阶段测评(一) 空间向量的概念及其运算（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

阶段测评(一)　空间向量的概念及其运算

[对应学生用书P92]

(时间：60分钟　满分：75分)

一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)

A．(0，3，－6)　　　　　  B．(0，6，－20)

C．(0，6，－6)     D．(6，6，－6)

B　[由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20).]

2．若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当||取最小值时，x的值等于(　　)

A．19     B．－

C．     D．

C　[＝(1－x，2x－3，－3x＋3)，

则||＝

＝＝ ，

故当x＝时，||取最小值．]

3．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x＝(　　)

A．3     B．－3

C．－11     D．3或－11

A　[因为a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为，

所以＝，解得x＝3或－11(舍去).]

4．如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．　　　　D．

C　[||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2.∴||＝.]

二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)

5．已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列式子的计算结果为－a2的是(　　)

A．2·     B．2·

C．2·     D．2·

ABC　[2·＝－a2，A符合；2·＝－a2，B符合；

2·＝－a2，C符合；2·＝－a2，D不符合．]

6．如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则下列说法正确的是(　　)

A．AA1⊥BD

B．||＝

C．异面直线AC1与A1D所成角的余弦值是

D．异面直线AC1与A1D所成角的余弦值是

ABD　[设＝a，＝b，＝c，则＝b－a，

∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，

∴⊥，即AA1⊥BD.选项A正确．

又|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1，

且，

∴||＝|a＋b＋c|＝

＝

＝＝.选项B正确．

设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，

则cos θ＝.∵＝a＋b＋c，＝b－c，

∴＝(a＋b＋c)·(b－c)

＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，

||＝ ＝

＝＝.

∴cos θ＝＝＝.选项D正确．

∴ABD正确．]

三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中的横线上．)

7．(多空题)若a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则|2a－3b|＝____________，(2a－3b)·(a＋2b)＝__________．

　－200　[∵2a－3b＝2(4，－2，－4)－3(6，－3，2)＝(－10，5，－14)，a＋2b＝(4，－2，－4)＋2(6，－3，2)＝(16，－8，0)，∴|2a－3b|＝＝，(2a－3b)·(a＋2b)＝－10×16＋5×(－8)－14×0＝－200.]

8．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.

－－＋　[＝－

＝＋－

＝＋－(＋)

＝＋－－－

＝－－＋.]

四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

9．(10分)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

求BD1与夹角的余弦值．

解　设＝a，＝b，AA1＝c，则＝b＋c－a，＝a＋b，

∴||＝，||＝，

·＝(b＋c－a)·(a＋b)

＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，

即与夹角的余弦值为.

10．(12分)(2020·河北廊坊市高二期中)在①(＋)⊥(－)，②||＝，③0<cos 〈，〉<1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．

问题：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D­xyz.已知点D1的坐标为(0，0，2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，________，试问是否存在点E，F满足·＝0.若存在，求·的值；若不存在，请说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解　由题意，正方体ABCD­A1B1C1D1棱长为2，

则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0).

设E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(b，2，2)(0≤b≤2)，

则＝(b，2－a，0)，＝(－2，2，－2)，＝(－2，a，2)，＝(b－2，0，2)，

所以·＝4－2，·＝8－2b.

选择①，因为(＋)⊥(－)，所以(＋)·(－)＝2－2＝0，

即2＝2，

0＋(a－0)2＋(2－0)2＝(b－0)2＋(2－2)2＋(2－0)2，a＝b.

因为·＝4－2×(a＋b)＝0，所以a＝b＝1，

故存在点E(0，1，2)，F(1，2，2)，

满足·＝0，且·＝8－2b＝6.

选择②，||＝，即＝，a＝，

因为·＝4－2(a＋b)＝0，所以b＝，

故存在点E，F，

满足·＝0，且·＝8－2b＝5.

选择③，＝(b，2－a，0)，＝(2，2，0)，

因为0<cos 〈，〉<1，所以与不共线，

所以b≠2－a，即a＋b≠2，

则·＝4－2(a＋b)≠0，

故不存在点E，F满足·＝0.

11．(13分)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

(1)·；

(2)EG的长；

(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值．

解　设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.

(1)·＝(c－a)·(b－c)

＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.

(2)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b

＝－a＋b＋c，

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，

则||＝.

(3)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，

cos 〈，〉＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.