2021学年7.2 离散型随机变量及其分布列随堂练习题

7.2 离散型随机变量及其分布列(精练)

【题组一 随机变量的辨析】

1．(2021·全国·高二课时练习)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是(    )

A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数

C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数

【答案】B

【解析】根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，其可以一一列出，

其中随机变量X的取值0,1,2.故选：B.

2．(2021·全国·高二课时练习)下列变量中，不是随机变量的是________(填序号).

①下一个交易日上证收盘指数；

②标准大气压下冰水混合物的温度；

③明日上课某班(共50人)请假同学的人数；

④小马登录QQ找小胡聊天，设X＝.

【答案】②

【解析】根据随机变量的定义可知，①③④是随机变量，标准大气压下冰水混合物的温度为,所以不是随机变量，所以②不是随机变量.故答案为：②

【题组二 离散型随机变量及取值】

1．(2021·全国·高二课时练习)下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为(    )

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【答案】C

【解析】①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量.故选：C.

2．(2021·全国·高二课时练习)已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元．从中任取2支，若以表示取到的钢笔的较高单价(单位：元)，则的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】表示取出的2支钢笔为10元和20元，余类推，则任取2支钢笔的单价(单位：元)的所有可能情况为，，，，，，故取到的钢笔的较高单价为20元、30元、40元，即的取值范围为．故选：D

3．(2021·全国·高二课时练习)抛掷两枚骰子，所得点数之和为X，那么表示的试验结果为(    )

A．一枚1点､一枚3点 B．两枚都是4点

C．两枚都是2点 D．一枚1点､一枚3点，或者两枚都是2点

【答案】D

【解析】抛掷两枚骰子，所得点数之和为4包括：一枚1点､一枚3点，或者两枚都是2点，故选：D

4．(2021·全国·高二课时练习)(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是(    )

A．到年月日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数

B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高

C．某人在车站等出租车的时间

D．某人投篮次，可能投中的次数

【答案】BC

【解析】根据离散型随机变量的定义，即可以按照一定次序一一列出，可能取值为有限个或无限个，

选项B、C中的变量为连续型随机变量，而选项A、D中的变量都是离散型随机变量，

故选：BC.

5．(2021·全国·高二课前预习)(多选)下面是离散型随机变量的是(    )

A．某机场候机室中一天的游客数量X

B．某外卖员一天内收到的点餐次数X

C．某水文站观察到一天中长江的最高水位X

D．某立交桥一天经过的车辆数X

【答案】ABD

【解析】ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量．

6．(2021·全国·高二课时练习)(多选)下列是离散型随机变量的是(    )

A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为

B．某网站中某歌曲一天内被点击的次数为

C．一天内的温度为

D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射手在一次射击中的得分

【答案】ABD

【解析】ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征，而一天内的温度变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不是离散型随机变量.

故选：ABD．

7．(2021·福建·莆田第二十四中学高二月考)(多选)下面是离散型随机变量的是(    )

A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X

B．某人射击2次，击中目标的环数之和记为X

C．测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X

D．一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X

【答案】AB

【解析】根据离散型随机变量的定义知，A，B是离散型随机变量．故选：AB.

8．(2021·江苏省苏州第一中学校高二期中)(多选)如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为(    )

A．X取每一个可能值的概率是正数

B．X取所有可能值的概率和为1

C．X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和

D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

【答案】BC

【解析】对于A选项，X取每一个可能值的概率是非负数，故A选项错误.

对于B选项，X取所有可能值的概率和为1，故B选项正确.

对于C选项，X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确.

对于D选项，X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选项错误.

故选：BC

9．(2021·全国·高二课时练习)判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.

(1)某市医院明天接到120急救电话的次数ξ；

(2)公交车司机下周一收取的费用ξ；

(3)某单位下个月的用水量ξ；

(4)某家庭上个月的电话费ξ.

【答案】(1)是随机变量，是离散型随机变量；

(2)是随机变量，是离散型随机变量；

(3)是随机变量，不是离散型随机变量；

(4)不是随机变量.

【解析】(1)ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能为0，1，2，…，是随机变量，也是离散型随机变量；

(2)ξ的取值随乘客的数量变化而变化，是随机变量，也是离散型随机变量.

(3)ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能取[0，＋∞)内某一区间上的所有值，无法一一列出，是随机变量，但不是离散型随机变量.

(4)ξ的取值是一个定值，故不是随机变量.

10．(2021·全国·)写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

在含有8件次品的50件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数是随机变量．

【答案】答案见解析

【解析】随机变量可能的取值为0，1，2，3，4．

表示“抽取0件次品”；

表示“抽取1件次品”；

表示“抽取2件次品”；

表示“抽取3件次品”；

表示“抽取的全是次品”．

【题组三 分布列的性质的应用】

1．(2021·全国·高二课时练习)设是离散型随机变量，则下列不一定能成为的概率分布列的一组概率的是(    )

A．0.1，0.2，0.2，0.3，0.3

B．0.1，0.2，0.3，0.4

C．，(为实数)

D．，，，，(，)

【答案】C

【解析】对于A，概率和不为1，一定不符合；

显然B满足，故一定符合；

对于D，有，

又且，，所以它满足分布列的性质，

对于C，由于为实数，不妨取，显然，不满足概率的非负性，

而当时，满足分布列的性质，所以C不一定符合，

故选：C．

2．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

解得.故.故选：

3．(2021·黑龙江·哈尔滨三中高二月考)已知随机变量的概率分布如下：

则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由离散型随机变量分布列的性质，可知，所以.

故选：C.

4．(2021·全国·高二课时练习)(多选)设离散型随机变量的分布列为

则下列各式正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】由分布列可知，∵事件“”不存在，，∴A正确；
，∴B正确；
，，∴C，D均不正确.
故选AB.

5．(2021·全国·高二单元测试)已知随机变量的概率分布如下表，且，则______．

【答案】0.2

【解析】由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，因此．

故答案为：0.2.

6．(2021·全国·高二课时练习)若随机变量X的分布列如下表所示：

则a2＋b2的最小值为________．

【答案】

【解析】由分布列的性质，知，即.

因为，当且仅当时取等号.

所以的最小值为.

故答案为：

7．(2021·江西省兴国县第三中学高二月考(理))某篮球运动员在一次投篮训练中的得分的分布列如下表所示，其中成等差数列，且

则这名运动员得3分的概率是__________．

【答案】

【解析】由题知，，又成等差数列，有，

由分布列的性质知，，且，，，

联立，解得，，.

由表可知，这名运动员得3分的概率是.故答案为：.

8．(2021·全国·高二单元测试)若随机变量X的概率分布如表，则表中a的值为______．

【答案】0.2

【解析】由随机变量X的概率分布表得：，解得．故答案为：0.2

9．(2021·浙江丽水·高二课时练习)设随机变量X的概率分布列为

则________．

【答案】

【解析】由，解得，.

故答案为：.

10．(2021·江苏省海头高级中学高二月考)随机变量的分布列如表格所示，，则的最小值为______．

【答案】9

【解析】根据概率分布得，且，

当且仅当时取等号即的最小值为9故答案为：9

【题组四 离散型随机变量的分布列】

1．(2021·广东·清远市清新区凤霞中学高二期中)某市，两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了3名男生、2名女生，中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．

(1)求中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列．

【答案】(1)；(2)分布列见解析.

【解析】(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．

代表队中的学生全从中学抽取(等价于中学没有学生入选代表队)的概率为，

因此，中学至少有1名学生入选代表队的概率为；

(2)根据题意，知的所有可能取值为1，2，3，

，

，

，

所以的分布列为

2．(2021·山东威海·高二期末)在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市，城市进行两场比赛. 根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响. 规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.

(1)求两场比赛甲队恰好负一场的概率；

(2)求两场比赛甲队得分的分布列.

【答案】(1)；(2)分布列见解析.

【解析】(1)设甲队在城市比赛负的事件为，甲队在城市比赛负的事件为，

由题意可知， ，

甲队恰好负一场的事件是与的和，它们互斥，

所以；

(2)由题意可知，随机变量的所有可能值是，

，，，

，，，

则的分布列为

3．(2021·全国·高二专题练习)4月23日是“世界读书日”，学校开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高二学生课外阅读情况，从高二某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：

(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列．

【答案】(1)；(2)分布列见解析．

【解析】(1)由题意从12人中任抽取2人的方法为，

由题设知，甲、乙、丙、丁四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3

2人来自同一组的方法数为，

所以所求概率为；

(2)随机变量的取值依次为，

，，，

分布列为

4．(2021·福建·莆田第二十四中学高二月考)从一批含有10个合格品与3个次品的产品中，一个一个地抽取，设每个产品被抽到的可能性相同．在下列两种情况下，分别求出取到合格品所需抽取次数X的分布列．

(1)每次取出的产品都不放回到该批产品中；

(2)每次取出的产品都立即放回到该批产品中，然后再任取一个产品．

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【解析】(1)X的所有可能取值为1，2，3，4.

P(X＝1)＝，

P(X＝2)＝，

P(X＝3)＝，

P(X＝4)＝.

故X的分布列为

(2) X的所有可能取值为1，2，3……n……

X＝1，即第一次取出合格品，

故P(X＝1)＝，

X＝2，即第2次取到合格品，第1次取到不合格品，故P(X＝2)＝…，

X＝n，即第n次取到合格品，前(n－1)次取到的产品均不合格，

故P(X＝n)＝＝，…，

故X的分布列为

5．(2021·浙江丽水·高二课时练习)一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列.

【答案】分布列答案见解析

【解析】随机变量ξ的可能取值为3，4，5.

当ξ=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1，2，

故有P(ξ=3)=；

当ξ=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1，2，3的3只球中取2只，故有P(ξ=4)=；

当ξ=5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1，2，3，4的4只球中取2只，故有P(ξ=5)=.

因此ξ的分布列为

6．(2021·全国·高二单元测试)某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标的值评定身体素质等级，若，则为一级；若，则为二级；若，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：

(1)在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；

(2)从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量，求X的分布列．

【答案】(1)；(2)分布列见解析.

【解析】(1)由表可知，指标z为0的有，指标z为1的有，，，，，，指标z为2的有，，．

在这10人中任取2人，所有的情况种数为，抽取的2人指标z相同包含的情况种数为，

所以抽取的2人指标z相同的概率．

(2)由题意得10人的综合指标如表：

其中等级是一级的有，，，，，，共6个，等级不是一级的有，，，，共4个．

随机变量X的取值范围为，，，

，，，

所以X的分布列为：

7．(2021·全国·高二单元测试)随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．

(1)若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；

(2)若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．

【答案】(1)；(2)分布列见解析.

【解析】(1)从袋子里连续抽取3次，每次取1个球，设事件A为“取出1个黄色足球、2个白色足球”，则．

(连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率问题可转化为从5个足球中选出3个足球，其中有1个黄色足球、2个白色足球的概率问题)

(2)X的取值范围为，

则，，．

所以总得分X的分布列为：

8．(2021·全国·高二课时练习)某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括x位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师.每一位学生被派的机会是相同的.

(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，试求出n与x的值；

(2)在(1)的条件下，记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列.

【答案】(1)n＝5，x＝2或n＝6，x＝3；(2)答案见解析.

【解析】(1)从n位优秀毕业学生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数为，

2位学生中恰有1位女生的结果数为

依题意可得＝＝，

化简得n2－11n＋30＝0，

解得n1＝5，n2＝6.

当n＝5时，x＝5－3＝2；

当n＝6时，x＝6－3＝3，

故所求的值为n＝5，x＝2或n＝6，x＝3；

(2)①当n＝5，x＝2时，X可能的取值为0，1，2，

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

故X的分布列为

②当n＝6，x＝3时，X可能的取值为0，1，2.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

故X的分布列为

9．(2021·全国·高二课时练习)一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2，3，4，5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3，4，5，6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列.

【答案】答案见解析

【解析】依题意，η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11.

则有P(η＝5)＝＝，

P(η＝6)＝，P(η＝7)＝，

P(η＝8)＝，P(η＝9)＝，

P(η＝10)＝，P(η＝11)＝.

所以η的分布列为：

10．(2021·全国·高二课时练习)某大学开设甲､乙､丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用表示小张选修的课程数量和没有选修的课程数量的乘积.

(1)求学生小张选修甲的概率.

(2)记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率.

(3)求的分布列.

【答案】(1)0.4(2)0.24(3)答案见解析

【解析】(1)设学生小张选修甲､乙､丙的概率分别为x，y，z，

则解得所以学生小张选修甲的概率为0.4.

(2)若函数为R上的偶函数，则.

当时，表示小张选修三门课或三门课都不选，

所以，

即事件A的概率为0.24.

(3)根据题意，知可能的取值为0，2，.

根据分布列的性质，知，

所以的分布列为