x+8，
解得x＝15，
把x＝15代入y＝x﹣12得y＝3，
∴B2的坐标为（15，3）．
故答案为：（15，3）．
三、解答题。（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【分析】按照运算顺序，先算乘法，再算加减，然后进行计算即可．
解：
＝6﹣4﹣2
＝0．
20．解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
由①+②得：5x＝5，
解得：x＝1③，
把③代入①得：1﹣y＝2，
解得：y＝﹣1，
∴原方程组的解为．
21．如图，在平面直角坐标系中．
（1）画出△ABC，其中A（1，﹣2），B（﹣2，4），C（2，2）；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（其中A1、B1、C1分别为A、B、C的对应点）；
（3）△ABC与△A1B1C1重合部分的面积为 3 ．
【分析】（1）画出图形解答即可；
（2）根据对称的性质画出图形即可；
（3）根据三角形面积公式解答即可．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）△ABC与△A1B1C1重合部分的面积＝，
故答案为：3．
22．如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米．当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，
根据勾股定理可得：x2+62＝（x+2）2，
解得，x＝8．
答：旗杆的高度为8米．
23．小聪、小明准备代表班级参加学校“团史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）根据上面的折线统计图，补全下列表格中的统计量：
a＝ 8 ，b＝ 7.5 ，c＝ 7 ，d＝ 6和10 ，e＝ 4 ，f＝ ．
（2）只结合小聪和小明成绩的平均数、中位数， 小明 的数学成绩较好；只结合小聪和小明成绩的极差和方差， 小聪 的数学成绩较稳定．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数、极差、方差的定义求解即可；
（2）根据平均数、中位数的意义即可判断小明的数学成绩较好；根据极差和方差的意义，即可判断小聪的数学成绩较稳定．
解：（1）由折线图可知，小聪6次成绩按从小到大的顺序排列为：7，7，7，8，9，10，
所以，中位数b＝＝7.5，众数c＝7，
方差f＝×[3×（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝；
小明6次成绩按从小到大的顺序排列为：6，6，7，9，10，10，
所以平均数a＝＝8，众数d＝6和10，极差e＝10﹣6＝4．
故答案为：8，7.5，7，6和10，4，；
（2）小聪和小明两人成绩的平均数相同，而小明成绩的中位数高于小聪，所以只结合小聪和小明成绩的平均数、中位数，小明的数学成绩较好；
小聪成绩的极差和方差均小于小明，所以只结合小聪和小明成绩的极差和方差，小聪的数学成绩较稳定．
故答案为：小明，小聪．
24．某一天，蔬菜经营户王大叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：
（1）王大叔当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？
（2）他卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
【分析】（1）设批发了黄瓜x千克，茄子y千克，由题意：蔬菜经营户王大叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克以及表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由（1）得结果和表中数据列式计算即可．
【解答】（1）解：设王大叔当天批发了黄瓜x千克，茄子y千克，
由题意得：，
解得：，
答：王大叔当天批发了黄瓜30千克，茄子40千克；
（2）30×（7﹣5）+40×（4﹣3）＝100 （元），
答：王大叔卖完这些黄瓜和茄子共赚了100元．
25．已知A、B两地相距420km，甲、乙两车均从A地向B地出发，乙车比甲车先出发1小时，两车分别以各自的速度匀速行驶，甲、乙两车距A地的路程y（千米）与甲车行驶所用的时间x（小时）的关系如图所示，结合图象信息回答下列问题：
（1）甲车的速度是 105 千米/时，乙车的速度是 60 千米/时；
（2）分别求出甲、乙两车距A地的路程y（千米）与它行驶所用的时间x（小时）之间的函数关系式；
（3）甲车出发多长时间后两车相距15千米？直接写出x的值．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论列方程解答即可．
解：（1）由题意可得，甲车的速度是；420÷4＝105（千米/时）；乙车的速度是：420÷（6+1）＝60（千米/时）；
故答案为：105，60；
（2）设甲车距A地路程y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝kx，
代入（4，420）得k＝105，
∴甲车y与x（小时）之间的函数关系式为y＝105x；
设乙车距A地路程y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝mx+n，
代入（0，60），（6，420）得：，
解得：，
∴乙车y与x（小时）之间的函数关系式为y＝60x+60；
（3）根据题意，得60x+60﹣105x＝15或105x﹣（60x+60）＝15，
解得x＝1或x＝．
答：甲车出发1小时或小时后两车相距15千米．
26．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为 ∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360° ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为 130° ；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；②过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；
（2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可求解；
②设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则可求∠P，∠Q，即可求解．
解：（1）①如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥CD，
∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
当点P在EF的右侧时，过点P作PM∥AB，则PM∥CD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①∠EPF＝100°，则∠EQF＝130°，
由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF，
故答案为130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°．
理由：如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，
则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），
∠Q＝α+β，
即：∠EPF+2∠EQF＝360°．
27．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB：与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和点C（2，0）．
（1）求直线AB和AC的函数表达式；
（2）点P为y轴上一动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标；
（3）点M为直线AC上一动点，当△ABM是等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）将点B（﹣3，0）代入，可求k的值；将点C（2，0）代入y＝﹣2x+b，可求b的值；
（2）求出A（1，2），作点C 关于y轴的对称点C′，连接AC′，交y轴于点P，点P即为所求；
（3）先判断△ABC是直角三角形，设M（t，﹣2t+4），再由AM＝AB＝2，结合勾股定理（t﹣1）2+（2+2t﹣4）2＝20，即可求t的值．
解：（1）把B（﹣3，0）代入，
得，
∴AB的表达式；
把点C（2，0）代入y＝﹣2x+b，
得b＝4，
∴AC的表达式y＝﹣2x+4；
（2）联立，
解得，
∴A（1，2），
作点C 关于y轴的对称点C′，连接AC′，交y轴于点P，点P即为所求，
∵CP＝C'P，
∴CP+AP＝C'P+AP≥AC'，
∴当C'、P、A三点共线时，CP+AP最小，
∵C（2，0），
∴C'（﹣2，0），
∵A（1，2），C′（﹣2，0），
设直线AC'的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴，
当x＝0时，，
∴P（0，）；
（3）∵A（1，2），B（﹣3，0），C（2，0），
∴AC＝，AB＝2，BC＝5，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
设M（t，﹣2t+4），
∵△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝2，
∴（t﹣1）2+（2+2t﹣4）2＝20，
∴t＝3或t＝﹣1，
∴M（﹣1，6）或（3，﹣2）．
学生
平均数
中位数
众数
极差
方差
小聪
8
b
c
3
f
小明
a
8
d
e
3
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/千克）
5
3
零售价/（元/千克）
7
4
学生
平均数
中位数
众数
极差
方差
小聪
8
b
c
3
f
小明
a
8
d
e
3
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/千克）
5
3
零售价/（元/千克）
7
4
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