【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件培优课　排列组合的题型归纳

培优课　排列组合的题型归纳

排列组合问题主要考查分类、分步计数原理的应用，突出分类讨论思想、转化化归思想的应用.问题情景的设置越来越接近生活，生动有趣，题型多样，思路灵活；能否将实际问题合理、正确地转化成排列组合问题，灵活运用基本原理和公式进行解答，是能否解决这类试题的关键.

类型一　捆绑法解相邻问题

题目中规定相邻的几个元素并为一组(当作一个元素)参与排列

(1)首先将题目中规定相邻的几个元素作为一个整体；

(2)然后运用排列组合知识求出不同的情况数.

例1 (1)在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁、戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有(　　)

A.8种   B.12种 

C.20种   D.24种

答案　C

解析　当甲排在第一位时，共有AA＝12种发言顺序，当甲排在第二位时，共有CAA＝8种发言顺序，所以一共有12＋8＝20种不同的发言顺序.故选C.

(2)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)

A.3×3!   B.3×(3！)3

C.(3！)4   D.9!

答案　C

解析　利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.

类型二　插空法解不相邻问题

在题目中限定某几个元素不相邻，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定不相邻的几个元素插入上述几个元素间形成的空位中.

例2 (1)某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有(　　)

A.120种   B.48种

C.36种   D.18种

答案　C

解析　先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有2种，另一奥运广告插入3个商业广告之间，有3种；再考虑3个商业广告的顺序，有A＝6种，故共有2×3×6＝36(种).

(2)两位老师甲、乙和四位学生站成一排.

①两位老师不能相邻，共有多少种排法？

②甲在乙左边，共有多少种排法？

③最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，共有多少种排法？

(列出式子并计算结果，结果用数字表示)

解　①将两位老师插入到把四位学生排列后所成的空中，故有AA＝480(种)，

②先把六位全排，两位老师定序，故有＝360(种)，

③第一类，最左端排甲，其余任意排，有A种，

第二类，最左端排乙，最右端从不包含甲的剩余4人选一个，其余任意排，有AA种，故有A＋AA＝216(种).

类型三　特殊元素(位置)优先安排

对于带有特殊元素(位置)的排列组合问题， 一般应先满足特殊元素的要求， 再考虑其它元素.

例3 (1)为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程.

(i)若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”和“乐”排在相邻两周的排法种数；

(ii)若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；

(iii)甲、乙、丙、丁、戊五名教师任教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数.

解　(i)将“射”和“乐”两门课程捆绑，形成一个大元素，所以“射”和“乐”排在相邻两周的排法种数为AA＝240.

(ii)根据题意，分2种情况讨论：

①“射”排在最后一周，剩下的课程没有限制，有A＝120(种)排法；

②“射”不排在最后一周，则“射”有4种安排方法，“数”也有4种安排方法，剩下的4门课程没有限制，共有4×4×A＝384(种).由分类加法计数原理可知，共有120＋384＝504(种)不同的排法.

(iii)根据题意，分以下2种情况讨论：①甲教两科时，有CA＝240(种)排法；

②甲教一科时，有CCA＝1 200(种)排法.综上所述，共有240＋1 200＝1 440(种)排法.

(2)4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有(　　)

A.12种   B.14种 

C.16种   D.24种

答案　B

解析　若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24(种)排法，除甲跑第一棒有A＝6(种)排法，乙跑第4棒有A＝6(种)排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A＝2(种)排法，共有A－2A＋A＝14(种)不同的出场顺序.

类型四　总体淘汰法

对于含有否定字眼或至少、至多类型的问题时，可以利用直接法分类讨论，也可以利用间接法，即：首先计算总体的种数，然后从总体中把不符合要求的除去.

例4 (1)中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐，其中空中梯队编有12个梯队，在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这6个梯队中，某学校为宣传的需要，要求甲同学需从中选3个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个，则不同的选法种数为(　　)

A. 12种   B. 16种 

C. 18种   D. 20种

答案　B

解析　从6个梯队中任选3个的选法有C＝20种，若没有舰载机梯队、歼击机梯队的选法有C＝4种，则舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个的选法有20－4＝16(种).故选B.

(2)某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，至少有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种.(用数字作答)

答案　40

解析　3人乘坐不同电梯种数为A，所有乘坐方式有43种，故至少有2人乘坐同一部电梯的种数为43－A＝40.

类型五　涂色或种植问题

关于涂色或种植问题解决方式有两种，一是按照一定的顺序涂色或种植；二是按照填涂颜色(种植植物)的种类分类.

例5 (1)如图，从左到右有5个空格.

(i)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？

(ii)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？

解　(i)根据题意，分2步进行分析：

①第三个格子不能填0，则0有4种选法；

②将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有A种情况，

则一共有4A种不同的填法.

(ii)根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，

第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，

同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，

则五个格子共有3×2×2×2×2＝48(种)不同的涂法.

(2)如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC－A′B′C′的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色.

(i)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？

(ii)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？

(注：最终结果均用数字作答)

解　(i)由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有AA＝576(种).

(ii)若B′，A′，A，C用四种颜色，则有A＝24；若B′，A′，A，C用三种颜色，则有A×2×2＋A×2×2＝192；若B′，A′，A，C用两种颜色，则有A×2×2＝48.

所以共有24＋192＋48＝264(种).