【最新版】高中数学高三培优小题练第93练　概率、统计小题综合练

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A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即12×eq \f(1,3)＝4.
2．在一次数学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是( )
A．60 B．70 C．80 D．100
答案 A
解析 当60为该班某学生的成绩时，则(60－82)2＝484，则s2>eq \f(1,50)×484＝9.68，与方差为8.2矛盾，∴60不可能是该班成绩．
3．某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为p1，p2.若p1＝eq \f(3,4)，p2＝eq \f(2,3)，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 依题意，在第一轮竞赛中甲乙所在的小组能获得“优秀小组”的所有可能的情况有：
甲答对1题，乙答对2题；甲答对2题，乙答对1题；甲答对2题，乙答对2题，所以所求概率为P＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(3,4)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(2,3).
4.在如图所示的正方形中随机投掷1 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的部分正态曲线)的点的个数的估计值为( )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σP(μ－2σA．238 B．271 C．341 D．477
答案 C
解析 由X～N(0,1)知，P(－1∴P(0≤X≤1)＝eq \f(1,2)×0.682 7＝0.341 35，故S≈0.341.
∴落在阴影部分中点的个数x估计值为eq \f(x,1 000)＝eq \f(S,1)，
∴x＝1 000×0.341＝341.
5．已知随机变量X服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，当k∈{0,1,2,3}时，P(X＝k)的最大值是( )
A.eq \f(8,27) B.eq \f(4,9) C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,27)
答案 B
解析 因为随机变量X服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，
所以P(X＝k)＝Ceq \\al(k,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3－k，k∈{0,1,2,3}，
所以P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(4,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))1＝eq \f(2,9)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0＝eq \f(1,27)，
∴P(X＝k)max＝P(X＝1)＝eq \f(4,9).
6．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了5%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是( )
图1
图2
A．总体中对平台一满意的消费人数约为35
B．样本中对平台二满意的消费人数为300
C．样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为50
D．若样本中对平台三满意的消费人数为120，则m＝80%
答案 C
解析 对于A，总体中对平台一满意的人数为2 000×35%＝700，故选项A错误；对于B，样本中对平台二满意的人数约为1 500×5%×20%＝15，故选项B错误；对于C，样本中对平台一和平台二满意的总人数为2 000×5%×35%＋1 500×5%×20%＝35＋15＝50，故选项C正确；对于D，对平台三的满意率为eq \f(120,2 500×5%)＝96%，所以m＝96%，故选项D错误．
7．正六面体有6个面，8个顶点；正八面体有8个面，6个顶点，我们称它们互相对偶．如图，连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体，在正六面体内随机取一点，则此点取自正八面体内的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 设正方体的棱长为2，则正方体的体积V1＝8，
正八面体是由两个全等的正四棱锥组成，且棱长为eq \r(2)，
则正四棱锥的底面积为2，高为1，体积为eq \f(1,3)×2×1＝eq \f(2,3)，
则正八面体的体积V2＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)，
则此点取自正八面体内的概率P＝eq \f(V2,V1)＝eq \f(\f(4,3),8)＝eq \f(1,6).
8．已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为( )
B.eq \r(3.2)
C．3.2 D.eq \r(3.56)
答案 D
解析 由分布列的性质得0.4＋0.1＋x＝1，解得x＝0.5，
∴E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，
∴ξ的标准差为eq \r(Dξ)＝eq \r(3.56).
9．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的eq \f(1,2)，男生追星的人数占男生人数的eq \f(1,6)，女生追星的人数占女生人数的eq \f(2,3).若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则男生至少有( )
参考数据及公式如下：
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)
A．12人 B．11人 C．10人 D．18人
答案 A
解析 设男生人数为x，依题意可得列联表如下：
若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则K2>3.841，
由K2＝eq \f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)－\f(5x2,18)))2,\f(x,2)·x·x·\f(x,2))＝eq \f(3,8)x>3.841，解得x>10.24，
∵eq \f(x,2)，eq \f(x,6)为整数，
∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则男生至少有12人．
10．一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，bA.eq \f(1,6) B.eq \f(5,24) C.eq \f(1,3) D.eq \f(7,24)
答案 C
解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个．同理，由1,2,4组成的三位自然数共有6个，由1,3,4组成的三位自然数也有6个，由2,3,4组成的三位自然数也有6个，所以组成的三位自然数共有6＋6＋6＋6＝24(个)．当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．故这个三位数为“凹数”的概率为eq \f(6＋2,24)＝eq \f(1,3).
11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，
则甲的成绩的________小于乙的．(中位数、平均数、极差、方差)
答案 方差
解析 甲的平均数是eq \f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，中位数是6，极差是4，方差是eq \f(－22＋－12＋02＋12＋22,5)＝2；乙的平均数是eq \f(5＋5＋5＋6＋9,5)＝6，中位数是5，极差是4，方差是eq \f(－12＋－12＋－12＋02＋32,5)＝eq \f(12,5)，故填方差．
12．在2022年1月15日那天，某市场价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是eq \(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则n＝________.
答案 10
解析 eq \x\t(x)＝eq \f(9＋9.5＋m＋10.5＋11,5)＝8＋eq \f(m,5)，
eq \x\t(y)＝eq \f(11＋n＋8＋6＋5,5)＝6＋eq \f(n,5)，回归直线一定经过样本点的中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，即6＋eq \f(n,5)＝－3.2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8＋\f(m,5)))＋40，即3.2m＋n＝42.
又因为m＋n＝20，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3.2m＋n＝42，,m＋n＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝10，,n＝10，))
故n＝10.
13．某大学生用围棋棋子研究概率问题，围棋的黑、白棋子除颜色外，其他均相同．他准备了两个相同的不透明的盒子甲和乙，甲盒中放有3个黑子、6个白子，乙盒中放有4个黑子、4个白子．现随机从其中一个盒子中取出一个棋子，若该棋子是黑色，则这个棋子来自甲盒的概率为________．
答案 eq \f(2,5)
解析 设“取出的棋子来自甲盒”为事件A，“取出的棋子是黑色”为事件B，
则所求概率为事件B发生的情况下事件A发生的概率，
即P(A|B)．
由题意知，P(AB)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,9)＝eq \f(1,6)，
P(B)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)×eq \f(4,8)＝eq \f(5,12)，
所以P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(1,6)×eq \f(12,5)＝eq \f(2,5).
14．一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为________．
答案 9
解析 设没记清的数为x，若x≤2，则这列数为x,2,2,2,4,5,10，平均数为eq \f(25＋x,7)，中位数为2，众数为2，所以2×2＝eq \f(25＋x,7)＋2，x＝－11；
若2若5≤x，则这列数为2,2,2,4,5，x,10或2,2,2,4,5,10，x，则平均数为eq \f(25＋x,7)，中位数为4，众数为2，所以2×4＝eq \f(25＋x,7)＋2，x＝17，所以－11＋3＋17＝9.ξ
1
3
5
P
0.4
0.1
x
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
喜欢追星
不喜欢追星
总计
男生
eq \f(x,6)
eq \f(5x,6)
x
女生
eq \f(x,3)
eq \f(x,6)
eq \f(x,2)
总计
eq \f(x,2)
x
eq \f(3x,2)
价格x
9
9.5
m
10.5
11
销售量y
11
n
8
6
5