阶段测评(五) 椭 圆（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

阶段测评(五)　椭　圆

[对应学生用书P122]

(时间：60分钟　满分：75分)

一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(　　)

A．2　　　　B．4　　　　C．8　　　　D．2

B　[因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.]

2．(2020·江苏南京人民中学高二月考)某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6 A．U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35 A．U.(A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1 A．U.＝149，597，870千米)物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约1015kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是多少呢？(　　)

A．1.03    B．0.97    C．0.83    D．0.77

B　[设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，

由题意可得，解得a＝17.8，c＝17.2，

∴e＝＝≈0.97.故选B.]

3．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，EF1·EF2的最大值、最小值分别为(　　)

A．9，7    B．8，7    C．9，8    D．17，8

B　[由题意可知椭圆的左、右焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，设E(x，y)，则EF1＝(－1－x，－y)，EF2＝(1－x，－y)，EF1·EF2＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，EF1·EF2有最小值7，当x＝±3时，EF1·EF2有最大值8.]

4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A．2     B．

C．     D．

C　[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

直线l的方程为y＝x＋t.

由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

∴|AB|＝ |x1－x2|

＝ ·

＝·＝·，

当t＝0时，|AB|max＝.]

二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)

5．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A1，A2，B1，B2为顶点，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有(　　)

A．|A1F1|，|F1F2|，|F2A2|为等比数列

B．∠F1B2A2＝90°

C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B2

D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2

BD　[若|A1F1|，|F1F2|，|F2A2|成等比数列，则(2c)2＝(a－c)(a－c)，即2c＝a－c或2c＝c－a(舍去)，解得＝≠，所以A不正确．若∠F1B2A2＝90°，则由三角形相似可得OB＝F1O·OA2，即b2＝ca，所以c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，e∈(0，1)，解得e＝，所以B正确．若PF1⊥x轴，则P(－c，).又PO∥A2B2，则斜率相等，即＝，所以b＝c，所以e＝＝＝，所以C不正确．因为四边形A1B2A2B1为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线A2B2的距离等于c.因为直线A2B2的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，所以原点到直线的距离d＝.由题意知＝c.又b2＝a2－c2，整理得a2(a2－c2)＝c2(2a2－c2)，e4－3e2＋1＝0，e2∈(0，1)，解得e2＝，所以e＝ ＝，所以D正确. ]

6．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(　　)

A．a1＋c1＞2(a2＋c2)     B．a1－c1＝a2－c2

C．a1c2＞a2c1     D．e1＝

E．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁

ABD　[由题图知，a1＝2a2，c1＞2c2，∴a1＋c1＞2(a2＋c2)正确．故A正确．

∵椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，∴a1－c1＝a2－c2正确．故B正确．

a1c2＜a2c1正确，a1c2＞a2c1不正确．故C不正确．

由题图知，c1＝a2＋c2，

∴e1＝＝；＝＝.∴e1＝正确．故D正确．

e1＝＞＝e2，∴椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁．故E不正确．]

三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中的横线上．)

7．(多空题)设F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF2|的值为______，|PF1|的值为______．

　　[因为线段PF1的中点在y轴上，所以PF2与x轴垂直，且点P的坐标为，所以|PF2|＝，则|PF1|＝2a－|PF2|＝.]

8．已知椭圆＋y2＝1，点M1，M2，…，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这5点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为____________.

－　[如题图所示，由椭圆的性质可得kAP1·kBP1＝kAP2·kBP2＝－＝－.由椭圆的性质可得kBP1＝kAP10，

kBP10＝kAP1，∴kAP1·kAP10＝－，

同理可得kAP3·kAP8＝－，kAP4·kAP7＝－，kAP5·kAP6＝－.

∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为(－)5＝－.]

四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

9．(10分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．

(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；

(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．

解　(1)|PF1|·|PF2|≤＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时等号成立)，

∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.

(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin  60°＝，

∴|PF1|·|PF2|＝.①

由题意知，

∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②

由①②得c＝6，∴b＝8.

10．(12分)如图，过点C(0，1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与x轴交于A(a，0)，B(－a，0)两点，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.

(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

(2)当点P异于点B时，求证：·为定值．

(1)解　由已知得b＝1，＝，解得a＝2，c＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.椭圆的右焦点为(，0)，

此时直线l的方程为y＝－x＋1，

代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0，

解得x1＝0，x2＝，

代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，

所以点D的坐标为.

故|CD|＝ ＝.

(2)证明　当直线l与x轴垂直时与题意不符．

设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)，

代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，

解得x1＝0，x2＝，

代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，

所以点D的坐标为.

又直线AC的方程为＋y＝1，

直线BD的方程为y＝(x＋2)，

联立解得因此点Q的坐标为(－4k，2k＋1).

又点P的坐标为，

所以·＝·(－4k，2k＋1)＝4.

故·为定值．

11．(13分)(2020·山东泰安市高二期末)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1，F2为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且b>c，△BF1F2的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x＝4相交于点N.试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．

解　(1)由题意知，解得，

故椭圆C的方程是＋＝1.

(2)由，得(4k2＋3)x2＋8 kmx＋4 m2－12＝0.

因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0，(*)

此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－，).由，得N(4，4k＋m).

假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．

设P(x1，0)，则·＝0对满足(*)式的m、k恒成立．

因为＝(－－x1，)，＝(4－x1，4k＋m)，由·＝0，

得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，

整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)

由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以，解得x1＝1.

故存在定点P(1，0)，使得以MN为直径的圆恒过点P.