【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件限时小练31　椭圆的方程及性质的应用

限时小练31　椭圆的方程及性质的应用

1.已知椭圆L：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.

(1)求椭圆L的标准方程；

(2)过点Q(0，2)的直线l与椭圆L交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程及|AB|的大小.

解　(1)由e2＝＝＝1－＝，

得a2＝4b2.

又∵短轴长为2可得b＝1，a2＝4，

∴椭圆L的标准方程为＋y2＝1.

(2)易知直线l的斜率存在且不为零，

设直线l的斜率为k(k≠0)，

则直线l的方程为y＝kx＋2，

联立

消去y，得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，

Δ＝(16k)2－48(4k2＋1)＝16(4k2－3)>0，

即k2>.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

由题意可知⊥，所以·＝0，

即x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，

∴－＋4＝0，

解得k2＝4>，即k＝±2.

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·＝.

综上，直线l的方程为y＝±2x＋2，|AB|＝.

2.已知椭圆C的焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点.

(1)求线段AB的中点坐标；

(2)求△AOB的面积.

解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意得a＝3，c＝2，于是b＝1，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

由得10x2＋36x＋27＝0.

因为该一元二次方程的Δ>0，所以点A，B不同，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，

y1＋y2＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝，

故线段AB的中点坐标为.

(2)设点O到直线y＝x＋2的距离为d，

则d＝＝.

又由(1)知x1x2＝，所以|AB|＝

＝＝，

故S△AOB＝××＝.