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广东省东莞外国语学校2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）
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2020-2021学年广东省东莞外国语学校九年级（上）期末数学试卷（附答案与解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列银行标志图案中，是中心对称的是（ ）A． B． C． D．2．（3分）抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（ ）A．（﹣1，0） B．（﹣1，1） C．（0，﹣1） D．（1，0）3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝64．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（ ）A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣25．（3分）已知点（3，y1），（﹣2，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y26．（3分）如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（ ）A．2 B．4 C．6 D．87．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（ ）A． B． C． D．8．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）A．48° B．96° C．114° D．132°10．（3分）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，则a+b的值等于 ．12．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．13．（4分）已知一菱形的两条对角线的长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则该菱形的面积为 ．14．（4分）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为 米．15．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为 ．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝，则AC的长为 ．17．（4分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值 ．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：．19．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）＝3．20．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内有一点P（m，n），则经过上述变换后点P的坐标为 ．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）△ABC的面积为 ．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）当0＜a＜3时，求线段DE的最大值．22．（8分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？23．（8分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）若PE＝2，EF＝6，求PC的长．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC＝AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2020-2021学年广东省东莞外国语学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列银行标志图案中，是中心对称的是（ ）A． B． C． D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项不符合题意；B、是中心对称图形，本选项符合题意；C、不是中心对称图形，本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，本选项不符合题意．故选：B．2．（3分）抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（ ）A．（﹣1，0） B．（﹣1，1） C．（0，﹣1） D．（1，0）【分析】直接根据二次函数的顶点坐标式进行解答即可．【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x+1）2，∴其顶点坐标为：（﹣1，0）．故选：A．3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，配方得（x﹣2）2＝2．故选：A．4．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（ ）A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣2【分析】根据一元二次方程根与系数关系解答即可．【解答】解：因为x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，则x1+x2＝2，x1•x2＝0，故选：B．5．（3分）已知点（3，y1），（﹣2，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2【分析】根据k＜0，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大即可判断．【解答】解：∵k＝﹣6＜0，∴图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，∴y2＞0，y3＜y1＜0，∴y3＜y1＜y2，故选：A．6．（3分）如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据相似三角形的判定和性质，对应边成比例即可求解．【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，AC＝AD+DC，∴，∴DC＝6．答：DC边的长为6．故选：C．7．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（ ）A． B． C． D．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可求出AC，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理可知：AC＝5，∴cos∠BAC＝＝，故选：C．8．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由旋转的性质可得∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠A′CA＝40°，即可求解．【解答】解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，∴∠A′CA＝90°﹣50°＝40°．∴∠BCB′＝∠A′CA＝40°，∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝115°﹣40°﹣40°＝35°．故选：B．9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）A．48° B．96° C．114° D．132°【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，故选：B．10．（3分）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＜0，b＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵对称轴x＝﹣＜﹣1，a＜0∴b＜2a，∴b﹣2a＜0，故②正确；③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误．综上所述正确的个数为2个故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，则a+b的值等于 3 ．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后相加计算即可得解．【解答】解：∵点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，∴a＝5，b＝﹣2，所以，a+b＝5+（﹣2）＝3．故答案为：3．12．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤9 ．【分析】根据二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，可知（﹣6）2﹣4×1×k≥0，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，∴（﹣6）2﹣4×1×k≥0，解得，k≤9，故答案为：k≤9．13．（4分）已知一菱形的两条对角线的长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则该菱形的面积为 ．【分析】设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出ab＝1，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．【解答】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，∵菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，∴ab＝1，∴菱形的面积＝ab＝．故答案为．14．（4分）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为 15 米．【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴＝，即，∴AB＝15（米）．故答案为：15．15．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为 5 ．【分析】首先由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH＝8﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2＝82，解此方程即可求得答案．【解答】解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，∴IG⊥AD，∴在⊙O中，FH＝EF＝4，设求半径为r，则OH＝8﹣r，在Rt△OFH中，r2﹣（8﹣r）2＝42，解得r＝5，故答案为：5．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝，则AC的长为 4 ．【分析】利用直角三角形的边角间关系先求出AB，再利用勾股定理求出AC．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinA＝，∴＝．∴AB＝6．∴AC＝＝＝＝4．故答案为：4．17．（4分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值 7 ．【分析】设点A（a，3），根据题意可得：a＝，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值．【解答】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），∴设点A（a，3）∵S△ABC＝（a﹣1）×3＝2∴a＝∴点A（，3）∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝7故答案为：7．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：．【分析】先去绝对值，算零指数幂及特殊三角形函数和二次根式，再进行乘除运算，最后进行加减运算．【解答】解：原式＝﹣1+1+4×﹣3＝﹣1+1+2﹣3＝0．19．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）＝3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，所以x1＝0，x2＝4．20．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内有一点P（m，n），则经过上述变换后点P的坐标为 （m+1，﹣n） ．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）△ABC的面积为 ．【分析】（1）先利用关于x轴对称的坐标特征写出△ABC沿x轴翻折后对应的坐标，然后利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，再描点即可；同时得到P点坐标；（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；经过上述变换后点P的坐标为（m+1，﹣n）；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3））△ABC的面积＝3×2﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×1＝．故答案为（m+1，﹣n）；．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）当0＜a＜3时，求线段DE的最大值．【分析】（1）直线y＝x+m 经过点A（3，4），4＝3+m，m＝1，二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），即可求解；（2）由题意得D（a，a+1），E（a，a2﹣2a+1），DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a﹣）2+，即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝x+m 经过点A（3，4），∴4＝3+m，∴m＝1，∵二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），∴设y＝a（x﹣1）2∵抛物线经过A（3，4），∴a＝1，∴y＝x2﹣2x+1；（2）由题意得D（a，a+1），E（a，a2﹣2a+1），∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a﹣）2+，∵0＜＜3，∴当a＝时，DE的最大值为．22．（8分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量；（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【解答】解：（1）当每件盈利50元时，每件商品降价：60﹣50＝10（元），商场每天可多销售：10×2＝20（件），每天销售：40+20＝60（件），答：当每件盈利50元时，每天可销售60件；（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3150，整理得：x2﹣40x+375＝0，解得：x1＝15，x2＝25，答：每件商品降价15元或25元时，商场日盈利可达到3150元．23．（8分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）若PE＝2，EF＝6，求PC的长．【分析】（1）利用菱形的性质结合条件可证明△APD≌△CPD；（2）根据全等三角形的性质得到∠DAP＝∠DCP，根据平行线的性质得到∠DCP＝∠F，等量代换得到∠DAP＝∠F，可得△APE∽△FPA；（3）根据相似三角形的性质得到，于是得到PA2＝PE•PF，等量代换即可得到PC2＝PE•PF，求得PC＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS）；（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP＝∠DCP，∵CD∥BF，∴∠DCP＝∠F，∴∠DAP＝∠F，又∵∠APE＝∠FPA，∴△APE∽△FPA，（3）∵△APE∽△FPA∴，∴PA2＝PE•PF，∵△APD≌△CPD，∴PA＝PC，∴PC2＝PE•PF，∵PE＝2，EF＝6，∴PF＝PE+EF＝2+6＝8，∴PC＝4．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC＝AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN•MC；代入数据可得MN•MC＝BM2＝8．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC＝PC，∴∠A＝∠P，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，∴∠COB＝∠CBO，∴BC＝OC．∴BC＝AB．（3）解：连接MA，MB，∵点M是的中点，∴，∴∠ACM＝∠BCM．∵∠ACM＝∠ABM，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMN＝∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴．∴BM2＝MN•MC．又∵AB是⊙O的直径，，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∵AB＝4，∴BM＝2．∴MN•MC＝BM2＝8．25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；（2）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；（3）设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD＝（n+2），然后根据S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，∴，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2））∵A（0，4），C（8，0），∴AC＝＝4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，∴AN＝NC，∵AN2＝AO2+NO2，∴AN2＝16+（8﹣AN）2，∴AN＝5，∴ON＝3，∴N的坐标为（3，0），综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）或（8﹣4，0）或（3，0）或（8+4，0）；（3）∵抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于B，C两点，∴0＝﹣x2+x+4，∴x1＝﹣2，x2＝8，∴点B（﹣2，0），∴BO＝2，设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴，∵MN∥AC，∴，∴，∵OA＝4，BC＝10，BN＝n+2，∴MD＝（n+2），∵S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN＝BN•OA﹣BN•MD＝（n+2）×4﹣×（n+2）2＝﹣（n﹣3）2+5，∴当n＝3时，△AMN面积最大，∴N点坐标为（3，0）．
2020-2021学年广东省东莞外国语学校九年级（上）期末数学试卷（附答案与解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列银行标志图案中，是中心对称的是（ ）A． B． C． D．2．（3分）抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（ ）A．（﹣1，0） B．（﹣1，1） C．（0，﹣1） D．（1，0）3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝64．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（ ）A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣25．（3分）已知点（3，y1），（﹣2，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y26．（3分）如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（ ）A．2 B．4 C．6 D．87．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（ ）A． B． C． D．8．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）A．48° B．96° C．114° D．132°10．（3分）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，则a+b的值等于 ．12．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．13．（4分）已知一菱形的两条对角线的长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则该菱形的面积为 ．14．（4分）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为 米．15．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为 ．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝，则AC的长为 ．17．（4分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值 ．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：．19．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）＝3．20．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内有一点P（m，n），则经过上述变换后点P的坐标为 ．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）△ABC的面积为 ．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）当0＜a＜3时，求线段DE的最大值．22．（8分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？23．（8分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）若PE＝2，EF＝6，求PC的长．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC＝AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2020-2021学年广东省东莞外国语学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列银行标志图案中，是中心对称的是（ ）A． B． C． D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项不符合题意；B、是中心对称图形，本选项符合题意；C、不是中心对称图形，本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，本选项不符合题意．故选：B．2．（3分）抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（ ）A．（﹣1，0） B．（﹣1，1） C．（0，﹣1） D．（1，0）【分析】直接根据二次函数的顶点坐标式进行解答即可．【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x+1）2，∴其顶点坐标为：（﹣1，0）．故选：A．3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，配方得（x﹣2）2＝2．故选：A．4．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（ ）A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣2【分析】根据一元二次方程根与系数关系解答即可．【解答】解：因为x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，则x1+x2＝2，x1•x2＝0，故选：B．5．（3分）已知点（3，y1），（﹣2，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2【分析】根据k＜0，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大即可判断．【解答】解：∵k＝﹣6＜0，∴图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，∴y2＞0，y3＜y1＜0，∴y3＜y1＜y2，故选：A．6．（3分）如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据相似三角形的判定和性质，对应边成比例即可求解．【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，AC＝AD+DC，∴，∴DC＝6．答：DC边的长为6．故选：C．7．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（ ）A． B． C． D．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可求出AC，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理可知：AC＝5，∴cos∠BAC＝＝，故选：C．8．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由旋转的性质可得∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠A′CA＝40°，即可求解．【解答】解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，∴∠A′CA＝90°﹣50°＝40°．∴∠BCB′＝∠A′CA＝40°，∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝115°﹣40°﹣40°＝35°．故选：B．9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）A．48° B．96° C．114° D．132°【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，故选：B．10．（3分）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＜0，b＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵对称轴x＝﹣＜﹣1，a＜0∴b＜2a，∴b﹣2a＜0，故②正确；③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误．综上所述正确的个数为2个故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，则a+b的值等于 3 ．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后相加计算即可得解．【解答】解：∵点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，∴a＝5，b＝﹣2，所以，a+b＝5+（﹣2）＝3．故答案为：3．12．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤9 ．【分析】根据二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，可知（﹣6）2﹣4×1×k≥0，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，∴（﹣6）2﹣4×1×k≥0，解得，k≤9，故答案为：k≤9．13．（4分）已知一菱形的两条对角线的长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则该菱形的面积为 ．【分析】设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出ab＝1，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．【解答】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，∵菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，∴ab＝1，∴菱形的面积＝ab＝．故答案为．14．（4分）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为 15 米．【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴＝，即，∴AB＝15（米）．故答案为：15．15．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为 5 ．【分析】首先由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH＝8﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2＝82，解此方程即可求得答案．【解答】解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，∴IG⊥AD，∴在⊙O中，FH＝EF＝4，设求半径为r，则OH＝8﹣r，在Rt△OFH中，r2﹣（8﹣r）2＝42，解得r＝5，故答案为：5．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝，则AC的长为 4 ．【分析】利用直角三角形的边角间关系先求出AB，再利用勾股定理求出AC．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinA＝，∴＝．∴AB＝6．∴AC＝＝＝＝4．故答案为：4．17．（4分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值 7 ．【分析】设点A（a，3），根据题意可得：a＝，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值．【解答】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），∴设点A（a，3）∵S△ABC＝（a﹣1）×3＝2∴a＝∴点A（，3）∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝7故答案为：7．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：．【分析】先去绝对值，算零指数幂及特殊三角形函数和二次根式，再进行乘除运算，最后进行加减运算．【解答】解：原式＝﹣1+1+4×﹣3＝﹣1+1+2﹣3＝0．19．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）＝3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，所以x1＝0，x2＝4．20．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内有一点P（m，n），则经过上述变换后点P的坐标为 （m+1，﹣n） ．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）△ABC的面积为 ．【分析】（1）先利用关于x轴对称的坐标特征写出△ABC沿x轴翻折后对应的坐标，然后利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，再描点即可；同时得到P点坐标；（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；经过上述变换后点P的坐标为（m+1，﹣n）；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3））△ABC的面积＝3×2﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×1＝．故答案为（m+1，﹣n）；．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）当0＜a＜3时，求线段DE的最大值．【分析】（1）直线y＝x+m 经过点A（3，4），4＝3+m，m＝1，二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），即可求解；（2）由题意得D（a，a+1），E（a，a2﹣2a+1），DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a﹣）2+，即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝x+m 经过点A（3，4），∴4＝3+m，∴m＝1，∵二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），∴设y＝a（x﹣1）2∵抛物线经过A（3，4），∴a＝1，∴y＝x2﹣2x+1；（2）由题意得D（a，a+1），E（a，a2﹣2a+1），∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a﹣）2+，∵0＜＜3，∴当a＝时，DE的最大值为．22．（8分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量；（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【解答】解：（1）当每件盈利50元时，每件商品降价：60﹣50＝10（元），商场每天可多销售：10×2＝20（件），每天销售：40+20＝60（件），答：当每件盈利50元时，每天可销售60件；（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3150，整理得：x2﹣40x+375＝0，解得：x1＝15，x2＝25，答：每件商品降价15元或25元时，商场日盈利可达到3150元．23．（8分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）若PE＝2，EF＝6，求PC的长．【分析】（1）利用菱形的性质结合条件可证明△APD≌△CPD；（2）根据全等三角形的性质得到∠DAP＝∠DCP，根据平行线的性质得到∠DCP＝∠F，等量代换得到∠DAP＝∠F，可得△APE∽△FPA；（3）根据相似三角形的性质得到，于是得到PA2＝PE•PF，等量代换即可得到PC2＝PE•PF，求得PC＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS）；（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP＝∠DCP，∵CD∥BF，∴∠DCP＝∠F，∴∠DAP＝∠F，又∵∠APE＝∠FPA，∴△APE∽△FPA，（3）∵△APE∽△FPA∴，∴PA2＝PE•PF，∵△APD≌△CPD，∴PA＝PC，∴PC2＝PE•PF，∵PE＝2，EF＝6，∴PF＝PE+EF＝2+6＝8，∴PC＝4．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC＝AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN•MC；代入数据可得MN•MC＝BM2＝8．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC＝PC，∴∠A＝∠P，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，∴∠COB＝∠CBO，∴BC＝OC．∴BC＝AB．（3）解：连接MA，MB，∵点M是的中点，∴，∴∠ACM＝∠BCM．∵∠ACM＝∠ABM，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMN＝∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴．∴BM2＝MN•MC．又∵AB是⊙O的直径，，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∵AB＝4，∴BM＝2．∴MN•MC＝BM2＝8．25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；（2）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；（3）设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD＝（n+2），然后根据S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，∴，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2））∵A（0，4），C（8，0），∴AC＝＝4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，∴AN＝NC，∵AN2＝AO2+NO2，∴AN2＝16+（8﹣AN）2，∴AN＝5，∴ON＝3，∴N的坐标为（3，0），综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）或（8﹣4，0）或（3，0）或（8+4，0）；（3）∵抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于B，C两点，∴0＝﹣x2+x+4，∴x1＝﹣2，x2＝8，∴点B（﹣2，0），∴BO＝2，设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴，∵MN∥AC，∴，∴，∵OA＝4，BC＝10，BN＝n+2，∴MD＝（n+2），∵S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN＝BN•OA﹣BN•MD＝（n+2）×4﹣×（n+2）2＝﹣（n﹣3）2+5，∴当n＝3时，△AMN面积最大，∴N点坐标为（3，0）．
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