【最新版】高中数学高三培优小题练第54练　不等式小题综合练

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这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第54练　不等式小题综合练，共7页。试卷主要包含了在R上定义运算⊗等内容，欢迎下载使用。

A．a－c>b－d B．a＋c>b＋d
C.eq \f(a,d)>eq \f(b,c) D．ac>bd
答案 B
解析当a＝5>b＝4，c＝3>d＝1时，
a－c＝2，b－d＝3，则a－c因为a>b，c>d，两式相加得a＋c>b＋d，
故B项一定成立；
当a＝2>b＝1，c＝1>d＝－1时，eq \f(a,d)＝－2，eq \f(b,c)＝1，
则eq \f(a,d)当a＝－1>b＝－2，c＝－3>d＝－4时，
ac＝3，bd＝8，
则ac2．记全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(\f(x－4,x－1)≥0))))，则A∩(∁UB)等于( )
A．(1,4) B．[0,2]
C．(1,3) D．[1,3]
答案 D
解析由x2－x－6≤0得(x－3)(x＋2)≤0，
即－2≤x≤3，
所以集合A＝[－2,3]，
由eq \f(x－4,x－1)≥0得x≥4或x<1，
所以集合B＝(－∞，1)∪[4，＋∞)，
所以∁UB＝[1,4)，
所以A∩(∁UB)＝[1,3]．
3．关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是R，则实数a的取值范围为( )
A．{2} B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(6,5)))
C．∅ D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(33,8)，－1))
答案 C
解析当a2－4＝0时，显然不满足题意．
关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是R，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4>0，,a＋22＋4a2－4≤0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>2或a<－2，,－2≤a≤\f(6,5)，))此不等式组无解．
4．已知变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≤0，,x－3y＋5≥0，,x≥0，))则z＝lg2(x－y＋5)的最大值为( )
A．4 B．lg25 C．2 D.eq \f(10,3)
答案 B
解析作可行域如图阴影部分(含边界)所示，
令t＝x－y＋5，则y＝x－t＋5，由图可知，当直线y＝x－t＋5过点(0,0)时，在y轴上的截距最小，所以t有最大值5，所以z＝lg2(x－y＋5)有最大值lg25.
5．已知实数x，y满足axA.eq \f(1,x2＋1)>eq \f(1,y2＋1)
B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．x－y>eq \f(1,x)－eq \f(1,y)
D．[x]≥[y]
答案 D
解析当0由axy，
A项，当x＝1，y＝－1时，满足x>y，但eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(1,y2＋1)，故A错误；
B项，当x＝1，y＝－1时，满足x>y，但ln(x2＋1)＝ln(y2＋1)，故B错误；
C项，当x＝1，y＝－1时，满足x>y，
但x－y＝1＋1＝2，eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝1＋1＝2，x－y＝eq \f(1,x)－eq \f(1,y)，故C错误；
D项，∵x>y，∴[x]≥[y]成立，故D正确．
6．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若对任意x>2，不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，7]
B．[－1,7]
C．(－∞，3]
D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
答案 A
解析由题意可得(x－a)⊗x＝(x－a)(1－x)≤a＋2，
即a(x－2)≤x2－x＋2对任意x>2恒成立，
∵x>2，∴x－2>0，
∴a≤eq \f(x2－x＋2,x－2)对任意x>2恒成立，
设f(x)＝eq \f(x2－x＋2,x－2)
＝eq \f(x－22＋3x－2＋4,x－2)
＝(x－2)＋eq \f(4,x－2)＋3，x>2，
则f(x)≥2eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋3＝7
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x－2＝\f(4,x－2)，即x＝4时取等号))，
即f(x)min＝7，∴a≤7，即a∈(－∞，7]．
7．已知m>0，xy>0，当x＋y＝2时，不等式eq \f(2,x)＋eq \f(m,y)≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．[eq \r(2)，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(0，eq \r(2)] D．(0,2]
答案 B
解析因为m>0，xy>0，x＋y＝2，
所以eq \f(2,x)＋eq \f(m,y)＝eq \f(1,2)(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(m,y)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(mx,y)＋\f(2y,x)＋m＋2))≥eq \f(1,2)(2eq \r(2m)＋m＋2)．
因为不等式eq \f(2,x)＋eq \f(m,y)≥4恒成立，
所以eq \f(1,2)(2eq \r(2m)＋m＋2)≥4，
整理得(eq \r(m)＋3eq \r(2))(eq \r(m)－eq \r(2))≥0，
解得eq \r(m)≥eq \r(2)，即m≥2.
8．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(600,x)－30))元(试剂的总产量为x单位，50≤x≤200)，则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为( )
A．60单位 B．70单位
C．80单位 D．90单位
答案 D
解析设每生产1单位试剂的成本为y元，
因为试剂总产量为x单位，
则由题意可知，原料总费用为50x元，
职工的工资总额为(7 500＋20x)元，后续保养总费用为xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(600,x)－30))元，
则y＝eq \f(50x＋7 500＋20x＋x2－30x＋600,x)
＝x＋eq \f(8 100,x)＋40≥2eq \r(x·\f(8 100,x))＋40＝220，
当且仅当x＝eq \f(8 100,x)，
即x＝90时取等号，
满足50≤x≤200，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．
9．(2022·郑州模拟)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5y＋15≥0，,y≤－x＋11，,y≥1，))当且仅当x＝5，y＝6时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(5,3)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,5)))
D．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，＋∞))
答案 C
解析作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5y＋15≥0，,y≤－x＋11，,y≥1))所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5y＋15＝0，,y＝－x＋11，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝6，))
即点A(5,6)，由题意可知，当直线z＝ax－y过点A时，直线z＝ax－y的截距最大，此时z＝ax－y取得取小值，
直线y＝－x＋11的斜率为－1，直线3x－5y＋15＝0的斜率为eq \f(3,5)，
而直线z＝ax－y的斜率为a，所以－110．设a>b>c，n∈N，且eq \f(1,a－b)＋eq \f(10,b－c)≥eq \f(n2,a－c)恒成立，则n的最大值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 eq \f(1,a－b)＋eq \f(10,b－c)≥eq \f(n2,a－c)等价于
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(10,b－c)))(a－c)≥n2，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(10,b－c)))(a－c)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(10,b－c)))(a－b＋b－c)
＝11＋eq \f(b－c,a－b)＋eq \f(10a－b,b－c)
≥11＋2eq \r(10·\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))
＝11＋2eq \r(10).
故11＋2eq \r(10)≥n2，n∈N，则n的最大值是4.
11．已知正数a，b满足a2＋b2＝6，则beq \r(a2＋4)的最大值为____________．
答案 5
解析 a2＋b2＝6，beq \r(a2＋4)≤eq \f(b2＋a2＋4,2)＝5，
当且仅当b＝eq \r(a2＋4)，即a＝1，b＝eq \r(5)时等号成立．
12．已知0①lg2a>－1；
②lg2a＋lg2b>－2；
③lg2(b－a)<0；
④lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))>1.
答案 ③④
解析 ∵0∵02eq \r(ab)，即ab∵0∴lg2(b－a)∵02eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，
lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))>lg22＝1，故④正确．
13．在平面直角坐标系中，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≥0，,2x－y≥0，,x≤a，a>0))表示的平面区域的面积为5，直线mx－y＋m＝0过该平面区域，则m的最大值是________．
答案 eq \f(4,3)
解析不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≥0，,2x－y≥0，,x≤a，a>0，))表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，其中A(a,2a)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(a,2)))，
所以△ABO的面积为eq \f(1,2)×a×eq \f(5,2)a＝5，解得a＝2，
故A(2,4)，B(2，－1)．
又直线mx－y＋m＝0可化为y＝m(x＋1)，可知直线过定点(－1,0)，斜率为m.
结合图象可知该直线过点A(2,4)时，m取最大值，把点A的坐标代入直线方程可得，m＝eq \f(4,3).
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S5＝15，则eq \f(2Sn＋5,n)取得最小值时，n的值为____．
答案 2
解析设等差数列{an}的公差为d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S3＝3a1＋3d＝6，,S5＝5a1＋10d＝15，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝1，))
所以Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)＝n＋eq \f(nn－1,2)＝eq \f(n2＋n,2)，n∈N*，
所以eq \f(2Sn＋5,n)＝eq \f(n2＋n＋5,n)＝n＋eq \f(5,n)＋1
≥2eq \r(n·\f(5,n))＋1＝2eq \r(5)＋1，
当且仅当n＝eq \r(5)时，等号成立，但eq \r(5)∉N*，
由对勾函数的单调性可知，当n＝2或n＝3时，eq \f(2Sn＋5,n)取得最小值，
当n＝2时，eq \f(2S2＋5,2)＝2＋eq \f(5,2)＋1＝eq \f(11,2)；当n＝3时，eq \f(2S3＋5,2)＝3＋eq \f(5,3)＋1＝eq \f(17,3)，
因为eq \f(17,3)>eq \f(11,2)，因此，当n＝2时，eq \f(2Sn＋5,n)取得最小值．

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