高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念教学设计及反思

课程目标

学科素养

1.     了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
2.     掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
3.     并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

D、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

E、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

1.数学抽象：平面向量的概念；

2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量；

3.直观想象：向量的几何表示；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情景引入

1.  老鼠以10m/s的速度向东跑，猫以50m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？

分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.[来源:Zxxk.Com]

2.问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？

   质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向。

二、探索新知

（一）向量的实际背景与概念

1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？

【答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。

2.（1）向量与数量的定义：

   既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量);

   只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).

注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.

练习：下列量不是向量的是（       ）

（1）质量  （2） 速度   （3） 位移   （4）力  （5）加速度

（6）    面积  （7）年龄  （8） 身高

 【答案】（1）（6） （7） （8）

（二）向量的几何表示

探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？

1.有向线段的定义

在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.

如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作   .

线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 .

思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？

【答案】三个要素：起点、方向、长度.

2. 向量的几何表示

画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.

3. 向量的表示方法：

一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。

若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示）.

注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置. 数学中的向量也叫自由向量.

（2）.有向线段与向量的区别：

有向线段：三要素：起点、大小、方向。

向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。

4.向量的模

向量的大小，就是向量的长度（或模），记作或记作。

思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

【答案】可以为0,1，不能为负数。

5.零向量：长度为0的向量，记作.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向.  
           故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.

（2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.

例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）

（三）.相等向量与共线向量

思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 ，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？

【答案】模相等，方向相同； 模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同；

1.平行向量定义：[来源:学科网ZXXK]

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

2.相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

3.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

牛刀小试;

填空：

（1）平行向量是否一定方向相同？（     ）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（       ）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（      ）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（      ）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（       ）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（        ）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（      ）

【答案】（1）不一定  （2）不一定   (3零向量

（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同

（7）不一定

例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与向量、、相等的向量.

通过生动的例子及物理知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过物理量路程与位移引入向量概念，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

提高练习，进一步巩固向量的概念。

通过探究，引入向量表示，提高学生分析问题、概括能力。

通过思考，进一步理解向量的表示。

提高思考，引入特殊的向量，增强对概念的理解，提高学生分析问题的能力。

通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。

通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。

通过练习，进一步巩固所学的向量有关知识，提高学生解决问题的能力。

通过例题的讲解，让学生进一步理解共线向量、相等向量，提高学生解决与分析问题的能力。

三、达标检测

1．下列说法中正确的个数是(　　)

①身高是一个向量；

②∠AOB的两条边都是向量；

③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

④物理学中的加速度是向量．

A．0 B．1

C．2 D．3

【解析】　只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．

【答案】　B

2．在下列判断中，正确的是(　　)

①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单位向量的长度都相等；

④单位向量都是同方向；

⑤任意向量与零向量都共线．

A．①②③ B．②③④

C．①②⑤ D．①③⑤

【解析】　由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④不正确，故选D．

【答案】　D

3．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是(　　)

A．e1＝e2 B．e1∥e2

C．|e1|＝|e2| D．以上都不对

【解析】　单位向量的模都等于1个单位，故C正确．

【答案】　C

4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．

【解析】　由向量的相关概念可知④⑥正确．

【答案】　④⑥

5.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量相等的向量．

【解】　由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.

通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1.向量及向量的有关概念、表示方法；

2还知道有两个特殊向量；

3.学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量

五、作业

习题6.1   2,3题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。