【最新版】高中数学高三培优小题练第47练　数列小题综合练

第47练　数列小题综合练

1．数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是(　　)

 A．an＝n2

B．an＝(－1)n·n2

C．an＝(－1)n＋1·n2

D．an＝(－1)n·(n＋1)2

答案　C

解析　因为每一项的绝对值是该项序号的平方，奇数项符号为正，偶数项符号为负，

所以an＝(－1)n＋1·n2 .

2．数列的前n项和为Sn，若lg＝n，则此数列一定是(　　)

A．常数数列   B．等差数列

C．等比数列   D．以上均不对

答案　C

解析　由题意得Sn＋1＝10n，即Sn＝10n－1，a1＝S1＝9，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－1－10n－1＋1＝9·10n－1，当n＝1时，符合上式．

∴an＝9·10n－1.即此数列是等比数列．

3．数列中，a3＝5，a7＝2，若是等比数列，则a5等于(　　)

A．－1或3  B．－1  C．3  D.

答案　C

解析　设bn＝，则b3＝＝＝1，

b7＝＝＝4，b5＝，

则b＝b3b7＝4，因为b5＝b3q2>0，

所以b5＝2，所以＝2，解得a5＝3.

4．设等差数列的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＝10，则S9的值为(　　)

A．28  B．36  C．42  D．46

答案　B

解析　∵S3，S9，S6成等差数列，

∴2S9＝S3＋S6，

设的公差为d，则2×＝3a1＋d＋6a1＋d，

解得a1＝－6d，

∵a2＝10，∴a2＝a1＋d＝－6d＋d＝－5d＝10，

∴d＝－2，a1＝12，

∴S9＝9a1＋d＝36.

5．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”．大致意思是：一个公公有九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？ (　　)

A．38  B．35  C．32  D．29

答案　B

解析　由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄a1为首项，公差为－3的等差数列，

所以9a1＋×＝207，解得a1＝35.

6．(2022·唐山模拟)已知数列{an}满足当1≤n≤3时，an＝n，且对∀n∈N*，有an＋3＋an＋1＝an＋2＋an，则数列{an}的前50项的和为(　　)

A．97  B．98  C．99  D．100

答案　C

解析　 数列{an}满足当1≤n≤3时，an＝n，且对∀n∈N*，有an＋3＋an＋1＝an＋2＋an，

可得a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝2，a5＝1，a6＝2，a7＝3，a8＝2，a9＝1，a10＝2，…，

则数列{an}是周期为4的数列，且以1,2,3,2反复出现，

所以数列{an}的前50项的和为12(1＋2＋3＋2)＋1＋2＝99.

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1,2Sn＝an＋1an，则S20等于(　　)

A．200  B．210  C．400  D．410

答案　B

解析　由题意知a1＝1,2Sn＝an＋1an，又a1＝S1，

所以当n＝1时，a2＝2；

当n≥2时，2Sn－1＝anan－1，与2Sn＝an＋1an相减得2an＝an＋1an－anan－1，

又an≠0，即an＋1－an－1＝2，

当n为奇数时，数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，

当n为偶数时，数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，

所以当n为正整数时，an＝n，

则S20＝1＋2＋3＋…＋20＝210.

8．已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n，则(　　)

A.为等比数列   B.为摆动数列

C．an＝3×2n＋1－9   D．Sn＝6×2n－3n－6

答案　D

解析　因为Sn＝2an－3n，①

当n＝1时，a1＝2a1－3，解得a1＝3，

当n≥2时，Sn－1＝2an－1－3，②

①－②得an＝2an－2an－1－3，

即an＝2an－1＋3，

所以an＋3＝2，所以是以6为首项，2为公比的等比数列，

所以an＋3＝6×2n－1，所以an＝6×2n－1－3，

所以不是等比数列，为递增数列，故A，B不正确，

Sn＝6×－3n＝6×2n－3n－6，故选项C不正确，选项D正确．

9．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2 022的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　因为f(x)＝x2＋bx，

所以f′(x)＝2x＋b，

因为函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，

所以f′(1)＝2＋b＝3，

解得b＝1，

所以f(x)＝x2＋x＝x，

数列＝＝－，

所以S2 022＝－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.

10．已知数列{an}与{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且an>0,2Sn＝a＋an，n∈N*，bn＝，对任意的n∈N*，k>Tn恒成立，则k的最小值是(　　)

A．1  B.  C.  D.

答案　C

解析　因为an>0,2Sn＝a＋an，n∈N*，

所以当n＝1时，2a1＝2S1＝a＋a1，

解得a1＝1；

当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1.

所以2an＝2Sn－2Sn－1＝(a＋an)－(a＋an－1)．

于是(a－a)－(an＋an－1)＝0.

由an＋an－1≠0，可得an－an－1＝1，

所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即an＝n.

所以bn＝

＝

＝－.

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝－＋－＋…＋－

＝－<.

因为对任意的n∈N*，k>Tn＝－恒成立，

所以k≥，即k的最小值是.

11．设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和S4＝________.

答案　

解析　设数列{an}的公比为q，因为a1a2a3＝－，所以a＝－，解得a2＝－，所以a3＝

－q，a4＝－q2，又a2，a4，a3成等差数列，故2a4＝a2＋a3，解得q＝－或q＝1(舍)，则a1＝1，故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝.

12．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，anan＋1＝3n(n∈N*)，则S2 020＝________.

答案　2×31 010－2

解析　由anan＋1＝3n知，当n≥2时，anan－1＝3n－1.

所以＝3，所以数列{an}所有的奇数项构成以3为公比的等比数列，

所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列．

又因为a1＝1，所以a2＝3，a2n－1＝3n－1，a2n＝3n.

所以S2 020＝(a1＋a3＋…＋a2 019)＋(a2＋a4＋…＋a2 020)＝4×＝2×31 010－2.

13．若数列满足a1＝2，an＋1＝4an＋4＋1，则使得an≥2 0222成立的最小正整数n的值是________．(≈1.41)

答案　11

解析　∵an＋1＝4an＋4＋1＝2，

∴＝2＋1，

∴＋1＝2，

∴数列是以＋1＝＋1为首项，2为公比的等比数列，

∴＋1＝×2n－1，∴＝×2n－1－1，由an≥2 0222得≥2 022，

即2n－1≥＝2 023×≈829，

∵29＝512,210＝1 024且n∈N*，

∴满足题意的最小正整数n＝11.

14．若(－1)na<2＋对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是_________．

答案　

解析　当n为偶数时，(－1)na<2＋恒成立，

即a<2－恒成立，

令an＝2－，

则数列{an}是递增数列，且其最小项为a2＝，故a<；

当n为奇数时，(－1)na<2＋恒成立，

即－a<2＋恒成立，

即a>－2－恒成立，

令bn＝－2－，

则数列{bn}是递增数列，且bn∈[－3，－2)，

故a≥－2.综上可得实数a的取值范围是.