高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品精练，共7页。


1．若点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，则实数a的取值范围是( )
A．(2，4) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
D [由题意得(a－3)2＋(a－3)2>2，得a>4或a<2，
即a∈(－∞，2)∪(4，＋∞).]
2．圆心为(1，1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
A [由题意知，圆心到直线的距离即为圆的半径，即r＝ eq \f(|1＋1－4|,\r(12＋12)) ＝ eq \r(2) ，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]
3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别为( D )
A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2，3)， eq \r(2) D．(2，－3)， eq \r(2)
4．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)( )
A．是圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
C [∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，∴点P在圆内．]
5．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
A [设该直径的两个端点分别为P(a，0)，Q(0，b)，则A(2，－3)是线段PQ的中点，故P(4，0)，Q(0，－6)，圆的半径r＝|AP|＝ eq \r(（4－2）2＋32) ＝ eq \r(13) .
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]
6．圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值为( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
B [由题意知圆心(1，1)在直线y＝kx＋3上，
∴k＝－2.]
7．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
A [由题意知圆心为C(1，0).
由圆的几何性质，得AB⊥CP.又kCP＝－1，∴kAB＝1.
∴直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.]
8．函数y＝ eq \r(9－x2) 的图象是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半圆弧
D [y＝ eq \r(9－x2) 可化为x2＋y2＝9(y≥0)，
所以y＝ eq \r(9－x2) 的图象是半圆弧．]
9．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1，1)的圆的方程是________________．
(x－2)2＋(y＋3)2＝25 [圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，由点P(－1，1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，即r2＝25.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.]
10．若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，求当半径最小时圆的方程．
解 方法一 设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径
r＝ eq \r(（a－0）2＋（－2a＋3－0）2) ＝ eq \r(5a2－12a＋9)
＝ eq \r(5（a－\f(6,5)）2＋\f(9,5)) .
当a＝ eq \f(6,5) 时，rmin＝ eq \f(3\r(5),5) .
故所求圆的方程为(x－ eq \f(6,5) )2＋(y－ eq \f(3,5) )2＝ eq \f(9,5) .
方法二 易知圆的半径的最小值就是原点O到直线y＝－2x＋3的距离．
如图，此时r＝ eq \f(|0＋0－3|,\r(22＋12)) ＝ eq \f(3\r(5),5) .
设圆心为(a，－2a＋3)，
则 eq \r(（a－0）2＋（－2a＋3－0）2) ＝ eq \f(3\r(5),5) ，
解得a＝ eq \f(6,5) ，从而圆心坐标为( eq \f(6,5) ， eq \f(3,5) ).
故所求圆的方程为(x－ eq \f(6,5) )2＋(y－ eq \f(3,5) )2＝ eq \f(9,5) .
11．已知点A(1，0)，B(1，2)与圆O：x2＋y2＝4，则( )
A．点A与点B都在圆O外
B．点A在圆O外，点B在圆O内
C．点A在圆O内，点B在圆O外
D．点A与点B都在圆O内
C [∵12＋02＜4，12＋22＞4，∴点A在圆O内，点B在圆O外．]
12．过P(2，2)，Q(4，2)两点，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－3)2＝2
B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2
C．(x－3)2＋(y－3)2＝ eq \r(2)
D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝ eq \r(2)
A [∵PQ的中垂线为x＝3，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,x－y＝0，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3，))
∴圆心为(3，3)，半径r2＝(3－2)2＋(3－2)2＝2.
故所求的圆的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.]
13．(多空题)直线l： eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,3) ＝1与x轴、y轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为____________；此圆的面积为__________．
(x－1)2＋(y－1)2＝1 π [设△AOB内切圆的圆心为M(m，m)，则半径为m.直线l的方程 eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,3) ＝1可化为3x＋4y－12＝0，
由题意得 eq \f(|3m＋4m－12|,\r(32＋42)) ＝m，得m＝1或m＝6(舍去).
∴△AOB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
S＝πr2＝π.]
14．已知点A(1，2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
(1)点A在圆的内部；(2)点A在圆上；
(3)点A在圆的外部．
解 (1)∵点A在圆的内部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，即2a＋5<0，解得a<－ eq \f(5,2) .
故a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,2))) .
(2)将点A(1，2)坐标代入圆的方程，得(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－ eq \f(5,2) ，故a的值为－ eq \f(5,2) .
(3)∵点A在圆的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，即2a＋5>0，解得a>－ eq \f(5,2) .
故a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，＋∞)) .
15．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
解 方法一 由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝ eq \r(|AC|2－|AO|2) ＝ eq \r(52－42) ＝3，如图所示．
设点C的坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.
∴圆心坐标为(3，0)或(－3，0).
∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝25或(x＋3)2＋y2＝25.
方法二 由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆截y轴所得线段长为8，
∴圆过点A(0，4).代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3，
∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝25或(x＋3)2＋y2＝25.