数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教学设计及反思

课标要求

素养要求

1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明.

2.会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直.

在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.异面直线所成的角”是怎样定义的？

【答案】直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角.

2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

【答案】平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

二、探索新知

问题：    在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？

1..二面角的概念

(1) 半平面的定义

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．

(2) 二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．

(3) 二面角的画法和记法：

面1－棱－面2      点1－棱－点2  

二面角    二面角

思考：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，

你认为应该怎么刻画二面角的大小？

（4）  二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

如图，，则∠AOB成为二面角的平面角. 它的大小与点O的选取无关.

二面角的平面角必须满足：

①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内

③角的边都要垂直于二面角的棱

观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构

这些二面角的面、棱、平面角及其度数。

【答案】三个

2. 平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：

图形表示：

观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？

【答案】用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。

3.平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

图形：

符号语言：

简记：线面垂直，则面面垂直。

一、二面角的求法

例1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.

解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，

∴AC⊥BC.

又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC.

又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.

又∵BC是二面角P－BC－A的棱，

∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.

由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，

∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.

反思感悟　在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角.

跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：

①二面角D′－AB－D的大小为________.

②二面角A′－AB－D的大小为________.

答案　①45°　②90°

解析　①在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.

②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.

二、平面与平面垂直的判定

例2　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.

证明　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，

∴BD⊥平面PAC.

∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.

反思感悟　证明平面与平面垂直的方法

(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.

(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

跟踪训练2　如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，

求证：平面ABC⊥平面ASC.

证明　作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，

∵SA＝SC，∴AH＝HC.

在Rt△ABC中，H是AC的中点，

∴BH＝AC＝AH，

又SH＝SH，SA＝SB，

∴△SAH≌△SBH(SSS)，

∴SH⊥BH，

又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC，

∴SH⊥平面ABC，

又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.

三、平面与平面垂直的性质定理

例3　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：BC⊥AB.

证明　如图，在平面PAB内，

作AD⊥PB于点D.

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB，

AD⊂平面PAB，

∴AD⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.

又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.

反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.

跟踪训练3　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.

求证：AM⊥平面EBC.

证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，

∴BC⊥平面ACDE.

又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.

∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.

又BC∩CE＝C，BC，EC⊂平面EBC，

∴AM⊥平面EBC.

通过复习线线角、线面角，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过观察实例，引入二面角的定义，提高学生分析问题的能力。

通过思考，引入二面角的平面角，提高学生分析问题、概括能力。

通过观察，由实例引入两平面垂直，提高学生分析问题法人能力。

通过观察实例，引入平面与平面垂直的判定定理，提高学生分析问题的能力。

通过例题的讲解，让学生进一步理解平面与平面垂直的判定定理的应用，提高学生解决与分析问题的能力。

三、达标检测

一、选择题

1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)

A.一定平行   B.一定垂直

C.一定是异面直线   D.一定相交

答案　B

解析　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.

2.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　)

A.1条   B.2条 

C.3条   D.4条

答案　B

解析　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.

3.在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是(　　)

A.90°   B.60° 

C.45°   D.30°

答案　A

解析　∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.

4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF，MN所成角的大小为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　连接A1C1，C1B，A1B.

∵E，F，M，N分别是BC，CC1，A1D1，C1D1的中点.

∴MN∥A1C1，EF∥BC1，

∴∠A1C1B是异面直线EF与MN所成的角.

由△A1BC1为等边三角形，知∠A1C1B＝.

5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　法一　∵AB∥CD，∴∠EAB(或其补角)为AE与CD所成的角.

连接BE(图略)，则在Rt△ABE中，若设AB＝2，则BE＝，从而tan∠EAB＝＝，

∴异面直线AE与CD所成角的正切值为.故选C.

法二(补形法)

如图，在已知正方体ABCD－A1B1C1D1的后面再补上一个与其相同的正方体DCFG－D1C1F1G1，取FF1中点E1，连接DE1，EE1，则EE1綉CF綉AD，

∴四边形AEE1D是平行四边形.

∴DE1∥AE.

∴∠E1DC(或其补角)为AE与CD所成角.

连接E1C，设AB＝2，则DC＝2，CE1＝.

在Rt△DCE1中，tan∠E1DC＝＝.故选C.

二、填空题

6.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________.

答案　AB，A1B1

解析　由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.

7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.

以上结论正确的为________(填序号).

答案　①③

解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.

8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.

答案　5

解析　取AD的中点P，连接PM，PN，

则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角)，

∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，

PM＝BD＝3，∴MN＝5.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1.知识清单：

(1)二面角以及二面角的平面角.

(2)平面与平面垂直的判定定理.

(3)平面与平面垂直的性质定理.

2.方法归纳：转化法.

3.常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直.

五、作业

习题8.6  6,7题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。