初中13.1.2 线段的垂直平分线的性质备课课件ppt

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线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？什么叫线段的垂直平分线？
知识板块一　线段的垂直平分线的性质
探究 如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系.
可以发现，点 P1，P2, P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.
如图,直线l⊥AB，垂足为C，AC = CB，点P在l上.求 证PA=PB.证明：∵ l ⊥AB， ∠PCA=∠PCB. 又 AC=CB, PC=PC， ∴△ PCA ≌△ PCB (SAS). ∴PA=PB.
知识板块二　线段的垂直平分线的判定
反过来，如果PA=PB, 那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
通过证明可以得到： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线．
分析：根据角平分线的性质可得CD＝DE，所以点D在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE的垂直平分线上，就能证明．
证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上； 在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD＝AD， CD＝ ED， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE， ∴点A也在CE的垂直平分线上， ∴直线AD是CE的垂直平分线．
利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端点的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上)．
知识板块三　作线段的垂直平分线
我们已能用尺规完成：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作一个角的平分线；(4)经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可.
那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？如何作出线段的垂直平分线？
基本作图 作线段的垂直平分线.
已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.
（2）作直线CD. CD即为所求.
（1）分别以点A，B为圆心， 以大于 AB的长为半径 作弧，两弧交于C，D两点.
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3
2.如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？
解：如图．连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点即为所求水泵站的位置．
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB；(不写作法，保留作图痕迹)(2)连接AP，当∠B为多少度时，AP平分∠CAB.
解： (2)∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠B.∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠PAC， ∴∠PAB＝∠PAC＝∠B.∵∠ACB＝90°，∴∠PAB＋∠PAC＋∠B＝90°，∴3∠B＝90°，即当∠B＝30°时，AP平分∠CAB.