数学九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系优秀ppt课件

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转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿着圆的切线的方向飞出的．
3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
1. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离是多少？
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
直线 l 和⊙O有什么位置关系?
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例1 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，点A,且AB=AC.求证：AC是☉O的切线.
分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC- ∠ACB=90°.
∴ AC是☉O的切线.
如图 所示，线段 AB 经过圆心 O，交⊙O 于点 A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边 BD 交圆于点 D.BD 是⊙O 的切线吗？为什么？
解：BD 是⊙O 的切线．
连接 OD, ∵OD＝OA，∠A＝30°， ∴∠DOB＝60°.
∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°.∴BD 是⊙O 的切线．
例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线.
如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB求证：直线AB是⊙O的切线.
如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6.求证：直线AB是⊙O的切线.
(1) 有交点，连半径,证垂直;(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点.
证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.
则OM 作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.连接OA,根据垂径定理，则CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
(1)求证：△ACB≌△APO；
在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO（ASA）.
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．
∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半径为1.
如图所示，点 A 是⊙O 外一点，OA 交⊙O 于点 B，AC 是⊙O 的切线，切点是 C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O 的半径．
解：连接 OC.∵ AC 是⊙O 的切线， ∴ ∠OCA ＝90°.又∵ ∠A＝30°，∴ ∠COB＝60° ∴ OBC 是等边三角形．∴ OB＝BC＝1，即⊙O 的半径为 1.
如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF、CM．判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由.
解：CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线.
1.判断下列命题是否正确.（1）经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）（2）垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
2. 如下图所示，A是☉O上一点，且AO=5, PO=13, AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .
3. 如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）A．40° B．35° C．30° D．45°
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4, PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB. ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线.
1. 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线.
2. 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．
已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：① _________ ；② _____________ .（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴ ∠D+ ∠DAC=90 °,∵ ∠D与∠B同对 ,∴ ∠D= ∠B,又∵ ∠CAE= ∠B,∴ ∠D= ∠CAE,∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直.