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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)图片课件ppt

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)图片课件ppt,文件包含19-20第5章54543正切函数的性质与图象ppt、19-20第5章54543正切函数的性质与图象doc、课时分层作业44正切函数的性质与图象doc等3份课件配套教学资源,其中PPT共49页, 欢迎下载使用。

    5.4.3 正切函数的性质与图象

     

    学 习 目 标

    核 心 素 养

    1.能画出正切函数的图象(重点)

    2.掌握正切函数的性质(重点难点)

    3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(易错点)

    1.借助正切函数的图象研究问题培养直观想象素养.

    2.通过正切函数的性质的应用提升逻辑推理素养.

    正切函数的图象与性质

    解析式

    ytan x

    图象

    定义域

    值域

    R

    周期

    π

    奇偶性

    奇函数

    对称中心

    kZ

    单调性

    在开区间kZ内都是增函数

    1在下列函数中同时满足:上递增;为周期;是奇函数的是(  )

    Aytan x   Bycos x

    Cytan   Dy=-tan x

    C [AD的周期为πB中函数在上递减故选C.]

    2函数ytan的定义域为________

     [因为2xkπkZ

    所以xkZ

    所以函数ytan的定义域为

    .]

    3函数ytan 3x的最小正周期是________

     [函数ytan 3x的最小正周期是.]

    4函数ytan的单调增区间是________

    kZ [kπxkπkZ

    kπxkπkZ

    即函数ytan的单调增区间是

    kZ.]

    有关正切函数的定义域值域问题

    【例1 (1)函数y的值域是(  )

    A(1,1) B(∞,1)(1)

    C(∞,1)   D(1)

    (2)函数y3tan的定义域为________

    (3)函数ylg(1tan x)的定义域为________

    [思路点拨] 求定义域时要注意正切函数自身的限制条件另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线

    (1)B (2)

    (3) [(1)当-x01tan x01

    0x0tan x11.

    即当x函数y的值域是(1)(1)

    (2)要使函数有意义应满足kπkZx4kπkZ

    所以函数的定义域为.

    (3)要使函数ylg(1tan x)有意义

    即-1tan x<1.

    上满足上述不等式的x的取值范围是.

    又因为ytan x的周期为π所以所求x的定义域为.]

    1求正切函数定义域的方法

    (1)求与正切函数有关的函数的定义域时除了求函数定义域的一般要求外还要保证正切函数ytan x有意义即xkπkZ.

    (2)求正切型函数yAtan(ωxφ)(A0ω0)的定义域时要将ωxφ视为一个整体”.ωxφkπkZ解得x.

    2解形如tan xa的不等式的步骤

    提醒:求定义域时要注意正切函数自身的限制条件

    1函数ylogtan的定义域是(  )

    A.

    B.

    C.

    D.

    B [由题意tan0

    tan0

    kπxkπ

    kπxkπkZ故选B.]

    2求函数ytan2tan1的定义域和值域

    [] 由3xkπkZx(kZ)所以函数的定义域为.

    ttan

    tRyt2t12

    所以原函数的值域是.

    正切函数奇偶性周期性和图象的对称性

    【例2 (1)函数f(x)tan的周期为________

    (2)已知函数ytan则该函数图象的对称中心坐标为________

    (3)判断下列函数的奇偶性:

    y3xtan 2x2x4ycostan x.

    [思路点拨] (1)形如yAtan(ωxφ)(0)的周期T也可以用定义法求周期

    (2)形如yAtan(ωxφ)(0)的对称中心横坐标可由ωxφkZ求出

    (3)先求定义域看是否关于原点对称若对称再判断f(x)f(x)的关系

    (1) (2)kZ [(1)法一:(定义法)

    tantan

    tantan

    f(x)tan的周期是.

    法二:(公式法)

    f(x)tan的周期T.

    (2)x(kZ)x(kZ)所以图象的对称中心坐标为kZ.]

    (3)定义域为关于原点对称

    f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)所以它是偶函数

    定义域为关于原点对称

    ycostan xsin xtan x

    f(x)sin(x)tan(x)=-sin xtan x

    =-f(x)所以它是奇函数

    1函数f(x)Atan(ωxφ)周期的求解方法:

    (1)定义法

    (2)公式法:对于函数f(x)Atan(ωxφ)的最小正周期T.

    (3)观察法(或图象法):观察函数的图象看自变量间隔多少函数值重复出现

    2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法:

    先求函数的定义域看其定义域是否关于原点对称若其不关于原点对称则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称再看f(x)f(x)的关系

    提醒ytan xxkπkZ的对称中心坐标为kZ.

    3判断下列函数的奇偶性:

    (1)f(x)

    (2)f(x)tantan.

    [] (1)

    f(x)的定义域为

    不关于原点对称

    所以函数f(x)既不是偶函数也不是奇函数

    (2)函数定义域为

    关于原点对称

    f(x)tantan

    =-tantan

    =-f(x)

    所以函数f(x)是奇函数

    正切函数单调性的应用

    [探究问题]

    1正切函数ytan x在其定义域内是否为增函数?

    提示不是正切函数的图象被直线xkπ(kZ)隔开所以它的单调区间只在(kZ)而不能说它在定义域内是增函数假设x1x2πx1<x2tan x1tan x2.

    2如果让你比较tantan的大小你应该怎样做?

    提示先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内再由正切函数的单调性进行比较

    【例3 (1)tan 1tan 2tan 3tan 4从小到大的排列顺序为________

    (2)求函数y3tan的单调区间

    [思路点拨] (1)利用ytan x上为增函数比较大小注意tan 1tan(π1)

    (2)先将原函数化为y=-3tan再由-kπ2xkπkZ求出单调减区间

    (1)tan 2tan 3tan 4tan 1 [(1)ytan x在区间上是单调增函数tan 1tan(π1)

    234π1

    所以tan 2tan 3tan 4tan 1.]

    (2)y3tan=-3tan

    kπ2xkπkZ

    πxπkZ

    所以y3tan的减区间为-ππkZ.

    1将本例(2)中的函数改为y3tan”,结果又如何?

    [] 由kπ<x<kπ(kZ)

    2kπ<x<2kππ(kZ)

    函数y3tan的单调递增区间是2kπ2kππ(kZ)

    2将本例(2)中的函数改为ylgtan x结果又如何?

    [] 因为函数ylg x(0)上为增函数

    所以函数ylgtan x的单调递增区间

    就是函数ytan x(tan x0)的递增区间

    kZ.

    1求函数yAtan(ωxφ)(A0ω0Aωφ都是常数)的单调区间的方法

    (1)ω0由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数故可用整体代换的思想kπωxφkπkZ解得x的范围即可

    (2)ω0可利用诱导公式先把yAtan(ωxφ)转化为yAtan[(ωxφ)]=-Atan(ωxφ)即把x的系数化为正值再利用整体代换的思想求得x的范围即可

    2运用正切函数单调性比较大小的步骤

    (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内

    (2)运用单调性比较大小关系

    提醒yAtan(ωxφ)(A0ω0)只有增区间;yAtan(ωxφ)(A0ω0)只有减区间

    1利用单位圆中的正切线作正切函数的图象作图较为准确但画图时较繁我们常用三点两线法作正切曲线的简图

    2正切函数与正弦函数余弦函数的性质比较

    性质

    正切函数

    正弦函数余弦函数

    定义域

    R

    值域

    R

    [1,1]

    最值

    最大值为1

    最小值为-1

    单调性

    仅有单调递增区间不存在单调递减区间

    单调递增区间单调递减区间均存在

    奇偶性

    奇函数

    正弦函数是奇函数

    余弦函数是偶函数

    周期性

    Tπ

    T

    对称性

    有无数个对称中心不存在对称轴

    对称中心和对称轴均有无数个

    1思考辨析

    (1)正切函数的定义域和值域都是R.(  )

    (2)正切函数图象是中心对称图形有无数个对称中心(  )

    (3)正切函数图象有无数条对称轴其对称轴是xkπ±kZ.(  )

    (4)正切函数是增函数(  )

    [提示] 由正切函数图象可知(1)×,(2)(3)×,(4)×.

    [答案] (1)× (2) (3)× (4)×

    2tan x1(  )

    A2kπx2kπ(kZ)

    Bx(2k1)π(kZ)

    Ckπxkπ(kZ)

    Dkπxkπ(kZ)

    D [因为tan x1tan.

    所以kπxkπkZ.]

    3求函数ytan(πx)x的值域为________

    (1) [ytan(πx)=-tan x

    上为减函数

    所以值域为(1)]

    4求函数ytan的定义域最小正周期单调区间及其图象的对称中心

    [] kπkZx2kπkZ函数的定义域为.

    T

    函数的最小正周期为.

    kπkπkZ2kπx2kπkZ

    函数的单调递增区间为 kZ.

    kZxkπkZ

    函数图象的对称中心是kZ.

     

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