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2020-2021学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）开学数学试卷
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这是一份2020-2021学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）开学数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，解笞题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
3．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a2b2＝3ab•2ab B．2x2+8x﹣1＝2x（x+4）﹣1
C． a2﹣3a﹣4＝（a+1）（a﹣4） D．a2﹣1＝a（a﹣）
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（ ）
A． BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
6．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
7．（3分）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
8．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
9．（3分）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是（ ）
A．10% B．15% C．23% D．30%
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（3分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
12．（3分）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，
其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：mn3﹣4mn＝ ．
14．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
15． （3分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，＝，＝，＝ ．
三、解笞题（本大题共7小题，共52分）
17．（8分）请完成下列各题：
（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
（2）解不等式组：．
18． （9分）先化简，再求值：m﹣÷，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0．
19．（10分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生1800人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到一男一女的概率．
20．（5分）如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；
（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．
21．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长．
22．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？
23．（12分）发现规律
（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．求∠BFC的度数．
（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．
应用结论
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．
2020-2021学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．解题的关键是轴对称图形与中心对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．（3分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
【分析】根据不等式的性质进行分析判断．
【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
3．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a2b2＝3ab•2ab B．2x2+8x﹣1＝2x（x+4）﹣1
C．a2﹣3a﹣4＝（a+1）（a﹣4） D．a2﹣1＝a（a﹣）
【分析】根据因式分解是把一个多项式分解为几个整式积的形式进行判断即可．
【解答】解：A、不是把多项式转化，故选项错误；
B、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故选项错误；
C、因式分解正确，故选项正确；
D、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），因式分解错误，故选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，
∴，解得x＝45（尺）．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
6．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
【分析】根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；
B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
7．（3分）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
9．（3分）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是（ ）
A．10% B．15% C．23% D．30%
【分析】可设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，那么新注册用户可表示为200（1+x）2，已知三月份新注册用户为338万，即可列出方程，从而求解．
【解答】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，根据题意得
200（1+x）2＝338，
解得x＝﹣2.3（不合题意舍去），x＝0.3．
故二、三两个月新注册用户每月平均增长率是30%．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
11．（3分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】根据网格画出使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个）的格点三角形即可．
【解答】解：如图，
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定．
12．（3分）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，
其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性质得出∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，证出∠CAD＝∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC＝FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB＝FB•FG＝S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出AD•FE＝AD2＝FQ•AC，④正确．
【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG，①正确；
∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB•FG＝S四边形CBFG，②正确；
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠ADE＝∠QBD＝∠E＝90°，
∴∠ADC+∠QDB＝90°，
∵∠QDB+∠DQB＝90°，
∴∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，
∵∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD＝FE：FQ，
∴AD•FE＝AD2＝FQ•AC，④正确；
或：AD2表示正方形的面积；连接AQ，FQ×AC＝FQ×BC＝FQ×GF＝△AFQ面积的2倍（FQ为底，GF为高）＝△AFQ面积的2倍（AF为底，AD为高）＝正方形的面积，所以结论4是对的；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：mn3﹣4mn＝ mn（n+2）（n﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝mn（n2﹣4）
＝mn（n+2）（n﹣2）．
故答案为：mn（n+2）（n﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 144° ．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠C＝＝108°，BC＝DC，
所以∠BDC＝＝36°，
所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
【点评】本题考查了正五边形．解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．熟记定义是解题的关键．
15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 2028 ．
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，＝，＝，＝ ．
【分析】过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，通过证明△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，列比例式可得，再证明△ABC∽△DAN，列比例式可得，设AB＝a，DN＝b，则BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，进而可求解b＝，再利用三角形的面积公式可计算求解．
【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，
∵DM∥BC，
∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，
∴，
∵∠ABC＝∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠NAD＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝∠BCA，
∴△ABC∽△DAN，
∴，
设AB＝a，DN＝b，则BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，
由得DM＝，
∴4b+b＝，
即b＝，
∴＝，
故答案为．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积，灵活运用三角形相似的判定与性质是解题的关键．
三、解笞题（本大题共7小题，共52分）
17．（8分）请完成下列各题：
（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（9分）先化简，再求值：m﹣÷，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0．
【分析】根据分式乘除法则和减法法则化简原式，再将已知方程变形为m2＝m+1，最后代入求值便可．
【解答】解：原式＝m﹣
＝m﹣
＝，
∵m2﹣m﹣1＝0，
∴m2＝m+1，
∴原式＝．
【点评】本题主要考查分式乘除法则和减法法则，求代数式的值，考查了整体代入思想，关键是熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则，解题技巧是将已知方程变形，巧用整体代入思想可快速求值．
19．（10分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 80 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生1800人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）先求出调查的总人数，再根据各项目人数之和等于总人数可得重视的人数，据此可补全条形图；
（2）用该校学生总人数乘以“非常重视”人数所占的百分比即可得出答案；
（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解即可得出结果．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数有：16÷20%＝80（人）；
重视的人数有：80﹣4﹣36﹣16＝24（人），
故答案为：80；
补图如图：
（2）根据题意得：1800×＝90（人），
答：该校对视力保护“非常重视”的学生人有90人；
（3）画树状图如下：
共有12种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，则P（恰好抽到一男一女）＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
20．（5分）如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；
（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，
∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4，
由勾股定理得，AO＝＝＝3，
∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝BD•AC＝×24×6＝72．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
21．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长．
【分析】（1）由DB平分∠ADC得到∠ADB＝∠CDB，则可判断△ABD∽△BCD，利用相似比可得到结论；
（2）先证明∠MBD＝∠MDB得到MB＝MD，再证明∠A＝∠ABM得到MA＝MB，则MA＝MB＝MD＝AD＝4，接着利用BD2＝AD•CD得到BD2＝48，再利用勾股定理计算出BC2＝12，然后在Rt△BCM中利用勾股定理计算出MC的长．
【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD：CD＝AD：BD，
∴BD2＝AD•CD；
（2）解：∵BM∥CD，
∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC，
而∠MDB＝∠CDB，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴MB＝MD，
∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°，
∴∠A＝∠ABM，
∴MA＝MB，
∴MA＝MB＝MD＝AD＝4，
∵BD2＝AD•CD，CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝8×6＝48，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2﹣CD2＝48﹣62＝12，
在Rt△BCM中，MC＝＝＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了勾股定理．
22．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？
【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种书包m个，则购进B种书包（2m+5）个，根据购进A种书包不少于18个且购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案；
（3）设该商场销售A，B两种书包获利w元，根据总利润＝销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质可得出w取得最大值时的进货方案，设赠送的书包中A种书包有a个，销售的A种书包中有b个样品，则赠送的书包中B种书包有（5﹣a）个，销售的B种书包中有（4﹣b）个样品，根据销售完商场仍获利1370元，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a为非负整数，b为正整数且4﹣b不为零，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝90．
答：每个A种书包的进价为70元，每个B种书包的进价为90元．
（2）设购进A种书包m个，则购进B种书包（2m+5）个，
依题意得：，
解得：18≤m≤20．
又∵m为整数，
∴m可以为18，19，20，
∴该商场有3种进货方案，
方案1：购进18个A种书包，41个B种书包；
方案2：购进19个A种书包，43个B种书包；
方案3：购进20个A种书包，45个B种书包．
（3）设该商场销售A，B两种书包获利w元，则w＝（90﹣70）m+（130﹣90）（2m+5）＝100m+200，
∵100＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝20时，w取得最大值，即购进20个A种书包，45个B种书包．
设赠送的书包中A种书包有a个，销售的A种书包中有b个样品，则赠送的书包中B种书包有（5﹣a）个，销售的B种书包中有（4﹣b）个样品，
依题意得：90（20﹣a﹣b）+90×0.5b+130[45﹣（5﹣a）﹣（4﹣b）]+130×0.5（4﹣b）﹣70×20﹣90×45＝1370，
整理得：2a+b＝4．
又∵a为非负整数，b为正整数，
∴当a＝0时，b＝4，此时4﹣b＝0不合题意，舍去；当a＝1，b＝2．
∴5﹣a＝4，4﹣b＝2，
∴赠送的书包中A种书包有1个，B种书包有4个，样品中A种书包有2个，B种书包有2个．
【点评】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23．（12分）发现规律
（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．求∠BFC的度数．
（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．
应用结论
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．
【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE，由三角形内角和定理可求解；
（2）通过证明△ABC∽△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，，可证△ABD∽△ACE，可得∠ABD＝∠ACE，由外角性质可得∠BFC＝∠BAC，由三角形内角和定理可求解；
（3）由旋转的性质可得△MNK是等边三角形，可得MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°，如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，可得∠OMQ＝60°，OK＝NQ，MO＝MQ，则当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当QN⊥y轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图①，
∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠FBC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACE+∠FBC＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠ACE﹣∠ACB＝60°；
（2）如图②，
∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BHC＝∠ABD+∠BAC＝∠BFC+∠ACE，
∴∠BFC＝∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BFC+α+β＝180°，
∴∠BFC＝180°﹣α﹣β；
（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，
∴MN＝MK，∠NMK＝60°，
∴△MNK是等边三角形，
∴MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°，
如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，
∴△MOK≌△MQN，∠OMQ＝60°，
∴OK＝NQ，MO＝MQ，
∴△MOQ是等边三角形，
∴∠QOM＝60°，
∴∠NOQ＝30°，
∵OK＝NQ，
∴当NQ为最小值时，OK有最小值，
由垂线段最短可得：当QN⊥y轴时，NQ有最小值，
此时，QN⊥y轴，∠NOQ＝30°，
∴NQ＝OQ＝，
∴线段OK长度的最小值为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
2020-2021学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
3．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a2b2＝3ab•2ab B．2x2+8x﹣1＝2x（x+4）﹣1
C． a2﹣3a﹣4＝（a+1）（a﹣4） D．a2﹣1＝a（a﹣）
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（ ）
A． BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
6．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
7．（3分）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
8．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
9．（3分）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是（ ）
A．10% B．15% C．23% D．30%
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（3分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
12．（3分）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，
其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：mn3﹣4mn＝ ．
14．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
15． （3分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，＝，＝，＝ ．
三、解笞题（本大题共7小题，共52分）
17．（8分）请完成下列各题：
（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
（2）解不等式组：．
18． （9分）先化简，再求值：m﹣÷，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0．
19．（10分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生1800人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到一男一女的概率．
20．（5分）如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；
（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．
21．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长．
22．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？
23．（12分）发现规律
（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．求∠BFC的度数．
（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．
应用结论
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．
2020-2021学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．解题的关键是轴对称图形与中心对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．（3分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
【分析】根据不等式的性质进行分析判断．
【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
3．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a2b2＝3ab•2ab B．2x2+8x﹣1＝2x（x+4）﹣1
C．a2﹣3a﹣4＝（a+1）（a﹣4） D．a2﹣1＝a（a﹣）
【分析】根据因式分解是把一个多项式分解为几个整式积的形式进行判断即可．
【解答】解：A、不是把多项式转化，故选项错误；
B、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故选项错误；
C、因式分解正确，故选项正确；
D、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），因式分解错误，故选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，
∴，解得x＝45（尺）．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
6．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
【分析】根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；
B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
7．（3分）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
9．（3分）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是（ ）
A．10% B．15% C．23% D．30%
【分析】可设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，那么新注册用户可表示为200（1+x）2，已知三月份新注册用户为338万，即可列出方程，从而求解．
【解答】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，根据题意得
200（1+x）2＝338，
解得x＝﹣2.3（不合题意舍去），x＝0.3．
故二、三两个月新注册用户每月平均增长率是30%．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
11．（3分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】根据网格画出使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个）的格点三角形即可．
【解答】解：如图，
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定．
12．（3分）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，
其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性质得出∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，证出∠CAD＝∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC＝FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB＝FB•FG＝S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出AD•FE＝AD2＝FQ•AC，④正确．
【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG，①正确；
∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB•FG＝S四边形CBFG，②正确；
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠ADE＝∠QBD＝∠E＝90°，
∴∠ADC+∠QDB＝90°，
∵∠QDB+∠DQB＝90°，
∴∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，
∵∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD＝FE：FQ，
∴AD•FE＝AD2＝FQ•AC，④正确；
或：AD2表示正方形的面积；连接AQ，FQ×AC＝FQ×BC＝FQ×GF＝△AFQ面积的2倍（FQ为底，GF为高）＝△AFQ面积的2倍（AF为底，AD为高）＝正方形的面积，所以结论4是对的；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：mn3﹣4mn＝ mn（n+2）（n﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝mn（n2﹣4）
＝mn（n+2）（n﹣2）．
故答案为：mn（n+2）（n﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 144° ．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠C＝＝108°，BC＝DC，
所以∠BDC＝＝36°，
所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
【点评】本题考查了正五边形．解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．熟记定义是解题的关键．
15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 2028 ．
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，＝，＝，＝ ．
【分析】过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，通过证明△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，列比例式可得，再证明△ABC∽△DAN，列比例式可得，设AB＝a，DN＝b，则BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，进而可求解b＝，再利用三角形的面积公式可计算求解．
【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，
∵DM∥BC，
∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，
∴，
∵∠ABC＝∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠NAD＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝∠BCA，
∴△ABC∽△DAN，
∴，
设AB＝a，DN＝b，则BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，
由得DM＝，
∴4b+b＝，
即b＝，
∴＝，
故答案为．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积，灵活运用三角形相似的判定与性质是解题的关键．
三、解笞题（本大题共7小题，共52分）
17．（8分）请完成下列各题：
（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（9分）先化简，再求值：m﹣÷，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0．
【分析】根据分式乘除法则和减法法则化简原式，再将已知方程变形为m2＝m+1，最后代入求值便可．
【解答】解：原式＝m﹣
＝m﹣
＝，
∵m2﹣m﹣1＝0，
∴m2＝m+1，
∴原式＝．
【点评】本题主要考查分式乘除法则和减法法则，求代数式的值，考查了整体代入思想，关键是熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则，解题技巧是将已知方程变形，巧用整体代入思想可快速求值．
19．（10分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 80 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生1800人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）先求出调查的总人数，再根据各项目人数之和等于总人数可得重视的人数，据此可补全条形图；
（2）用该校学生总人数乘以“非常重视”人数所占的百分比即可得出答案；
（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解即可得出结果．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数有：16÷20%＝80（人）；
重视的人数有：80﹣4﹣36﹣16＝24（人），
故答案为：80；
补图如图：
（2）根据题意得：1800×＝90（人），
答：该校对视力保护“非常重视”的学生人有90人；
（3）画树状图如下：
共有12种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，则P（恰好抽到一男一女）＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
20．（5分）如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；
（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，
∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4，
由勾股定理得，AO＝＝＝3，
∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝BD•AC＝×24×6＝72．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
21．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长．
【分析】（1）由DB平分∠ADC得到∠ADB＝∠CDB，则可判断△ABD∽△BCD，利用相似比可得到结论；
（2）先证明∠MBD＝∠MDB得到MB＝MD，再证明∠A＝∠ABM得到MA＝MB，则MA＝MB＝MD＝AD＝4，接着利用BD2＝AD•CD得到BD2＝48，再利用勾股定理计算出BC2＝12，然后在Rt△BCM中利用勾股定理计算出MC的长．
【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD：CD＝AD：BD，
∴BD2＝AD•CD；
（2）解：∵BM∥CD，
∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC，
而∠MDB＝∠CDB，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴MB＝MD，
∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°，
∴∠A＝∠ABM，
∴MA＝MB，
∴MA＝MB＝MD＝AD＝4，
∵BD2＝AD•CD，CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝8×6＝48，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2﹣CD2＝48﹣62＝12，
在Rt△BCM中，MC＝＝＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了勾股定理．
22．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？
【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种书包m个，则购进B种书包（2m+5）个，根据购进A种书包不少于18个且购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案；
（3）设该商场销售A，B两种书包获利w元，根据总利润＝销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质可得出w取得最大值时的进货方案，设赠送的书包中A种书包有a个，销售的A种书包中有b个样品，则赠送的书包中B种书包有（5﹣a）个，销售的B种书包中有（4﹣b）个样品，根据销售完商场仍获利1370元，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a为非负整数，b为正整数且4﹣b不为零，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝90．
答：每个A种书包的进价为70元，每个B种书包的进价为90元．
（2）设购进A种书包m个，则购进B种书包（2m+5）个，
依题意得：，
解得：18≤m≤20．
又∵m为整数，
∴m可以为18，19，20，
∴该商场有3种进货方案，
方案1：购进18个A种书包，41个B种书包；
方案2：购进19个A种书包，43个B种书包；
方案3：购进20个A种书包，45个B种书包．
（3）设该商场销售A，B两种书包获利w元，则w＝（90﹣70）m+（130﹣90）（2m+5）＝100m+200，
∵100＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝20时，w取得最大值，即购进20个A种书包，45个B种书包．
设赠送的书包中A种书包有a个，销售的A种书包中有b个样品，则赠送的书包中B种书包有（5﹣a）个，销售的B种书包中有（4﹣b）个样品，
依题意得：90（20﹣a﹣b）+90×0.5b+130[45﹣（5﹣a）﹣（4﹣b）]+130×0.5（4﹣b）﹣70×20﹣90×45＝1370，
整理得：2a+b＝4．
又∵a为非负整数，b为正整数，
∴当a＝0时，b＝4，此时4﹣b＝0不合题意，舍去；当a＝1，b＝2．
∴5﹣a＝4，4﹣b＝2，
∴赠送的书包中A种书包有1个，B种书包有4个，样品中A种书包有2个，B种书包有2个．
【点评】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23．（12分）发现规律
（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．求∠BFC的度数．
（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．
应用结论
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．
【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE，由三角形内角和定理可求解；
（2）通过证明△ABC∽△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，，可证△ABD∽△ACE，可得∠ABD＝∠ACE，由外角性质可得∠BFC＝∠BAC，由三角形内角和定理可求解；
（3）由旋转的性质可得△MNK是等边三角形，可得MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°，如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，可得∠OMQ＝60°，OK＝NQ，MO＝MQ，则当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当QN⊥y轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图①，
∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠FBC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACE+∠FBC＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠ACE﹣∠ACB＝60°；
（2）如图②，
∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BHC＝∠ABD+∠BAC＝∠BFC+∠ACE，
∴∠BFC＝∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BFC+α+β＝180°，
∴∠BFC＝180°﹣α﹣β；
（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，
∴MN＝MK，∠NMK＝60°，
∴△MNK是等边三角形，
∴MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°，
如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，
∴△MOK≌△MQN，∠OMQ＝60°，
∴OK＝NQ，MO＝MQ，
∴△MOQ是等边三角形，
∴∠QOM＝60°，
∴∠NOQ＝30°，
∵OK＝NQ，
∴当NQ为最小值时，OK有最小值，
由垂线段最短可得：当QN⊥y轴时，NQ有最小值，
此时，QN⊥y轴，∠NOQ＝30°，
∴NQ＝OQ＝，
∴线段OK长度的最小值为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
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