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山东省烟台市栖霞市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(word版含答案)
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这是一份山东省烟台市栖霞市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(word版含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省烟台市栖霞市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有无数条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．两点之间，垂线最短
D．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．同位角相等
3．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤3 C．﹣1≤x＜3 D．﹣1＜x≤3
4．（3分）如图，已知AO平分∠DAE，AD＝AE，AB＝AC，图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（3分）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
7．（3分）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（ ）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
10．（3分）对于实数x，y：规定一种运算；x△y＝ax+by（a，b是常数），已知2△3＝12，5△（﹣3）＝9，则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝ D．a＝2，b＝
11．（3分）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°
二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果.）
13．（3分）从下列各数：3.141592，，，，0.5，0，0.1313313331……．（两个1之间依次多一个3）中，随机取一个数是无理数的概率是 ．
14．（3分）如果关于x、y的二元一次方程组，则2y﹣2x＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，AC＝4，则△ADC的面积为 ．
16．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0），B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为 ．
17．（3分）已知△ABC，∠A＝80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分外角∠BCF，则∠G＝ ．
18．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞4，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分.要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）已知正数a的两个平方根x、y为方程4x﹣3y＝28的一组解，求a的值．
20．（10分）有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．
（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？
（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？
21．（10分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
22．（10分）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个角三等分．如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，并作BC的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，并且∠BAE＝∠BEA，∠EBF＝∠EFB，请你证明∠FAN＝∠MAN．
23．（10分）如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，求△DAB的面积．
24．（10分）绿水青山都是金山银山，3月12日，某校八年级一班全体学生在邓老师的带领下一起种许愿树和发财树，已知购买1棵许愿树和2棵发财树需要42元，购买2棵许愿树和1棵发财树需要48元．
（1）你来算一算许愿树、发财树每棵各多少钱？
（2）邓老师指示：全班种植许愿树和发财树共20棵，且许愿树的数量不少于发财树的数量，但由于班费资金紧张，还要求两种树的总成本不得高于312元，聪明的同学，你知道共有哪几种种植方案吗？
25．（10分）问题背景：如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE＝ + ．
拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），请直接写出B点的坐标．
2021-2022学年山东省烟台市栖霞市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有无数条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．两点之间，垂线最短
D．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段
【分析】根据平行线的性质与判定，线段的性质，同位角，内错角，同旁内角，平行线，逐项判定可求解．
【解答】解：有无数条直线与已知直线平行，故A选项符合题意；
只有在两条被截直线平行的时候，所形成的同位角相等，故B选项不符合题意；
两点之间，线段最短，故C选项不符合题意；
在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，线段的性质，同位角，内错角，同旁内角，平行线，掌握相关内容是解题的关键．
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．同位角相等
【分析】根据事件发生的可能性大小判断，得到答案．
【解答】解：A、打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》，是随机事件；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
D、同位角相等，是随机事件；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤3 C．﹣1≤x＜3 D．﹣1＜x≤3
【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：由数轴知，此不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）如图，已知AO平分∠DAE，AD＝AE，AB＝AC，图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．
【解答】解：∵AO平分∠DAE，
∴∠1＝∠2，
在△AOD和△AOE中，
，
∴△AOD≌△AOE（SAS），
∴∠D＝∠E，OD＝OE；
在△AOC和△AOB中，
，
△AOC≌△AOB（SAS）；
在△COD和△BOE中，
，
∴△COD≌△BOE（ASA）；
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）；
由上可得，图中全等三角形有4对，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
5．（3分）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出a﹣1的符号，再求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于a的不等式是解题关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故选：B．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
7．（3分）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．
【解答】解：一共是60秒，绿的是25秒，所以绿灯的概率是＝，
故选：D．
【点评】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
9．（3分）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（ ）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选：C．
【点评】本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格．
10．（3分）对于实数x，y：规定一种运算；x△y＝ax+by（a，b是常数），已知2△3＝12，5△（﹣3）＝9，则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝ D．a＝2，b＝
【分析】将2△3＝12，5△（﹣3）＝9代入定义计算法则，得到关于a，b的二元一次方程组，再进行计算即可．
【解答】解：由题意得方程组，
解得，，
故选：A．
【点评】此题考查了新定义问题的解决能力，关键是能根据定义进行实数的运算与解二元一次方程组．
11．（3分）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据全等三角形的判定分别求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可．
【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，
共3+0+1＝4个，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．
12．（3分）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°
【分析】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB＝∠DBA＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝40°，则
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB＝100°；当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝60°，根据等边三角形的性质易得∠C′AB＝60°．
【解答】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣∠ADB）＝×（180°﹣80°）＝50°，
当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝50°﹣10°＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝50°+10°＝60°，
∵CA＝CB，
∴∠C′AB＝60°，
综上所述，∠ACB的度数为60°或100°．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果.）
13．（3分）从下列各数：3.141592，，，，0.5，0，0.1313313331……．（两个1之间依次多一个3）中，随机取一个数是无理数的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：在所列的7个数中，无理数有，0.1313313331……．（两个1之间依次多一个3）这2个，
∴这7个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．（3分）如果关于x、y的二元一次方程组，则2y﹣2x＝ 12 ．
【分析】将已知方程组中的两个方程作差，可得x﹣y＝﹣6，再将其整体代入所求代数式即可求解．
【解答】解：，
②﹣①得x﹣y＝﹣6，
∴2y﹣2x＝﹣2（x﹣y）＝﹣2×（﹣6）＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查二元一次方程的解，观察所求代数式，灵活变形二元一次方程，采用整体思想代入求值是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，AC＝4，则△ADC的面积为 2 ．
【分析】过D点作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DE＝3，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝1，
∴△ADC的面积＝×4×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0），B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为 ﹣0.5＜x＜2 ．
【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），
∵（kx+b）（mx+n）＞0，
∴两个正数或两个负数的积为正数，
∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为﹣0.5＜x＜2，
故答案为：﹣0.5＜x＜2．
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
17．（3分）已知△ABC，∠A＝80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分外角∠BCF，则∠G＝ 115° ．
【分析】由三角形外角的性质即三角形的内角和定理可求解∠DBC+∠ECB＝260°，再利用角平分线的定义可求解∠FBC+∠FCB＝130°，即可得∠GBC+∠GCB＝65°，再利用三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∵∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°＝80°+180°＝260°，
∵BF平分外角∠DBC，CF平分外角∠ECB，
∴∠FBC＝∠DBC，∠FCB＝∠ECB，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝130°，
∵BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，
∴∠GBC＝∠FBC，∠GCB＝∠FCB，
∴∠GBC+∠GCB＝（∠FBC+∠FCB）＝65°，
∴∠G＝180°﹣（∠GBC﹣∠GCB）＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，求解∠FBC+∠FCB＝130°是解题的关键．
18．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞4，则m的取值范围是 m≤4 ．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式x+6＜3x﹣2，得：x＞4，
又x＞m且不等式组的解集为x＞4，
∴m≤4，
故答案为：m≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分.要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）已知正数a的两个平方根x、y为方程4x﹣3y＝28的一组解，求a的值．
【分析】根据平方根的性质、二元一次方程的解的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，x+y＝0，4x﹣3y＝28．
∴﹣y＝x．
∴4x+3x＝28．
∴x＝4．
∴a＝16．
【点评】本题主要考查平方根、二元一次方程的解，熟练掌握平方根的性质、二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
20．（10分）有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．
（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？
（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出小明获胜的概率和小颖获胜的概率；
（2）根据题意和题目中的数据，可以分别计算出小明获胜的概率和小颖获胜的概率．
【解答】解：（1）若小明获胜，则小颖需要抽到1或2或3，故小明获胜的概率是＝＝，
若小颖获胜，则小颖需要抽到5或6或7，故小颖获胜的概率是＝＝；
（2）∵小明已经抽到数字6，
∴若小明获胜，则小颖需要抽到1或2或3或4或5，故小明获胜的概率为：＝，
若小颖获胜，则小颖需要抽到7，故小颖获胜的概率为＝，
即小明、小颖获胜的概率分别是，．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
21．（10分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
由+1≥，得：x≥0，
则不等式组的解集为0≤x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．（10分）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个角三等分．如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，并作BC的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，并且∠BAE＝∠BEA，∠EBF＝∠EFB，请你证明∠FAN＝∠MAN．
【分析】根据作图过程即可完成证明．
【解答】证明：∵BC⊥AN，BC⊥BF，
∴∠ACB＝∠CBF＝90°，
∴BF∥AN，
∴∠FAN＝∠F，
∵∠EBF＝∠F，
∴∠FAN＝∠EBF，
∴∠AEB＝∠EBF+∠F＝2∠FAN，
∵∠BAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝2∠FAN，
∴∠MAN＝∠BAE+∠FAN
＝2∠FAN+∠FAN
3∠FAN，
∴∠FAN＝MAN．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，垂线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
23．（10分）如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，求△DAB的面积．
【分析】延长CD交AB于E，如图，由作法得∠EAD＝∠CAD，再证明∠ACD＝∠AED得到AC＝AE，则根据等腰三角形的性质得到CD＝ED，接着根据三角形面积公式得到S△ADE＝S△ADC，S△BDE＝S△BDC，从而得到S△DAB＝S△ABC．
【解答】解：延长CD交AB于E，如图，
由作法得AP平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
∴∠ACD＝∠AED，
∴AC＝AE，
而AD⊥CE，
∴CD＝ED，
∴S△ADE＝S△ADC，S△BDE＝S△BDC，
∴S△DAB＝S△ABC＝×18＝9（cm2）．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
24．（10分）绿水青山都是金山银山，3月12日，某校八年级一班全体学生在邓老师的带领下一起种许愿树和发财树，已知购买1棵许愿树和2棵发财树需要42元，购买2棵许愿树和1棵发财树需要48元．
（1）你来算一算许愿树、发财树每棵各多少钱？
（2）邓老师指示：全班种植许愿树和发财树共20棵，且许愿树的数量不少于发财树的数量，但由于班费资金紧张，还要求两种树的总成本不得高于312元，聪明的同学，你知道共有哪几种种植方案吗？
【分析】（1）设许愿树每棵x元，发财树每棵y元，根据“购买1棵许愿树和2棵发财树需要42元，购买2棵许愿树和1棵发财树需要48元”列出方程组并解答；
（2）设许愿树为a棵，则发财树为（20﹣a）棵，根据“两种树的总成本不得高于312元且许愿树的数量不少于发财树的数量”列出不等式组并求得a的取值范围，进行解答．
【解答】解：（1）设许愿树每棵x元，发财树每棵y元，根据题意可得：
，
解得：．
答：许愿树每棵18元，发财树每棵12元；
（2）设许愿树为a棵，则发财树为（20﹣a）棵，根据题意可得：
，
解得：10≤a≤12，
∴a＝10，11，12；
所以有三种方案，
方案一：10棵许愿树、10棵发财树；
方案二：11棵许愿树、9棵发财树；
方案三：12棵许愿树、8棵发财树．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用，根据已知得出不等式组，求出a的值是解题关键．
25．（10分）问题背景：如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE＝ BD + CE ．
拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），请直接写出B点的坐标．
【分析】问题背景：证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形解答即可；
拓展延伸：根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形解答即可；
实际应用：根据△AEC≌△CFB，得到CF＝AE＝3，BF＝CE＝OE﹣OC＝4，根据坐标与图形性质解答．
【解答】解：问题背景：DE＝BD+CE，
证明：∵BD⊥AD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：BD，CE；
拓展延伸：DE＝BD+CE，
证明：在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，
∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠BDA＝∠AEC，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
实际应用：如图③，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），
∴AE＝3，OE＝6，OC＝2，
由（1）可知，△AEC≌△CFB，
∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝OE﹣OC＝4，
∴OF＝CF﹣OC＝1，
∴点B的坐标为（1，4）．
【点评】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2021-2022学年山东省烟台市栖霞市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有无数条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．两点之间，垂线最短
D．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．同位角相等
3．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤3 C．﹣1≤x＜3 D．﹣1＜x≤3
4．（3分）如图，已知AO平分∠DAE，AD＝AE，AB＝AC，图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（3分）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
7．（3分）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（ ）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
10．（3分）对于实数x，y：规定一种运算；x△y＝ax+by（a，b是常数），已知2△3＝12，5△（﹣3）＝9，则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝ D．a＝2，b＝
11．（3分）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°
二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果.）
13．（3分）从下列各数：3.141592，，，，0.5，0，0.1313313331……．（两个1之间依次多一个3）中，随机取一个数是无理数的概率是 ．
14．（3分）如果关于x、y的二元一次方程组，则2y﹣2x＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，AC＝4，则△ADC的面积为 ．
16．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0），B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为 ．
17．（3分）已知△ABC，∠A＝80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分外角∠BCF，则∠G＝ ．
18．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞4，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分.要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）已知正数a的两个平方根x、y为方程4x﹣3y＝28的一组解，求a的值．
20．（10分）有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．
（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？
（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？
21．（10分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
22．（10分）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个角三等分．如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，并作BC的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，并且∠BAE＝∠BEA，∠EBF＝∠EFB，请你证明∠FAN＝∠MAN．
23．（10分）如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，求△DAB的面积．
24．（10分）绿水青山都是金山银山，3月12日，某校八年级一班全体学生在邓老师的带领下一起种许愿树和发财树，已知购买1棵许愿树和2棵发财树需要42元，购买2棵许愿树和1棵发财树需要48元．
（1）你来算一算许愿树、发财树每棵各多少钱？
（2）邓老师指示：全班种植许愿树和发财树共20棵，且许愿树的数量不少于发财树的数量，但由于班费资金紧张，还要求两种树的总成本不得高于312元，聪明的同学，你知道共有哪几种种植方案吗？
25．（10分）问题背景：如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE＝ + ．
拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），请直接写出B点的坐标．
2021-2022学年山东省烟台市栖霞市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有无数条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．两点之间，垂线最短
D．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段
【分析】根据平行线的性质与判定，线段的性质，同位角，内错角，同旁内角，平行线，逐项判定可求解．
【解答】解：有无数条直线与已知直线平行，故A选项符合题意；
只有在两条被截直线平行的时候，所形成的同位角相等，故B选项不符合题意；
两点之间，线段最短，故C选项不符合题意；
在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，线段的性质，同位角，内错角，同旁内角，平行线，掌握相关内容是解题的关键．
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．同位角相等
【分析】根据事件发生的可能性大小判断，得到答案．
【解答】解：A、打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》，是随机事件；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
D、同位角相等，是随机事件；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤3 C．﹣1≤x＜3 D．﹣1＜x≤3
【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：由数轴知，此不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）如图，已知AO平分∠DAE，AD＝AE，AB＝AC，图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．
【解答】解：∵AO平分∠DAE，
∴∠1＝∠2，
在△AOD和△AOE中，
，
∴△AOD≌△AOE（SAS），
∴∠D＝∠E，OD＝OE；
在△AOC和△AOB中，
，
△AOC≌△AOB（SAS）；
在△COD和△BOE中，
，
∴△COD≌△BOE（ASA）；
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）；
由上可得，图中全等三角形有4对，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
5．（3分）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出a﹣1的符号，再求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于a的不等式是解题关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故选：B．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
7．（3分）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．
【解答】解：一共是60秒，绿的是25秒，所以绿灯的概率是＝，
故选：D．
【点评】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
9．（3分）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（ ）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选：C．
【点评】本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格．
10．（3分）对于实数x，y：规定一种运算；x△y＝ax+by（a，b是常数），已知2△3＝12，5△（﹣3）＝9，则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝ D．a＝2，b＝
【分析】将2△3＝12，5△（﹣3）＝9代入定义计算法则，得到关于a，b的二元一次方程组，再进行计算即可．
【解答】解：由题意得方程组，
解得，，
故选：A．
【点评】此题考查了新定义问题的解决能力，关键是能根据定义进行实数的运算与解二元一次方程组．
11．（3分）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据全等三角形的判定分别求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可．
【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，
共3+0+1＝4个，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．
12．（3分）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°
【分析】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB＝∠DBA＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝40°，则
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB＝100°；当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝60°，根据等边三角形的性质易得∠C′AB＝60°．
【解答】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣∠ADB）＝×（180°﹣80°）＝50°，
当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝50°﹣10°＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝50°+10°＝60°，
∵CA＝CB，
∴∠C′AB＝60°，
综上所述，∠ACB的度数为60°或100°．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果.）
13．（3分）从下列各数：3.141592，，，，0.5，0，0.1313313331……．（两个1之间依次多一个3）中，随机取一个数是无理数的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：在所列的7个数中，无理数有，0.1313313331……．（两个1之间依次多一个3）这2个，
∴这7个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．（3分）如果关于x、y的二元一次方程组，则2y﹣2x＝ 12 ．
【分析】将已知方程组中的两个方程作差，可得x﹣y＝﹣6，再将其整体代入所求代数式即可求解．
【解答】解：，
②﹣①得x﹣y＝﹣6，
∴2y﹣2x＝﹣2（x﹣y）＝﹣2×（﹣6）＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查二元一次方程的解，观察所求代数式，灵活变形二元一次方程，采用整体思想代入求值是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，AC＝4，则△ADC的面积为 2 ．
【分析】过D点作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DE＝3，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝1，
∴△ADC的面积＝×4×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0），B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为 ﹣0.5＜x＜2 ．
【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），
∵（kx+b）（mx+n）＞0，
∴两个正数或两个负数的积为正数，
∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为﹣0.5＜x＜2，
故答案为：﹣0.5＜x＜2．
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
17．（3分）已知△ABC，∠A＝80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分外角∠BCF，则∠G＝ 115° ．
【分析】由三角形外角的性质即三角形的内角和定理可求解∠DBC+∠ECB＝260°，再利用角平分线的定义可求解∠FBC+∠FCB＝130°，即可得∠GBC+∠GCB＝65°，再利用三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∵∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°＝80°+180°＝260°，
∵BF平分外角∠DBC，CF平分外角∠ECB，
∴∠FBC＝∠DBC，∠FCB＝∠ECB，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝130°，
∵BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，
∴∠GBC＝∠FBC，∠GCB＝∠FCB，
∴∠GBC+∠GCB＝（∠FBC+∠FCB）＝65°，
∴∠G＝180°﹣（∠GBC﹣∠GCB）＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，求解∠FBC+∠FCB＝130°是解题的关键．
18．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞4，则m的取值范围是 m≤4 ．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式x+6＜3x﹣2，得：x＞4，
又x＞m且不等式组的解集为x＞4，
∴m≤4，
故答案为：m≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分.要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）已知正数a的两个平方根x、y为方程4x﹣3y＝28的一组解，求a的值．
【分析】根据平方根的性质、二元一次方程的解的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，x+y＝0，4x﹣3y＝28．
∴﹣y＝x．
∴4x+3x＝28．
∴x＝4．
∴a＝16．
【点评】本题主要考查平方根、二元一次方程的解，熟练掌握平方根的性质、二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
20．（10分）有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．
（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？
（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出小明获胜的概率和小颖获胜的概率；
（2）根据题意和题目中的数据，可以分别计算出小明获胜的概率和小颖获胜的概率．
【解答】解：（1）若小明获胜，则小颖需要抽到1或2或3，故小明获胜的概率是＝＝，
若小颖获胜，则小颖需要抽到5或6或7，故小颖获胜的概率是＝＝；
（2）∵小明已经抽到数字6，
∴若小明获胜，则小颖需要抽到1或2或3或4或5，故小明获胜的概率为：＝，
若小颖获胜，则小颖需要抽到7，故小颖获胜的概率为＝，
即小明、小颖获胜的概率分别是，．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
21．（10分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
由+1≥，得：x≥0，
则不等式组的解集为0≤x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．（10分）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个角三等分．如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，并作BC的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，并且∠BAE＝∠BEA，∠EBF＝∠EFB，请你证明∠FAN＝∠MAN．
【分析】根据作图过程即可完成证明．
【解答】证明：∵BC⊥AN，BC⊥BF，
∴∠ACB＝∠CBF＝90°，
∴BF∥AN，
∴∠FAN＝∠F，
∵∠EBF＝∠F，
∴∠FAN＝∠EBF，
∴∠AEB＝∠EBF+∠F＝2∠FAN，
∵∠BAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝2∠FAN，
∴∠MAN＝∠BAE+∠FAN
＝2∠FAN+∠FAN
3∠FAN，
∴∠FAN＝MAN．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，垂线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
23．（10分）如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，求△DAB的面积．
【分析】延长CD交AB于E，如图，由作法得∠EAD＝∠CAD，再证明∠ACD＝∠AED得到AC＝AE，则根据等腰三角形的性质得到CD＝ED，接着根据三角形面积公式得到S△ADE＝S△ADC，S△BDE＝S△BDC，从而得到S△DAB＝S△ABC．
【解答】解：延长CD交AB于E，如图，
由作法得AP平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
∴∠ACD＝∠AED，
∴AC＝AE，
而AD⊥CE，
∴CD＝ED，
∴S△ADE＝S△ADC，S△BDE＝S△BDC，
∴S△DAB＝S△ABC＝×18＝9（cm2）．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
24．（10分）绿水青山都是金山银山，3月12日，某校八年级一班全体学生在邓老师的带领下一起种许愿树和发财树，已知购买1棵许愿树和2棵发财树需要42元，购买2棵许愿树和1棵发财树需要48元．
（1）你来算一算许愿树、发财树每棵各多少钱？
（2）邓老师指示：全班种植许愿树和发财树共20棵，且许愿树的数量不少于发财树的数量，但由于班费资金紧张，还要求两种树的总成本不得高于312元，聪明的同学，你知道共有哪几种种植方案吗？
【分析】（1）设许愿树每棵x元，发财树每棵y元，根据“购买1棵许愿树和2棵发财树需要42元，购买2棵许愿树和1棵发财树需要48元”列出方程组并解答；
（2）设许愿树为a棵，则发财树为（20﹣a）棵，根据“两种树的总成本不得高于312元且许愿树的数量不少于发财树的数量”列出不等式组并求得a的取值范围，进行解答．
【解答】解：（1）设许愿树每棵x元，发财树每棵y元，根据题意可得：
，
解得：．
答：许愿树每棵18元，发财树每棵12元；
（2）设许愿树为a棵，则发财树为（20﹣a）棵，根据题意可得：
，
解得：10≤a≤12，
∴a＝10，11，12；
所以有三种方案，
方案一：10棵许愿树、10棵发财树；
方案二：11棵许愿树、9棵发财树；
方案三：12棵许愿树、8棵发财树．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用，根据已知得出不等式组，求出a的值是解题关键．
25．（10分）问题背景：如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE＝ BD + CE ．
拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），请直接写出B点的坐标．
【分析】问题背景：证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形解答即可；
拓展延伸：根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形解答即可；
实际应用：根据△AEC≌△CFB，得到CF＝AE＝3，BF＝CE＝OE﹣OC＝4，根据坐标与图形性质解答．
【解答】解：问题背景：DE＝BD+CE，
证明：∵BD⊥AD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：BD，CE；
拓展延伸：DE＝BD+CE，
证明：在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，
∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠BDA＝∠AEC，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
实际应用：如图③，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），
∴AE＝3，OE＝6，OC＝2，
由（1）可知，△AEC≌△CFB，
∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝OE﹣OC＝4，
∴OF＝CF﹣OC＝1，
∴点B的坐标为（1，4）．
【点评】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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