广东省深圳外国语学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份广东省深圳外国语学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(word版含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省深圳外国语学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）在下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
3．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．15 B．12 C．9 D．6
4．（3分）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
5．（3分）关于函数y＝，下列判断正确的是（　　）
A．点（1，﹣1）在该函数的图象上
B．该函数的图象在第二、四象限
C．若点（﹣2，y1）和（1，y2）在该函数图象上，则y2＜y1
D．若点（a，b）在该函数的图象上，则点（b，a）也在该函数的图象上
6．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（　　）

A．32° B．31° C．29° D．61°
7．（3分）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（　　）

A．24m B．25m C．28m D．30m
8．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
9．（3分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　）

A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，）
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：①x＞3时，y＜0；②4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④4ac+b2＜4a．其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程x（x+3）＝x+3的解是　 　．
12．（3分）云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为该省许多地区经济发展的重要项目．近年来某乡的花卉产值不断增加，2018年花卉的产值是640万元，2020年产值达到1000万元．若2021年花卉产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同）．那么请你估计2021年这个乡的花卉的产值将达到　 　万元．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是　 　．

14．（3分）如图，OA＝OB＝OC且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是　 　．

15．（3分）如图，在平面直接坐标系中，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点的直线与曲线l相交于点C、D，则sin∠COD＝　 　．

三、解答题（本大题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（6分）计算：（﹣）﹣1﹣（﹣1）2021+（3.14﹣π）0﹣|2cos30°﹣1|．
17．（6分）先化简，再求值：
已知x＝2cos45°，y＝2sin45°﹣tan30°，求（﹣）÷的值．
18．（7分）在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，点Q坐标记作（x，y）．
（1）画树状图或列表，写出Q点所有的坐标；
（2）计算由x、y确定的点Q（x，y）在函数y＝2x2图象上的概率；
（3）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足xy＞6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．这个游戏公平吗？说明理由；若不公平，怎么修改规则才对双方公平？
19．（8分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

20．（8分）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可获利润（元）
甲
　 　
　 　
15
乙
x
x
　 　
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，CB＝6，点D在线段CB的延长线上，且BD＝2，点P从点D出发沿着DC向终点C以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿着折线C﹣B﹣A往终点A以每秒2个单位的速度运动．以PQ为直径构造⊙O，设运动的时间为t（t≥0）秒．
（1）当0≤t＜3时，用含t的代数式表示BQ和PQ的长度．BQ＝　 　，PQ＝　 　；
（2）当点Q在线段CB上时，求⊙O和线段AB相切时t的值；
（3）在整个运动过程中，点O是否会出现在△ABC的内角平分线上？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

22．（10分）如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+E'B的最小值．


2020-2021学年广东省深圳外国语学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）在下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的基本判定性质．
【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B错误；
C、根据平行四边形的判定定理可知两条平行线相互平分的四边形是平行四边形，为真命题，故选项C是正确的；
D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D错误；
故选：C．
【点评】基本的定义、概念以及一些性质是做题的根本条件，熟练地运用可以为解答更深奥的题目奠定基础．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝4x，AB＝5x，
又∵AC2+BC2＝AB2，
∴62+（4x）2＝（5x）2，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍），
则BC＝4x＝8cm，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是关键．
3．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．15 B．12 C．9 D．6
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，
∴△OBC≌△OB1C1，
∴＝＝，
∴＝（）2，
∵S＝3，
∴△ABC的面积＝3×4＝12，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、相似三角形的性质是解题的关键．
4．（3分）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2022、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2022，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a＝2020、a+b＝﹣1是解题的关键．
5．（3分）关于函数y＝，下列判断正确的是（　　）
A．点（1，﹣1）在该函数的图象上
B．该函数的图象在第二、四象限
C．若点（﹣2，y1）和（1，y2）在该函数图象上，则y2＜y1
D．若点（a，b）在该函数的图象上，则点（b，a）也在该函数的图象上
【分析】根据k＝1＞0，则双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，反比例函数图象上的点横纵坐标之积＝k可得答案．
【解答】解：A、由于1×（﹣1）＝﹣1≠k，所以点（1，﹣1）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、该函数的图象在第一、三象限，故本选项不符合题意；
C、点（﹣2，y1）在第三象限，点（1，y2）在第一象限，则y1＜0，y2＞0，所以y2＞y1，故本选项不符合题意；
D、若点（a，b）在该函数的图象上，则点（b，a）也在该函数的图象上，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
6．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（　　）

A．32° B．31° C．29° D．61°
【分析】设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，如图所示：
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
7．（3分）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（　　）

A．24m B．25m C．28m D．30m
【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．
【解答】解：由题意得出：EP∥BD，
∴△AEP∽△ADB，
∴＝，
∵EP＝1.5，BD＝9，
∴＝
解得：AP＝5（m）
∵AP＝BQ，PQ＝20m．
∴AB＝AP+BQ+PQ＝5+5+20＝30（m）．
故选：D．

【点评】本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用．应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
8．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】先根据抛物线y＝ax2﹣2过原点排除A，再反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y＝bx+a的位置关系，进而得解．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a＜0时，b＜0，直线y＝bx+a经过第二、三、四象限，故B错误，C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
9．（3分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　）

A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，）
【分析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
【解答】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．

∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC＝AG，OG＝BG＝2，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD＝PA+PD＝DA，
∴此时PC+PD最短，
在Rt△AOG中，AG＝＝＝，
∴AC＝2，
∵OA•BK＝•AC•OB，
∴BK＝4，AK＝＝3，
∴点B坐标（8，4），
∴直线OB解析式为y＝x，直线AD解析式为y＝﹣x+1，
由解得，
∴点P坐标（，）．
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、轴对称﹣最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：①x＞3时，y＜0；②4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④4ac+b2＜4a．其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】由已知可得a＜0，对称轴为x＝，抛物线与x轴的两个交点为（，0），（，0），可得b＝﹣3a，所以①当x＞3时，y＜0；②4a+b＝4a﹣3a＝a＜0；③又由c＝a，﹣1＜c＜0，可得﹣＜a＜0；④因为将b＝﹣3a，c＝a，则4ac+b2﹣4a＝4a×a+（﹣3a）2﹣4a＝5a2+9a2﹣4a＝14a2﹣4a＝2a（7a﹣2）＞0．
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，
∵对称轴为直线x＝，
∴x＝0与x＝3所对应的函数值相同，
∵当x＝0时y＜0，
∴x＝3时y＜0，
∴x＞3时，y＜0，
∴①正确；
∵x＝＝﹣，
∴b＝﹣3a，
∴4a+b＝4a﹣3a＝a＜0，
∴②正确；
∵抛物线经过点A（，0），
∴a+b+c＝0，
∴c＝a，
∵B在（0，0）和（0，﹣1）之间，
∴﹣1＜c＜0，
∴﹣1＜a＜0，
∴﹣＜a＜0，
∴③正确；
4ac+b2﹣4a＝4a×a+（﹣3a）2﹣4a＝5a2+9a2﹣4a＝14a2﹣4a＝2a（7a﹣2），
∵a＜0，
∴2a（7a﹣2）＞0，
∴4ac+b2﹣4a＞0，
∴④不正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从图象中获取信息，与二次函数的解析式结合解题是关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程x（x+3）＝x+3的解是　﹣3或1　．
【分析】移项后分解因式得到（x+3）（x﹣1）＝0，推出方程x+＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x+3）＝x+3，
移项得：x（x+3）﹣（x+3）＝0，
分解因式得：（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+＝0，x﹣1＝0，
解方程得：x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：﹣3或1．
【点评】本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
12．（3分）云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为该省许多地区经济发展的重要项目．近年来某乡的花卉产值不断增加，2018年花卉的产值是640万元，2020年产值达到1000万元．若2021年花卉产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同）．那么请你估计2021年这个乡的花卉的产值将达到　1250　万元．
【分析】设2019及2020年的年增长率为x，根据该乡2018年及2020年的花卉的产值，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再利用该乡2021年的花卉的产值＝该乡2020年的花卉的产值×（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：设2019及2020年的年增长率为x，
依题意得：640（1+x）2＝1000，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），
∴2021年这个乡的花卉的产值为1000×（1+25%）＝1250（万元）．
故答案为：1250．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是　　．

【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP×BC＝AB×AC，
∴AP×BC＝AB×AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，
∵AB＝6，AC＝8，
∴10AP＝6×8，
∴AP＝
∴AM＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
14．（3分）如图，OA＝OB＝OC且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是　60°　．

【分析】由OA＝OB＝OC，得到以O为圆心，OA为半径的圆经过A，B，C，如图所示，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍即可求出∠AOB的度数．
【解答】解：由OA＝OB＝OC，得到以O为圆心，OA长为半径的圆经过A，B及C，
∵圆周角∠ACB与圆心角∠AOB都对，且∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°．
故答案为：60°．

【点评】此题考查了圆周角定理，根据题意作出相应的圆O是解本题的关键．
15．（3分）如图，在平面直接坐标系中，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点的直线与曲线l相交于点C、D，则sin∠COD＝　．　．

【分析】由题意点，可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出C、D的坐标，根据勾股定理求得OC、OD的长，根据S△OCD＝S△OBC﹣S△OBD计算求得△OCD的面积，根据三角形面积公式求得CE的长，然后解直角三角形即可求得sin∠COD的值．
【解答】解：∵，
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A（0，2），B（4，0），
∴直线AB解析式为y′＝﹣x′+2，
由，解得或，
∴C（1，），D（3，），
∴S△OCD＝S△OBC﹣S△OBD＝•4•﹣•4•＝2，
∵C（1，），D（3，），
∴OC＝＝，OD＝＝，
作CE⊥OD于E，
∵S△OCD＝OD•CE＝2，
∴CE＝，
∴sin∠COD＝＝，
故答案为．

【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（6分）计算：（﹣）﹣1﹣（﹣1）2021+（3.14﹣π）0﹣|2cos30°﹣1|．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方和绝对值，然后合并同类项，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣）﹣1﹣（﹣1）2021+（3.14﹣π）0﹣|2cos30°﹣1|
＝﹣3+1+1﹣|2×﹣1|
＝﹣1﹣|﹣1|
＝﹣1﹣+1
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．（6分）先化简，再求值：
已知x＝2cos45°，y＝2sin45°﹣tan30°，求（﹣）÷的值．
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝，
∵x﹣y＝2cos45°﹣2sin45°+tan30°
＝tan30°＝，
∴原式＝．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（7分）在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，点Q坐标记作（x，y）．
（1）画树状图或列表，写出Q点所有的坐标；
（2）计算由x、y确定的点Q（x，y）在函数y＝2x2图象上的概率；
（3）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足xy＞6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．这个游戏公平吗？说明理由；若不公平，怎么修改规则才对双方公平？
【分析】（1）先画树状图可展示所有12种等可能的结果数；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，从12种情况中找出在函数y＝2x2图象上的点的个数，然后根据概率公式求解；
（3）先分别计算出小明胜和小红胜的概率，再根据概率的大小关系可判断这种游戏方案设计对双方不公平，然后修改规则，使小明获胜的概率等于小红获胜的概率即可．
【解答】解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，它们是：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）；
（2）点（1，2）在函数y＝2x2图象上，
∴点Q（x，y）在函数y＝2x2图象上的概率为；
（3）这个游戏不公平．理由如下：
由（1）得：x、y满足xy＞6的结果有4个，x、y满足xy＜6的结果有6个，
∴P（小明胜）＝＝，P（小红胜）＝＝，
∵P（小明胜）＜P（小红胜）．
∴这种游戏方案设计对双方不公平．
这个游戏规则可改为：若x、y满足xy≥6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．
19．（8分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；
（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．
【解答】（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE＝∠CEB，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴FG＝FE，
∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE＝FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，
∴DF＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，
∵∠FDE＝90°，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得，x＝，
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝．
【点评】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可获利润（元）
甲
　65﹣x　
　2（65﹣x）　
15
乙
x
x
　130﹣2x　
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可；
（3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式，用x表示总利润利用二次函数性质讨论最值．
【解答】解：（1）由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x）人，共生产甲产品2（65﹣x）＝（130﹣2x）件．在乙每件120元获利的基础上，增加1人，利润减少2元每件，则乙产品的每件利润为120﹣2（x﹣5）＝（130﹣2x）元．
故答案为：65﹣x；130﹣2x；130﹣2x；
（2）由题意，
15×2（65﹣x）＝x（130﹣2x）+550，
∴x2﹣80x+700＝0，
解得x1＝10，x2＝70（不合题意，舍去），
∴130﹣2x＝110（元），
答：每件乙产品可获得的利润是110元．
（3）设生产甲产品m人，
W＝x（130﹣2x）+15×2m+30（65﹣x﹣m）
＝﹣2（x﹣25）2+3200，
∵2m＝65﹣x﹣m，
∴m＝，
∵x、m都是非负整数，
∴取x＝26时，m＝13，65﹣x﹣m＝26，
即当x＝26时，W最大值＝3198，
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3198元．
【点评】本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，CB＝6，点D在线段CB的延长线上，且BD＝2，点P从点D出发沿着DC向终点C以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿着折线C﹣B﹣A往终点A以每秒2个单位的速度运动．以PQ为直径构造⊙O，设运动的时间为t（t≥0）秒．
（1）当0≤t＜3时，用含t的代数式表示BQ和PQ的长度．BQ＝　6﹣2t　，PQ＝　|8﹣3t|　；
（2）当点Q在线段CB上时，求⊙O和线段AB相切时t的值；
（3）在整个运动过程中，点O是否会出现在△ABC的内角平分线上？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意得出BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，PQ＝|8﹣3t|；
（2）分两种情况讨论：①当P，Q还未相遇时，如图1，②当P，Q相遇后，如图2，分别构建方程即可得出答案；
（3）分三种情形讨论：①当点O在∠B的角平分线上时，如图3．②当点O在∠C的角平分线上时，如图4，作QG⊥AC于G，OF⊥AC于F，QH⊥BC于H．③当点O在∠A的角平分线上时，如图5，作∠A的角平分线交BC于点H，过点H作HI⊥AB于I．分别构建方程即可．
【解答】解：（1）由题意BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，PQ＝|8﹣3t|，
故答案为：6﹣2t，|8﹣3t|．
（2）分两种情况讨论：
①当P，Q还未相遇时，如图1，

CQ＝2t，DP＝t，QP＝8﹣3t，OE＝QP＝，
则OB＝BP+OP＝，
∵⊙O与AB相切，
∴OE⊥AB，
∵sin∠ABC＝，
∴，解得t＝．
②当P，Q相遇后，如图2，

BQ＝6﹣2t，PQ＝BP﹣BQ＝（t﹣2）﹣（6﹣2t）＝3t﹣8，
则OE＝QP＝，OB＝OQ+BQ＝，
∵⊙O与AB相切，
∴OE⊥AB，
∵sin∠ABC＝，
∴，解得t＝．
综上所述，满足条件的t的值为t＝s或s．
（3）存在．①当点O在∠B的角平分线上时，如图3，

过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，
∵OB平分∠ABC，
∴OM＝ON，
∵∠OMQ＝∠ONP＝90°，OQ＝OP，
∴Rt△OMQ≌Rt△ONP（HL），
∴∠OQM＝∠OPN，
∴BQ＝BP，即2t﹣6＝t﹣2，
解得t＝4．
②当点O在∠C的角平分线上时，如图4，作QG⊥AC于G，OF⊥AC于F，QH⊥BC于H．

则GQ＝AQ•sin∠BAC＝AQ＝，
同理可得GC＝QH＝BQ＝，
在梯形CPQG中，OF是中位线，
则OF＝（GQ+CP）＝[+（8﹣t）]＝，
∵点O在∠C的角平分线上，
∴CF＝OF．
∴，解得t＝．
③当点O在∠A的角平分线上时，如图5，作∠A的角平分线交BC于点H，过点H作HI⊥AB于I，

则HI＝CH．
∵sin∠ABC＝，则，
∴CH＝HI＝，
∴tan∠CAH＝，
由②得OF＝（GQ+CP）＝，
∴CF＝，AF＝AC﹣CF＝，
∴tan∠CAH＝＝，
解得t＝．
综上所述，当t＝4s或s或s时，点O会出现在△ABC的内角平分线上．
【点评】本题是圆的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、角平分线的性质、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22．（10分）如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+E'B的最小值．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S△PNA+S△PNB＝×PN×OA＝×4×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+6x，即可求解；
（3）在y轴上 取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），
则有，解得，
∴抛物线y＝﹣x2+x+3，
令y＝0，得到﹣x2+x+3＝0，
解得：x＝4或﹣1，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3；

（2）如图1中，设P（x，﹣x2+x+3），则点N（x，﹣x+3），
则设△PAB面积为S，
则S＝S△PNA+S△PNB＝×PN×OA＝×4×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+6x，
∵＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为6，此时P（2，4.5）；

（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．

∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝＝．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值，属于中考压轴题．
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日期：2021/12/2 17:55:23；用户：初中数学；邮箱：jzl12@xyh.com；学号：38610646