人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试复习练习题

第二十二章  二次函数的应用

知识点思维导图

知识点一：最大利润问题

1. 用二次函数解实际问题的常用方法

利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数解析式，然后利用函数的图象和性质去解决问题.

2. 用二次函数解实际问题的一般步骤

（1）审：仔细审题，理清题意；

（2）找：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关问题要结合图形具体分析；

（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的解析式；

（4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式，图象和性质等求解实际问题；

（5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论.

3. 求解最大利润问题时，要熟练掌握利润问题中相关数量的意义以及常用的数量关系. 审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题.

常见销售问题中的数量关系：

利润＝售价－成本

总利润＝每件商品的利润×销量

利润率＝×100%

注意：

1. 用二次函数解实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义.

2. 在实际问题中求最值时，解题思路是列二次函数解析式，用配方法把函数解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式求函数的最值，或者针对函数解析式用顶点坐标公式求函数的最值.

【例1】超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件. 根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件.

（1）请写出y与x之间的函数表达式；

（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元？

（3）设超市每天销售这种玩具可获利W元，当x为多少时W最大，最大值是多少？

【例1】【解析】（1）根据“每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；

（2）根据题意“每天可售出50件. 根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元”即可得到结论；

（3）根据题意得到利润与销售单价之间的函数关系式，通过二次函数的性质得出结论.

【答案】

解：（1）根据题意得，y＝－x＋50（0＜x≤20）；

（2）根据题意得，（40＋x）（－x＋50）＝2250，

解得：x1＝50，x2＝10，

∵每件利润不能超过60元，

∴x＝10，

答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元.

（3）根据题意得，W＝（40＋x）（－x＋50）

                  ＝－x2＋30x＋2000

＝－（x－30）2＋2450，

∵a＝－＜0，

∴当x＜30时，W随x的增大而增大，

∵40＋x≤60，x≤20，

∴当x＝20时，W最大＝2400，

答：当x为20时W最大，最大值是2400元．

【巩固】

1. 某青年公寓有100张床位，每张床位的日租价为10元时，公寓的床位可全部出租. 若每张床位的日租价提高1元，则租出的床位就会减少5张，按此种情况，要想获得最大收益，则每张床位的日租价需提高         元.
2. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表：

（1）求y与x之间的函数解析式；

（2）该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数解析式（利润＝收入－成本）；

（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？

【巩固答案】

1.5

2.解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，则

，解得，

即y与x之间的函数解析式为y＝－2x＋200．

（2）由题意可得，W＝（x－40）（－2x＋200）＝－2x2＋280x－8000，

即W与x之间的函数解析式是W＝－2x2＋280x－8000．

（3）∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2（x－70）2＋1800，（40≤x≤80），

∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70＜x≤80时，W随x的增大而减小．

当x＝70时，W取得最大值，此时W=1800．

答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70＜x≤80时，W随x的增大而减小．

售价为70元/千克时，最大利润是1800元．

知识点二：图形的面积最值问题

在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积问题，这类问题可以利用二次函数的图象和性质解决，也就是把最大面积问题转化为二次函数的最大值问题．求图形的面积时常会涉及线段与线段之间的关系，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段与面积之间的函数关系，将其转化为二次函数问题，就可以用二次函数的图象与性质来解决．

【例2】用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为S平方米. （铝合金条的宽度不计）

（1）S与x之间的函数关系式为            ，自变量x的取值范围为            ；

（2）如何安排窗框的高和长，才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

【例2】【解析】（1）根据题意与图形，长方形的面积等于长乘宽；根据题意，得窗框的高为x米，则长为（6－3x），所以S＝（6－3x）x＝－x2＋3x，因为x＞0，6－3x＞0，所以0＜x＜2．

（2）通过S与x的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．

【答案】

解：（1）S＝－x2＋3x    0＜x＜2

（2）S＝－x2＋3x＝－（x－1）2＋

∵－＜0，

∴当x＝1时，S有最大值，

即窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米．

【巩固】

1. 一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开. 已知篱笆总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝         m时，矩形土地ABCD的面积最大.

2. 如图，在一面靠墙的空地上用长24 m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为x m，面积为S m2.

（1）求S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）当x取何值时，围成的花圃面积最大，最大面积是多少？

【巩固答案】

1. 150

2. 解：（1）花圃的一边AB的长为x m，∴BC＝（24－4x）m，

∴S＝AB•BC＝x（24－4x）＝－4x2＋24x

∵，∴0＜x＜6；

（2）S＝－4x2＋24x＝－4（x－3）2＋36，

∴当x＝3时，花圃的面积最大，最大面积为36 m2．

知识点三：抛物线形建筑物问题

利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤：

（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中；

（2）设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式；

（3）利用二次函数的图象与性质求解实际问题．

注意：

同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式，通常应使已知点在坐标轴上．

【例3】如图所示，某河面上面有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20 m，若水位上升3 m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.

（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？

【例3】【解析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，先求出抛物线的解析式，然后结合抛物线的解析式求解即可．

【答案】

解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．

设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），

由CD＝10 m，可设D（5，b），

由AB＝20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，

则B（10，b－3），

把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：

，解得 ，

∴抛物线的解析式为：y＝－x2．

（2）由（1）知CD距拱顶的距离为1 m，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为＝5（h）．

所以从警戒线CD开始，再持续5小时到达拱桥顶．

【巩固】

1. 小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距离地面都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距离地面          m.

2. 某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6 m，则他在不弯腰的情况下在大棚内横向活动的最大范围是            m.

3. 如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m. 羽毛球沿水平方向运动4 m时，达到羽毛球距离地面最大高度m. 设羽毛球飞行的高度为y m，飞行的水平距离为x m.

（1）求羽毛球经过的路线对应的函数解析式.

（2）通过计算，判断此球能否过网.

【巩固答案】

1. 0.5 m

2. m

3.解：（1）依题意，函数的顶点为（4，），

故设函数的解析式为：y＝a（x－4）2＋，

∵点（0，1）在抛物线上

∴代入得1＝a（0－4）2＋，解得a＝－

则羽毛球经过的路线对应的函数解析式为：y＝－（x－4）2＋．

（2）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数解析式，

则当x＝5时，y＝－×（5－4）2＋＝＝1.625

∵1.625＞1.55

∴通过计算判断此球能过网．

知识点四：二次函数的综合问题

【例4】如图，已知一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象交于A（－1，0），B（2，n）两点，且二次函数的图象与y轴交于点C，P为抛物线顶点，求△ABP的面积.

【例4】【解析】直接求△ABP的面积较困难，可以过点P做抛物线的对称轴，将△ABP分为两个小三角形，通过求这两个小三角形的面积之和，可求△ABP的面积．

【答案】

解：把点A（－1，0）代入y1＝－x+m，得1＋m＝0，解得m＝－1，

∴一次函数的解析式为y1＝－x－1，

∵点B（2，n）在一次函数y1＝－x－1的图象上，∴n＝－2－1＝－3，

∴点B的坐标为（2，－3），

∵二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象经过A（－1，0），B（2，－3），

∴，解得，

∴二次函数的解析式为y2＝x2－2x－3.

∵y2＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，∴顶点P的坐标为（1，－4）.

作抛物线的对称轴，设抛物线的对称轴与AB交于点D，

当x＝1时，y1＝－1－1＝－2，∴D（1，－2），∴DP＝2.

∴S△ABP＝S△ADP＋S△BDP＝DP（xB－xA）＝×2×3＝3．

【巩固】

1. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.

（1）求直线BC的解析式；

（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标.

2. 如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）.

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；

（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标.

【巩固答案】

1. 解：（1）对于抛物线y＝x2－3x＋，

令y＝0，得x2－3x＋＝0，

解得x1＝ ， x2＝，

∴A（，0），B（，0），

令x＝0，得y＝，

∴C（0，）．

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

则有 ，解得，

∴直线BC的解析式为y＝－x＋．

（2）设D坐标为（m，m2－3m＋），

∴点E坐标为（m，－m＋），

设DE的长为d，

∵D是直线BC下方的一点，

∴d＝（－m＋）－（m2－3m＋）＝－m2＋m＝－（m－）2＋，

∴当m＝时，线段DE的长度最长，此时D（，－）．

2. 解:（1）把点B (3，0)的坐标代入y＝－x2＋mx＋3得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2.

∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.

∴顶点坐标为(1，4).

(2)如图，连接BC交抛物线的对称轴于点P，则此时PA＋PC的值最小.

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，易知C (0，3)，又B (3，0)，

则 ，解得，

∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.

当x＝1时，y＝－1＋3＝2.

当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2).