【最新版】高中数学高三培优小题练第49练　高考大题突破练——数列

第49练　高考大题突破练——数列

考点一　等差数列、等比数列基本量的计算

1．(2022·衡阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝6，S9＝81.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)在数列{an}的前15项中，是否存在两项am，at(m，t∈N*且m<t)，使得，，成等比数列．若存在，求出m，t的值；若不存在，请说明理由．

解　(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0.

由得

解得a1＝1，d＝2，

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，n∈N*.

(2)因为，，成等比数列(m，t∈N*且m<t)，

所以＝·，

即a＝a2at，

所以(2m－1)2＝3(2t－1)．

因为t≤15，

所以(2m－1)2≤87.

又m∈N*，

所以2m－1≤9，

所以m≤5.

又(2m－1)2为3的倍数，

且2m－1∈N*，

所以或

因为m<t，所以m＝5，t＝14.

考点二　数列求和

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝2，a3＝3，当n≥2时，Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1.数列{bn}是正项等比数列，且b4＝16，b3＝b1b2.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)把{an}和{bn}中的所有项从小到大排列，组成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100.

解　(1)当n≥2时，因为Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1，

即Sn＋2－Sn＋1＝Sn＋1－Sn＋1，

得an＋2＝an＋1＋1，

又因为a3＝a2＋1＝3，

所以当n≥2时，

数列{an}为首项为2，公差为1的等差数列，

此时an＝a2＋n－2＝n，

因为a1＝2不满足an＝n，

所以an＝

由数列{bn}为正项等比数列，

设该数列的公比为q，则q>0且b1>0，

因为b4＝16，b3＝b1b2，

所以解得b1＝q＝2，

所以bn＝b1qn－1＝2·2n－1＝2n.

(2)数列{an}的前100项为2,2,3,4,5，…，100，

数列{bn}的前100项为2,22,23,24，…，2100，

所以数列{cn}的前100项包含数列{an}的前94项和数列{bn}的前6项，

所以T100＝2＋(2＋3＋4＋…＋94)＋(2＋22＋23＋24＋25＋26)

＝2＋＋＝4 592.

3．已知数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝(n＋1)2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

解　(1)∵a1＋＋＋…＋＝(n＋1)2，①

∴当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝n2，②

①－②得＝(n＋1)2－n2＝2n＋1(n≥2)，

则an＝(2n－1)(2n＋1)＝4n2－1(n≥2)．

当n＝1时，由①得a1＝4，不满足上式，

∴an＝

(2)由(1)知b1＝，bn＝＝

＝(n≥2)，

∴当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋

＝.

当n＝1时，S1＝，满足上式，

故Sn＝，n∈N*.

4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且S3＝2S2＋1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}为递增数列，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)，求数列bn的前n项和Tn；

(3)在条件(2)下，若不等式λnTn－3λn＋bn<0对任意正整数n都成立，求λ的取值范围．

解　(1)∵S3＝2S2＋1，a1＝1，

∴a1＋a1q＋a1q2＝2a1＋2a1q＋1，解得q＝2或q＝－1，

当q＝2时，an＝2n－1；

当q＝－1时，an＝(－1)n－1.

(2)∵数列{an}为递增数列，

∴an＝2n－1，bn＝＝(2n－1)n，

Tn＝1×＋3×2＋5×3＋…＋(2n－1)·n，

Tn＝1×2＋3×3＋5×4＋…＋(2n－1)n＋1，

两式相减，化简得到

Tn＝＋2×2＋2×3＋2×4＋…＋2×n－(2n－1)n＋1，

∴Tn＝3－n－2－(2n－1)n＝3－.

(3)∵Tn＝3－<3，

λnTn－3λn＋bn<0，则λ>，

∵＝＝＝，

设2n－1＝t，

∴＝＝ (t为奇数)，

根据对勾函数的性质知t＝1或t＝3时有最大值．

当t＝1时，＝ ＝；

当t＝3时，＝ ＝，

故λ的取值范围为.