【最新版】高中数学高三培优小题练第51练　一元二次不等式及其解法

第51练　一元二次不等式及其解法

考点一　一元二次不等式的解法

1．关于x的不等式－x2＋4x＋5>0的解集为(　　)

A．(－5,1)

B．(－1,5)

C．(－∞，－5)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)

答案　B

解析　不等式可化为x2－4x－5<0，

有(x－5)(x＋1)<0，

故不等式的解集为(－1,5)．

2．不等式≤0的解集是 (　　)

A．(－∞，－1)∪(－1,2]

B．[－1,2]

C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)

D．(－1,2]

答案　D

解析　依题意，不等式化为

解得－1<x≤2.

3．已知0<t<1，则不等式x2－x＋1<0的解集是(　　)

A.

B.

C.

D.

答案　D

解析　原不等式可化为<0，

∵0<t<1，∴>1>t，∴t<x<.

∴不等式x2－x＋1<0的解集是.

4．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，则不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0的解集为(　　)

A.

B．(－∞，－1)∪

C.

D.∪(1，＋∞)

答案　A

解析　不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，

则不等式对应方程的实数根为－4和1，且a<0；

由根与系数的关系知，

∴

∴不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0化为3a·(x2＋1)－a(x＋3)－4a>0，

即3(x2＋1)－(x＋3)－4<0，

解得－1<x<，

∴不等式的解集为.

考点二　一元二次不等式恒(能)成立问题

5．若不等式<1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(　　)

A．1<m<3   B．m>3

C．m<1或m>2   D．R

答案　A

解析　由4x2＋6x＋3＝2＋>0对一切x∈R恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3(x∈R)，即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)<0，解得1<m<3.

6．对任意的x∈R，函数y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________．

答案　{a|－2<a<2}

解析　由题意知，函数图象开口向上，故要使y>0恒成立，

只需对应方程的Δ<0即可，即(a－4)2－4(5－2a)<0，

解得－2<a<2.

7．若关于x的不等式x2－4x＋1－m>0在区间[1,4]内有解，则实数m的取值范围为________．

答案　(－∞，1)

解析　不等式x2－4x＋1－m>0在区间内有解等价于m<max，

因为函数f(x)＝x2－4x＋1在上单调递减，在上单调递增，f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(4)＝1，

所以f(x)max＝1，

所以m<1.

8．若对任意的m∈[1,2]，函数f(x)＝mx2－mx－1的图象恒在x轴下方，则实数x的取值范围为________．

答案　

解析　f(x)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，

令g(m)＝(x2－x)m－1，

由题意知，当m∈[1,2]时，g(m)<0，

即

解得<x<.

考点三　一元二次不等式的应用

9．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价的方式来增加利润．已知这种商品每件的售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价应定为(　　)

A．12元

B．16元

C．12元到16元之间

D．10元到14元之间

答案　C

解析　设销售单价应定为x元，利润为y元，

则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，

依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，

即x2－28x＋192<0，

解得12<x<16，

所以销售单价应定为12元到16元之间．

10．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)

A．15≤x≤30   B．12≤x≤25

C．10≤x≤30   D．20≤x≤30

答案　C

解析　设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝，

所以y＝40－x，因为xy≥300，

所以x(40－x)≥300，

即x2－40x＋300≤0，

解得10≤x≤30.

11．已知a∈R，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是(　　)

A．(5,8)   B．[5,7]

C．(5,8]   D．(5,7]

答案　C

解析　设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．

若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，

因为对称轴为x＝3，则

解得5<a≤8.

12．设a，b是关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个实根，则(a－1)2＋(b－1)2的最小值是(　　)

A．－  B．18  C．8  D．－6

答案　C

解析　因为a，b是关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个实根，

所以由根与系数的关系得

且Δ＝4(m2－m－6)≥0，

所以y＝(a－1)2＋(b－1)2＝(a＋b)2－2ab－2(a＋b)＋2＝4m2－6m－10

＝42－ ，且m≥3或m≤－2.

由二次函数的性质知，当m＝3时，函数y＝42－取得最小值为8.

即(a－1)2＋(b－1)2的最小值为8.

13．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a>0的解集可能为________．(填序号)

①R；②(－1，a)；③(a，－1)；④(－∞，－1)∪(a，＋∞)．

答案　②③④

解析　对于一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0，

则a≠0，

当a>0时，函数y＝a开口向上，与x轴的交点的横坐标为a，－1，

故不等式的解集为∪；

当a<0时，函数y＝a开口向下，

若a＝－1，不等式的解集为∅；

若－1<a<0，不等式的解集为(－1，a)；

若a<－1，不等式的解集为(a，－1)．

14．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为__________．

答案　9

解析　∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，

∴方程x2＋ax＋b＝0中Δ＝a2－4b＝0，

即b＝a2，

∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.

又∵f(x)<c的解集为(m，m＋6)，

∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．

由一元二次方程根与系数的关系得

解得c＝9.