数学5.3 诱导公式学案

5.3　诱导公式(二)

学习目标　 1.了解公式五和公式六的推导方法.2.能够准确记忆公式五和公式六.3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．

知识点一　公式五

1．角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．

2．公式：sin＝cos α，cos＝sin α.

思考　设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？

答案　P2(y，x)．

知识点二　公式六

1．公式：sin＝cos α，cos＝－sin α.

2．公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.

思考　如何由公式四及公式五推导公式六？

答案　sin＝sin＝sin＝cos α，

cos＝cos＝－cos＝－sin α.

预习小测　自我检验

1．若cos A＝，那么sin＝        .

答案　

2．已知sin α＝，则cos＝        .

答案　

解析　cos＝sin α＝.

3．已知sin α＝，α为第二象限角，则cos＝        .

答案　－

4．若α＋β＝且sin α＝，则cos β＝        .

答案　

解析　因为α＋β＝，所以β＝－α，

所以cos β＝cos＝sin α＝.

一、化简求值

例1　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)

A.   B.

C．－   D．－

答案　B

解析　sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)

＝－sin 59°(－tan 31°)

＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)

＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°

＝＝.

(2)已知sin＝，则cos的值为        ．

答案　

解析　cos＝cos

＝sin＝.

延伸探究

1．将本例(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos的值．

解　cos＝cos＝－sin＝－.

2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin的值．

解　因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，

又sin＝，

所以－α是第二象限角，

所以cos＝－，

所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝.

反思感悟　解决化简求值问题的策略：

(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．

提醒：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等．

跟踪训练1　(1)已知sin＝，则cos的值等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　cos＝cos＝－sin＝－.

(2)已知sin＝，那么cos α等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　C

解析　sin＝sin＝sin＝cos α＝.

二、证明恒等式

例2　求证：＝.

证明　左边＝＝＝＝，

右边＝，所以原等式成立．

反思感悟　三角恒等式的证明策略

对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

跟踪训练2　求证：＋＝.

证明　左边＝＋

＝＋＝

＝＝＝右边，

∴原等式成立．

三、诱导公式的综合应用

例3　已知cos α＝－，且α为第三象限角．

(1)求sin α的值；

(2)求f(α)＝的值．

解　(1)因为α为第三象限角，

所以sin α＝－＝－.

(2)f(α)＝＝tan α·sin α＝·sin α

＝＝2×＝－.

延伸探究

1．本例条件不变，求f(α)＝的值．

解　f(α)＝＝sin α＝－.

2．本例条件中“cos α＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值．

解　由题意知m2＋2＝1，

解得m2＝，

因为α为第二象限角，故m<0，

所以m＝－，

所以sin α＝，cos α＝－.

原式＝＝＝－.

反思感悟　用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．

(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．

跟踪训练3　已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．

解　因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，

所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，

所以sin α＝，cos α＝－，

所以原式＝＝－·＝×＝2.

1．sin 95°＋cos 175°的值为(　　)

A．sin 5°   B．cos 5°

C．0   D．2sin 5°

答案　C

解析　原式＝cos 5°－cos 5°＝0.

2．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　C

3．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角　C．第三象限角  D．第四象限角

答案　B

解析　由于sin＝cos θ<0，

cos＝sin θ>0，

所以角θ的终边落在第二象限，故选B.

4．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝        .

答案　

解析　由题意得sin α＝－＝－，

所以cos＝－sin α＝.

5．化简：sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝        .

答案　－1

解析　原式＝－sin α·sin α－cos α·cos α＝－1.

1．知识清单：利用诱导公式进行化简、求值与证明．

2．方法归纳：奇变偶不变，符号看象限．

3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造．

1．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于(　　)

A．a  B．－a  C．a2  D.

答案　A

解析　cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a.

2．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于(　　)

A．－  B.  C.  D．－

答案　A

解析　∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.

∴cos＝cos＝－cos＝－sin α＝－.

3．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，

得－sin α－sin α＝－a，即sin α＝.

cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a.

4．如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)等于(　　)

A．－  B.  C.  D．－

答案　B

解析　易知sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－.

原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝.

5．已知sin＝，则cos的值是(　　)

A．－  B.  C.  D．－

答案　B

解析　因为cos＝cos

＝sin＝，故选B.

6．已知sin α＝，则cos＝        .

答案　－

解析　cos＝cos＝－cos＝－sin α＝－.

7．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝        .

答案　

解析　原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin245°

＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋2＝1＋1＋＝.

8．已知cos＝2sin，则＝        .

答案　

解析　因为cos＝2sin，

所以sin α＝2cos α.

原式＝＝＝.

9．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求下列各式的值：

(1)sin α－cos α；

(2)sin3＋cos3.

解　(1)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，

得sin α＋cos α＝，

两边平方整理得2sin αcos α＝－，

又<α<π，∴sin α>0，cos α<0，

∴sin α－cos α>0，

∴sin α－cos α＝＝＝.

(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos αsin α＋sin2α)

＝－×＝－.

10．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，

求：的值．

解　∵5x2－7x－6＝0的根为x＝2或x＝－，

∴sin α＝－.

又∵α为第三象限角，

∴cos α＝－＝－.

∴tan α＝.

∴原式＝＝tan α＝.

11．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α等于(　　)

A.  B.　C.  D.

考点　综合运用诱导公式化简与求值

题点　综合运用诱导公式求值

答案　C

解析　由题意，得

解得tan α＝3，

又α为锐角，sin2α＋cos2α＝1，

可得sin α＝.

12．化简：等于(　　)

A．－sin θ  B．sin θ  C．cos θ  D．－cos θ

答案　A

解析　原式＝＝＝－sin θ.

13．若sin＝，则cos＝        .

答案　－

解析　cos＝cos＝－sin＝－.

14．已知sin＝，则sin＝          ， cos＝        .

答案　－　

解析　sin＝sin

＝－sin＝－；

cos＝cos

＝sin＝.

15．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)

A．cos(A＋B)＝cos C

B．sin(A＋B)＝－sin C

C．cos ＝sin B

D．sin ＝cos

答案　D

解析　因为A＋B＋C＝π，

所以A＋B＝π－C，＝，＝，

所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，

sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

cos ＝cos＝sin ，

sin ＝sin＝cos .

16．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)

＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解　假设存在角α，β满足条件，

则

由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.

∴cos2α＝，

∵α∈，

∴cos α＝，

∴α＝±.

当α＝时，cos β＝，

∵0<β<π，∴β＝；

当α＝－时，cos β＝，

∵0<β<π，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．

∴存在α＝，β＝满足条件．