【最新版】高中数学高三培优小题练第14练　函数小题易错练

第14练　函数小题易错练

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．(0,1)∪(1,4]

B．(0,4]

C．(0,1)

D．(0,1)∪[4，＋∞)

答案　A

解析　∵y＝，

∴

∴

∴x∈(0,1)∪(1,4]．

2．已知a>0，则化为(　　)

A．   B．

C．    D．

答案　B

解析　原式＝＝＝＝.

3．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5.其中星等为mi的星的亮度为Ei.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)(　　)

A．1.24  B．1.25  C．1.26  D．1.27

答案　C

解析　根据题意可得，

1－1.25＝2.5，

可得lg ＝，解得r＝＝10，

根据参考公式可得r≈1＋2.3×＋2.7×＝1.257，

故与r最接近的是1.26.

4．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)

答案　D

解析　由题意得，y＝f(1－x)＝

故该函数图象过点(0,3)，排除A；

过点(1,1)，排除B；

且该函数在(－∞，0)上单调递增，排除C.

5．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　)

A．(1,2)

B．(－∞，－2]

C．(－∞，1)∪(2，＋∞)

D．(－∞，1]∪[2，＋∞)

答案　D

解析　当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．

6．已知函数f(x)＝若函数f(x)在定义域R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)

A．1<a<   B．1<a≤

C．a>   D．a≥

答案　B

解析　因为函数f＝

若函数f在定义域R上单调递增，

则解得1<a≤.

7．已知函数y＝的定义域为[a，b]，值域为[0,1]，则b－a的取值范围为(　　)

A．(0,3]   B.

C.   D.

答案　D

解析　由题意知，函数y＝的定义域为[a，b]，值域为[0,1]，

所以当＝0时，x＝1；当＝1时，x＝或x＝3，

所以当a＝时，b∈[1,3]，当b＝3时，a∈，

所以b－a∈.

8．已知函数f(x)＝log2－，则不等式f(2x－1)>0的解集是(　　)

A．(0,1)

B．(1，＋∞)

C．(－∞，0)

D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

答案　D

解析　因为函数的定义域关于原点对称，

f(－x)＝log2[(－x)2＋1]－

＝log2(x2＋1)－＝f(x)，

所以f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，

又f(1)＝log2(12＋1)－1＝0，

所以不等式f(2x－1)>0等价于f(|2x－1|)>f(1)，

则|2x－1|>1，

解得x>1或x<0，

所以不等式的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．

9．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)<0，f(x2)<0

B．f(x1)<0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)<0

D．f(x1)>0，f(x2)>0

答案　B

解析　设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x)<0，在(x0，＋∞)上f(x)>0，

又因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以f(x1)<0，f(x2)>0.

10．(2022·银川模拟)已知定义在上的函数f(x)满足f(x)＝f ，且当x∈时，f(x)＝xln x＋1，若方程f(x)－x－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)

A.

B.

C.

D.

答案　D

解析　∵当x∈时，f(x)＝xln x＋1，

∴当x∈(1，e]时，f(x)＝f ＝－ln x＋1，

综上，f(x)＝

当x∈时，f′(x)＝1＋ln x≥0，则f(x)在上单调递增，

当x∈(1，e]时，f′(x)＝(ln x－1)≤0，则f(x)在(1，e]上单调递减，

∵f(x)－x－a＝0有三个不同的实数根，

∴f(x)的图象和直线y＝x＋a有三个不同的交点，

作出f(x)的大致图象如图所示，

当直线y＝x＋a和f(x)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，

∴f′(x0)＝1＋ln x0＝，可得x0＝，y0＝1－·，代入y＝x＋a，可得a＝1－，

当y＝x＋a过点时，a＝1－，

由图知，实数a的取值范围为.

11．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是____________．

答案　g(x)＝3x

解析　由题意，可知loga9＝2，则a＝3，所以f(x)＝log3x，则反函数g＝3x.

12．方程log5－＝1的解为x＝________.

答案　4

解析　log5(x＋1)－(x－3)

＝log5(x＋1)＋log5(x－3)

＝log5[(x＋1)(x－3)]＝1，

所以解得x＝4.

因此，方程log5－＝1的解为x＝4.

13．已知函数f(x)的定义域为[－2,1]，函数g(x)＝，则g(x)的定义域为________．

答案　

解析　由题意得

∴<x≤2，即g(x)的定义域为.

14．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是__________．

答案　

解析　由题可知，y＝cos x－1与y＝logax的图象在x>0时的交点至少有3个，可知a∈(0,1)，如图所示，

当x＝6时，loga6>－2，则0<a<.

故实数a的取值范围为.