培优课　求数列的通项

求数列的通项公式多以小题的形式出现，但也可作为解答题，主要考查利用累加法、累乘法、公式法等求数列的通项公式，利用通项公式求数列中的项、公差、公比等，试题较灵活.

类型一　利用an与Sn的关系求通项

例1 (1)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________.

(2)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N＋，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝________.

答案　(1)an＝　(2)n

解析　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，

当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，

所以数列{an}的通项公式为an＝

(2)∵an，Sn，a成等差数列，

∴2Sn＝an＋a.

当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a.

又a1>0，∴a1＝1.

当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，

∴(a－a)－(an＋an－1)＝0.

∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，

∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，

∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，

∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，

∴an＝n(n∈N＋).

类型二　利用递推关系求通项

例2 (1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求数列{an}的通项公式；

(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式；

(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式；

(4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式.

解　(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，

即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，n≥2.

又a1＝1也适合上式，

∴an＝，n∈N＋.

(2)因为an＝an－1(n≥2)，

所以an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.

以上(n－1)个式子，累乘得an＝a1···…·＝＝(n≥2).

又a1＝1符合上式，∴an＝.

(3)因为an＋1＝3an＋2，

所以an＋1＋1＝3(an＋1)，

所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a1＋1＝2，

所以an＋1＝2·3n－1，

所以an＝2·3n－1－1.

(4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，

∴＝＋，

即－＝，又a1＝1，则＝1，

∴是以1为首项，为公差的等差数列.

∴＝＋(n－1)×＝＋，

∴an＝(n∈N＋).