高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册*1.4 数学归纳法课文ppt课件

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1.数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1吗?不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,初始值n0=3.2.用数学归纳法证明等式时,由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1,等式的项数一定增加了 一项吗?不一定.如用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1= (a≠1)”时,由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1,等式左边增加了两项.
　　利用数学归纳法证明与正整数n有关的一些恒等式问题时,关键是看清等式 两边的项,弄清等式两边项的构成规律,进而利用当n=k(k≥n0,k∈N+)时的假设.证 明恒等式的一个重要技巧就是两边“凑”.
1 利用数学归纳法证明等式
 典例　用数学归纳法证明1- + - +…+ - = + +…+ (n∈N+).
思路点拨    (1)验证当n=1时等式成立;(2)由n=k(k∈N+)时等式成立推出n=k+1时等 式也成立.
证明    (1)当n=1时,等式左边=1- = ,右边= ,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,即1- + - +…+ - = + +…+ ,
那么当n=k+1时,1- + - +…+ - + - = + +…+ + - = + +…+ + ,
所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)知,等式对一切正整数均成立.
　　证明不等式往往比证明恒等式难度更大,方法更灵活,除了综合法外,作差比 较法、分析法、反证法也是常用的方法,另外恰当地放缩是证明不等式特有的技 巧.
2 利用数学归纳法证明不等式
 典例　用数学归纳法证明:1+ + +…+ ≤ +n(n∈N+).
思路点拨　分别确定当n=k(k∈N+),n=k+1时不等式的左边的值,找到它们之间的 关系,运用数学归纳法证明.
证明    (1)当n=1时,1+ = ,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即1+ + +…+ ≤ +k,则当n=k+1时,1+ + +…+ + + +…+ < +k+2k· = +(k+1),即当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,
不等式对任意n∈N+都成立.
“归纳—猜想—证明”的解题步骤
3 归纳—猜想—证明解决与递推公式有关的数列问题
 典例　已知数列{an}满足a1=a(a>0),an= (n≥2,n∈N+).(1)用a表示a2,a3,a4;(2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明.
思路点拨    (1)利用递推公式求出a2,a3,a4.(2)结合(1)归纳出an的通项公式,再用数 学归纳法证明结论.
解析    (1)由已知得,a2= = ,a3= = = ,a4= = = .(2)因为a1=a= ,a2= ,……所以猜想an= .
下面用数学归纳法证明:①当n=1时,因为a1=a= ,所以当n=1时,猜想成立.②假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立,即ak= ,所以当n=k+1时,ak+1= = =