【最新版】高中数学高三培优小题练第46练　数列小题易错练

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A．3 B．±3 C.eq \r(3) D．±eq \r(3)
答案 C
解析 由题意可知，a3＋a7＝eq \f(11,3)，a3·a7＝3,
∴aeq \\al(2,5)＝3，a5＝±eq \r(3)，
∵a3>0，a7>0，且等比数列中奇数项同号，
∴a5＝eq \r(3).
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，则a2 023的值为( )
A．2 B．－3
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 由题意得a2＝eq \f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq \f(1－3,1＋3)＝－eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq \f(1,3)，a5＝eq \f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2，
所以数列{an}的周期为4，
所以a2 023＝a3＝－eq \f(1,2).
3．(2022·长沙模拟)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{an}中，a1＝2，公和为5，则a18等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
答案 C
解析 根据题意，在等和数列{an}中，a1＝2，公和为5，则a1＋a2＝5，即可得a2＝3，
又由an－1＋an＝5，得an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n为奇数，,3，n为偶数，))则a18＝3.
4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7>S8>S6，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是( )
A．7 B．8 C．14 D．15
答案 C
解析 因为S7>S8，
所以a8<0.
又因为S8>S6，
所以a7＋a8>0，
所以S15＝eq \f(15,2)(a1＋a15)＝15a8<0，
S14＝eq \f(14,2)(a1＋a14)＝7(a7＋a8)>0.
所以使Sn>0成立的正整数n的最大值为14.
5．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则它们的公共项的个数为( )
A．25 B．24 C．20 D．19
答案 A
解析 设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1＝11，
∵数列5,8,11，…与3,7,11，…的公差分别为3与4，
∴{an}的公差d＝3×4＝12，
∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.
又5,8,11，…与3,7,11，…的第100项分别是302与399，
∴an＝12n－1≤302，
即n≤25.25.
又n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
6．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋nan))为常数列，则an等于( )
A.eq \f(1,3n－1) B.eq \f(2,n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)))
C.eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋2))) D.eq \f(5－2n,3)
答案 B
解析 由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，Sn－1＋(n－1)·an－1＝2，两式相减得(n＋1)·an＝(n－1)an－1，即eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)，从而eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,3)·eq \f(2,4)·…·eq \f(n－1,n＋1)，则an＝eq \f(2,n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))).当n＝1时，eq \f(2,1×2)＝1成立，所以an＝eq \f(2,n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))).
7．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于( )
A．－eq \f(5,2) B.eq \f(5,2) C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 {bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中且bn＝an＋1，即an＝bn－1，则{an}有连续四项在{－54，－24，18,36,81}中．
∵{an}是等比数列，等比数列中有负数项，
∴q<0，且负数项为相隔两项，
又∵|q|>1，
∴等比数列各项的绝对值递增．
按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18，－24，36，－54,81，相邻两项相除eq \f(－24,18)＝－eq \f(4,3)，eq \f(36,－24)＝－eq \f(3,2)，eq \f(－54,36)＝－eq \f(3,2)，eq \f(81,－54)＝－eq \f(3,2)，则可得－24,36，－54,81是{an}中连续的四项．
∴q＝－eq \f(3,2).
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2，bn＝eq \f(an＋1,10－an)，则bn的最小值为( )
A．－16 B．－15 C．－13 D．－11
答案 C
解析 ∵Sn＝n2，
∴a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
此时a1＝1，
综上，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式为an＝2n－1.
∴bn＝eq \f(an＋1,10－an)＝eq \f(2n＋1,11－2n)＝eq \f(12,11－2n)－1，
记f(x)＝eq \f(12,11－2x)－1，则f(x)在(－∞，5.5)与(5.5，＋∞)上都是增函数，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))的最小项是第6项，最小值为－13.
9．(2022·苏州模拟)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法不正确的是( )
A．此数列的第20项是200
B．此数列的第19项是180
C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2
D．此数列的前n项和为Sn＝n·(n－1)
答案 D
解析 观察此数列，偶数项通项公式为a2n＝2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，A正确；a19＝a20－20＝180，B正确；C正确；Sn＝n(n－1)＝n2－n是一个等差数列的前n项和，而题中数列不是等差数列，不可能有Sn＝n·(n－1)，D不正确．
10．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想Fn＝＋1(n＝0,1,2，…)是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641]2,S1S2)＋eq \f(22,S2S3)＋…＋eq \f(2n,SnSn＋1)A．11 B．10 C．9 D．8
答案 C
解析 把Fn＝＋1代入an＝lg2(Fn－1)，
得an＝lg2(＋1－1)＝2n，
故Sn＝eq \f(21－2n,1－2)＝2(2n－1)，
则eq \f(2n,SnSn＋1)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1－1)))，
则不等式eq \f(2,S1S2)＋eq \f(22,S2S3)＋…＋eq \f(2n,SnSn＋1)
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n＋1－1)))代入计算可得，当不等式成立时，n的最小值为9.
11．已知正项数列{an}满足an＋1＝(eq \r(an＋1)＋1)2－1，且a1＝3，则an＝________.
答案 n2＋2n
解析 ∵an>0，
∴an＋1＋1＝(eq \r(an＋1)＋1)2，
即eq \r(an＋1＋1)＝eq \r(an＋1)＋1，
即eq \r(an＋1＋1)－eq \r(an＋1)＝1，
∴{eq \r(an＋1)}是以eq \r(a1＋1)＝2为首项，1为公差的等差数列，
∴eq \r(an＋1)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＋1＝(n＋1)2，
∴an＝n2＋2n.
12．已知数列{an}满足an＝cs nπ·n2，则{an}的前100项和S100＝________.
答案 5 050
解析 ∵an＝cs nπ·n2＝(－1)n·n2，
∴S100＝－12＋22－32＋42－52＋62＋…－992＋1002
＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋(－992＋1002)
＝(1＋2)＋(3＋4)＋(5＋6)＋…＋(99＋100)
＝eq \f(100×101,2)＝5 050.
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝64－an，若am·ak＝1(1≤m≤k，m，k∈N*)，则k的取值集合是________．
答案 {4,5}
解析 当n＝1时，3a1＝64－a1，解得a1＝16；
当n≥2时，3Sn＝64－an和3Sn－1＝64－an－1两式相减，
得3an＝an－1－an，即eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,4)，
则数列{an}是首项为16、公比为eq \f(1,4)的等比数列，
所以an＝16×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n－3，{an}是递减数列，
即各项依次为16,4,1，eq \f(1,4)，eq \f(1,16)，eq \f(1,64)，…，
所以a1a5＝1，a2a4＝1，a3＝1，结合1≤m14．已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，且a1＋b1＝5，bn∈N*，设cn＝，则数列{cn}的前n项和Sn＝________.
答案 eq \f(1,2)n(n＋7)
解析 Sn＝…＋
＝[a1＋(b1－1)]＋[a1＋(b2－1)]＋[a1＋(b3－1)]＋…＋[a1＋(bn－1)]
＝[a1＋(b1－1)]＋[a1＋(b1＋1)－1]＋[a1＋(b1＋2)－1]＋…＋[a1＋(b1＋n－1)－1]
＝na1＋nb1－n＋1＋2＋…＋(n－1)
＝n(a1＋b1 )－n＋eq \f(nn－1,2)
＝4n＋eq \f(nn－1,2)＝eq \f(1,2)n(n＋7)．