初中人教版第二十四章 圆综合与测试随堂练习题

第二十四章  圆的有关性质

知识点思维导图

能力培养：符号意识、几何直观、推理能力、运算能力

【实战篇】

知识点一：圆的有关概念

1. 圆的定义

（1）描述性定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆. 其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.

（2）集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合.

2. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”.
3. 圆具有的特性

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

注意：（1）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心（三点不共线）构成的三角形都是等腰三角形.

4. 圆的有关概念

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心、CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为______________.

【例1】【解析】同一个圆中的所有半径都相等，所以在圆中“连半径”是常用的辅助线，本题先连接CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD＝5，所以半径BC＝CD＝5，又由已知AB＝10，利用勾股定理得出AC.

【答案】

【巩固】

1. 如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（    ） 

1. 25°    B. 35°    C. 15°     D. 20°

2. 如图，在⊙O中，下列说法不正确的是（    ）

1. AB是⊙O的直径             B. 有5条弦   

C. 和都是劣弧，是优弧    D. CO是圆O的半径

【巩固答案】

1. A

2.B    

知识点二：垂直于弦的直径

1. 圆的轴对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

2. 垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

符号语言：∵如图，CD是直径，CD⊥AB于点M，

∴AM＝BM，＝，＝.

3. 垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

符号语言：∵如图，CD是直径，AM＝BM（AB不是直径），

∴CD⊥AB，＝，＝. 

【例2】如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（    ）

A. 8          B. 10       C.          D.

【例2】【解析】连接OB，根据垂径定理求出BD＝BC＝4，已知半径OB＝5，在Rt△OBD中，由勾股定理求出OD＝＝3，所以AD＝8，在Rt△ABD中，再由勾股定理求出AB＝.

【答案】D

【巩固】

1. 下列说法不正确的是（    ）

A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形         

B. 圆有无数条对称轴      

C.  圆的每一条直径都是它的对称轴       

D. 圆的对称中心是它的圆心

2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE的长为（    ）

A. 8 cm          B. 5 cm       C. 3 cm          D. 2 cm

【巩固答案】

1. C

2. A

知识点三：弧、弦、圆心角

1. 圆的旋转对称性

圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.

2. 圆心角的定义

顶点在圆心的角叫做圆心角.

如图：∠AOB是所对的圆心角，是∠AOB所对的弧.

注意：一条弧所对的圆心角只有一个.

3. 弧、弦、圆心角之间的关系

【例3】如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AB＝CD. 求证：AC＝BD.

【例3】【解析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AB＝CD得到＝，进而＋＝＋，即＝，所以AC＝BD.

【答案】证明：∵AB＝CD

∴＝，

∴＋＝＋，

即＝，

∴AC＝BD.

【巩固】

1. 如图，在⊙O中，∠AOB＝∠COD，那么和的大小关系是（    ）

A. ＞          B. ＜      C. ＝         D. 无法确定

2. 如图，C是⊙O上的点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则与的关系是（    ）

A. ＝          B. ＞    C. ＜        D. 不能确定

【巩固答案】

1. C

2. A

知识点四：圆周角

1. 圆周角的定义

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：（1）圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交.

（2）同一条弧所对的圆周角有无数个.

2. 圆周角和圆心角的区别和联系

3. 圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

    如图，∠ACB＝∠AOB.

4. 圆周角定理的推论

推论1   同弧或等弧所对的圆周角相等.

推论2  （1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；

（2）90°的圆周角所对的弦是直径.

5. “五量关系”定理

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

【例4】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（    ）

A. 60°    B. 50°    C. 40°      D. 20°

【例4】【解析】本题考查的是圆周角定理的两个推论，根据题意先连接AD，根据圆周角定理的推论可知，∠A＝∠BCD＝40°，又由AB为⊙O的直径知∠ADB＝90°，所以∠ABD＝90°－∠A＝50°. 故选B.

【答案】B

【巩固】

1. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C的度数为（    ）

A. 54°    B. 46°    C. 36°      D. 27°

2. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝___________.

【巩固答案】

1. C
2. 70°

知识点五：圆内接多边形

1.       圆内接多边形的定义

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

2.       圆内接四边形的性质

   圆内接四边形的对角互补.

注意：每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.

拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.

【例5】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（    ）

A. 45°    B. 50°    C. 65°      D. 75°

【例5】【解析】根据圆周角定理求出∠A＝∠BOD＝65°，再根据圆内接四边形的性质得出∠BCD＝180°－∠A＝115°，则∠DCE＝180°－∠BCD＝65°. 故选C.

【答案】C

【巩固】

1. 如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，P为劣弧上的一点，则∠APB的度数是_____________.

2. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D. 问AB与CD有怎样的位置关系，请说明理由.

【巩固答案】

1. 120°
2. 解：AB∥CD

理由如下：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠A＋∠C＝180°，

∵∠C＝∠D，

∴∠A＋∠D＝180°，

∴AB∥CD.