【最新版】高中数学高三培优小题练第52练　简单的线性规划问题

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第52练　简单的线性规划问题考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域1．不等式组表示的平面区域的面积为(　　)A．4   B．1C．5   D．无穷大答案　B解析　作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.2．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x＋by－1<0表示的平面区域内，则实数b的取值范围是________．答案　解析　根据题意，设Q与P(1，－2)关于原点对称，则Q的坐标为(－1,2)，若P，Q均在不等式2x＋by－1<0表示的平面区域内，则有解得<b<，即b的取值范围为.3．已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是______．答案　解析　如图，由题意可得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)．则不等式组表示的平面区域为△ABC及其内部．直线y＝kx＋1恒过点A.要把△ABC分成面积相等的两部分，需过BC的中点M.此时k＝＝＝. 考点二　目标函数的最值问题4．(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为(　　)A．18  B．10  C．6  D．4答案　C解析　方法一　(数形结合法)作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小，即z最小．解方程组得即点A的坐标为(1,3)，从而z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6.方法二　(代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z的大小即可．易知直线x＋y＝4与y＝3的交点坐标为(1,3)，直线x＋y＝4与x－y＝2的交点坐标为(3,1)，直线x－y＝2与y＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y可得z的值分别为6,10,18，所以比较可知zmin＝6.方法三　(巧用不等式的性质)因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12.①因为y≤3，所以－2y≥－6.②于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，当且仅当x＋y＝4且y＝3，即x＝1，y＝3时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2成立．5．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于(　　)A.  B.  C．1  D．2答案　B解析　x，y满足约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，观察图象可得直线z＝2x＋y过点A(1，－2a)时，其在y轴上的截距最小，也就是z取得最小值，所以zmin＝2×1－2a＝1，解得a＝.6．已知实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围为(　　)A．(－∞，－2]∪B．(－∞，－3]∪C.D.答案　B解析　z＝－1表示的是可行域内的点(x，y)与(1,0)连线的斜率减去1.画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，kAB＝，kAC＝－2，即(x，y)与(1,0)连线的斜率的取值范围是(－∞，－2]∪，再减去1得(－∞，－3]∪.7．已知x，y满足约束条件则函数z＝x2＋y2－y＋的最小值为(　　)A.   B.C.   D.答案　D解析　由已知得到可行域如图阴影部分所示(含边界)．目标函数z＝x2＋y2－y＋＝x2＋2的几何意义是可行域内的点到点距离的平方，又dmin＝＝，所以函数z＝x2＋y2－y＋的最小值为.8．若x，y满足约束条件则|x－y|的最大值为(　　)A．4  B．2  C．1  D．0答案　A解析　设z＝x－y，由题意得不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界)，当直线z＝x－y经过点B(2，－2)时，直线在y轴上的截距－z最小，z最大，此时zmax＝2－(－2)＝4.当直线z＝x－y经过点A(1，－1)时，直线在y轴上的截距最大，即z最小．所以zmin＝1－(－1)＝2，所以z＝x－y∈[2,4]，即|x－y|∈[2,4]． 考点三　线性规划的实际应用9．学校为了奖励评选出来的15名“校园科技小小发明家”，设置了一、二、三等奖：①一等奖1 000元/名，二等奖600元/名，三等奖400元/名，奖金总额不超过9 000元；②一等奖人数不得超过二等奖人数，二等奖人数不得超过三等奖人数．则三等奖的奖金总额最少为(　　)A．2 400元   B．3 000元C．6 000元   D．6 600元答案　A解析　设一等奖人数为x，二等奖人数为y，则三等奖人数为z＝15－x－y，由题可得画出满足条件的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，要使三等奖的奖金总额最少，则三等奖人数z＝15－x－y要最少，即直线y＝15－x－z的截距要最大，结合图象可知，当直线y＝15－x－z过点C时截距最大，联立解得C(3,6)，所以三等奖人数最少为z＝15－x－y＝6，此时，三等奖的奖金总额最少为2 400元．10．某校“棋乐无穷”社团计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的象棋和围棋．根据需要，象棋至少买3盒，围棋至少买2盒，则不同的选购方式共有(　　)A．5种  B．6种  C．7种  D．8种答案　C解析　设购买象棋x盒，围棋y盒．由题意得即①当x＝3时，7y≤32，y≤<5，∵y∈N*，且y≥2，∴y＝2或y＝3或y＝4，此时有3种选购方式；②当x＝4时，7y≤26，y≤<4，∵y∈N*，且y≥2，∴y＝2或y＝3，此时有2种选购方式；③当x＝5时，7y≤20，y≤<3，∵y∈N*，且y≥2，∴y＝2，此时有1种选购方式；④当x＝6时，y≤2，∵y∈N*，且y≥2，∴y＝2，此时有1种选购方式；⑤当x＝7时，y≤，∵y∈N*，且y≥2，∴y无解；⑥∵y∈N*，且y≥2，∴当x≥7，x∈N*时，y无解；综上，共有7种不同的选购方式．11．(2022·开封模拟)曲线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则m的最小值为(　　)A．1  B．2  C．3  D．4答案　B解析　如图所示，当y＝2x过点D时，m有最小值．联立⇒x＋2x－3＝0，设f(x)＝x＋2x－3，易知函数在R上是增函数，且f(1)＝0，则点D的坐标为(1,2)，所以m的最小值为2.12．已知函数f(x)的定义域为R，且f(2)＝2，又函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a＋b)<2，则的取值范围是(　　)A.   B.∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)   D.答案　A解析　由导函数图象，可知函数在(0，＋∞)上为增函数．因为f(2)＝2，正数a，b满足f(2a＋b)<2，所以作出不等式组表示的可行域(图略)，又因为表示的是可行域中的点与点(－2，－2)的连线的斜率．所以当(－2，－2)与(0,2)相连时斜率为2，当(－2，－2)与(1,0)相连时斜率为，所以的取值范围是.13．已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________.答案　1解析　作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示(含边界)．若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－的动直线y＝－x＋，若m<0，则－>0，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m>0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1.综上可知，m＝1.14．若不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积为8，则x2＋y的最小值为________．答案　－解析　满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，若可行域的面积为8，则a＝2，设z＝x2＋y，由图可得当z＝x2＋y与直线x＋y＝0相切时z最小，联立两曲线得x2－x－z＝0，Δ＝1＋4z＝0，得z＝－ ，此时x＝，y＝－，故x2＋y取最小值－.