【最新版】高中数学高三培优小题练第50练　不等式的概念与性质

专题7　不等式

第50练　不等式的概念与性质

考点一　比较两个数(式)的大小

1．已知a>0，b>0，则p＝－a与q＝b－的大小关系是(　　)

A．p>q  B．p≥q  C．p<q  D．p≤q

答案　B

解析　因为a>0，b>0，

所以p－q＝－＝＝≥0，当且仅当b＝a时取等号，

所以p≥q.

2．设a，b∈，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)

A．A<B   B．A>B

C．A≤B   D．A≥B

答案　B

解析　由a，b∈，得A＝＋>0，B＝>0，

A2－B2＝2－()2＝2>0，

∴A2>B2，故A>B.

3．已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是(　　)

A．x3>y3

B．sin x>sin y

C．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)

D.>

答案　A

解析　由ax<ay(0<a<1)知，x>y，所以x3>y3.

4．若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．

答案　a<b

解析　易知a，b>0，

∴＝＝16×＝16×16＝16.

∵∈(0,1)，

∴16<1，

∴a<b.

考点二　不等式的基本性质

5．已知a，b，c∈R，则(　　)

A．a>b⇒ac2>bc2   B.>⇒a>b

C．a>b>0⇒<   D．a2>b2⇒a>b

答案　C

解析　对于A选项，若c＝0，则ac2＝bc2，A选项错误；

对于B选项，若c<0，则>⇒a<b，B选项错误；

对于C选项，由不等式的基本性质知，若a>b>0，则ab>0，则>，所以<，C选项正确；

对于D选项，取a＝－3，b＝－2，

则a2>b2D⇒/a>b，D选项错误．

6．已知a<b<c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2<b2<c2   B．a|b|<c|b|

C．ba<ca   D．ca<cb

答案　D

解析　因为a<b<c且a＋b＋c＝0，所以a<0，c>0，b的符号不确定，对于b>a，两边同时乘正数c，不等号方向不变．

7．若a，b，c∈R，且满足a>b>c，则下列不等式成立的是(　　)

A.<   B.>

C.>   D．a|c|>b|c|

答案　C

解析　A项，若a＝1，b＝－2，则>，可知A错误；

B项，若a＝1，b＝，则<，可知B错误；

C项，c2＋1>0，∴>0，又a>b，∴>，可知C正确；

D项，当c＝0时，a|c|＝b|c|，可知D错误．

考点三　不等式性质的综合应用

8．盐水溶液的浓度公式为p＝(a>b)，向盐水中再加入m克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实(　　)

A.<   B.>

C.<   D.>

答案　A

解析　向盐水溶液中加入m克盐，盐水的浓度变为，此时浓度变大，盐水更咸，

即>.

9．已知6<a<60,15<b<18，则下列结论正确的是________．(填序号)

①a＋2b∈(21,78)；②a－b∈(－12,45)；③ab∈(90，1 080)；④∈.

答案　②③④

解析　∵b∈(15,18)，

∴2b∈(30,36)，

∴a＋2b∈(36,96)，

∴①错误；

又－b∈(－18，－15)，

∴a－b∈(－12,45)，

∴②正确；

∵6×15<ab<60×18，

∴ab∈(90,1 080)，

∴③正确；

又15<b<18，

∴∈，

∴∈，

∴④正确．

10．某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：

(1)高一学生人数多于高二学生人数；

(2)高二学生人数多于高三学生人数；

(3)高三学生人数的3倍多于高一、高二学生人数之和．

若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为______．

答案　18

解析　设高二学生人数为x，高三学生人数为y，x，y∈N*，

则

由②可知，y≥3，y∈N*，

结合①可知，4≤x≤6，x∈N*，(x，y)共有6种，

取法为，，，，，，

逐一代入②验证，可得只有满足题意，

∴x＝6，y＝5，

该志愿者服务队总人数为7＋6＋5＝18.

11．已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元．设1枝郁金香的价格为A元，1枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为(　　)

A．A>B   B．A＝B

C．A<B   D．不确定

答案　A

解析　由题意得解得B－A<－1<0，则A>B.

12．设a，b，c为正实数，且a>b，则(　　)

A．a－<b－

B．a－>b－

C．ln(a－b)>0

D．a(c2＋1)>b(c2＋1)

答案　D

解析　因为a，b，c为正实数，且a>b，

则a－b>0，ab>0，

A选项，－＝(a－b)＋

＝(a－b)>0，故A不正确；

B选项，－＝(a－b)－＝(a－b)＝(a－b)·，

而ab是否大于1不确定，

故不能判断(a－b)·的正负，故B错误；

C选项，a－b>0但不一定大于1，

故ln(a－b)>0不一定正确，故C错误；

D选项，a(c2＋1)－b(c2＋1)＝(a－b)(c2＋1)>0，故D正确．

13．已知a>b>1,0<c<1，下列不等式成立的是(　　)

A．ca>cb   B．ac<bc

C．logca>logcb   D．bac<abc

答案　D

解析　对于A，由a>b>1,0<c<1知，ca<cb，故本选项错误．

对于B，由a>b>1,0<c<1知，ac>bc，故本选项错误．

对于C，由a>b>1,0<c<1知，logca<logcb，故本选项错误．

对于D，由a>b>1,0<c<1知，ac－1<bc－1，则ab·ac－1<ab·bc－1，即bac<abc.故本选项正确．

14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是x的更为精确的近似值．纵横古今，关于π值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知<π<，试以上述π的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得π的近似分数为________．

答案　

解析　<π<，

则＝≈3.140<π，

即<π<，则π≈＝.