2021-2022学年山东省烟台市芝罘区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省烟台市芝罘区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列是二元一次方程组的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 若，下列不等式一定不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列命题是真命题的是(    )

A. 三角形的一个外角大于任何一个内角
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 等腰三角形一边上的高与这条边上的中线、角平分线重合
D. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等

4. 在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 如图，已知，下列所给条件不能证明≌的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 将飞镖随意投掷在如图所示的靶子上，飞镖落在阴影部分的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，某海域中有，，三个小岛．其中在的南偏西方向，在的南偏东方向，且，到的距离相等，则小岛相对于小岛的方向是(    )

A. 北偏东 B. 北偏西 C. 南偏西 D. 南偏西

9. 中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，几条线段首尾顺次连接，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 两块平面镜和如图放置，从点处向平面镜射出一束平行于的光线，经过两次反射后入射光线与平面镜的夹角始终与反射光线与平面镜的夹角相等，光线与平面镜垂直，则两平面镜的夹角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

13. 已知是关于、的二元一次方程的解，则的值为______．
14. 如图，直线，，则的度数是______．

15. 关于，的二元一次方程组的解满足，则的值是______ ．
16. 小明在自家的院子里种下一棵小树苗，随着一天天过去，小树苗也一天天长高．小明详细记录了小树苗的生长过程，发现小树苗的高度与时间之间的关系如图所示，则小树苗栽下个月时的高度是______．

17. 如图，，一块含的直角三角板的顶点在直线上，边与相交于点若，则的度数是______．

18. 如图，直线与相交于点，则关于的不等式组的解集为______．

19. 如图，在中，，，垂直平分交于，若，则______．

20. 若关于的一元一次不等式有且只有一个正整数解，则的取值范围为______．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

21. 解方程组：；
    解不等式组：．
22. 如图，中，，，分别是，的中点，，交于点．
    求证：．

23. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个．小亮做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：

请估计：当的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近______；精确到
假如你摸球一次，摸到白球的概率摸到白球______，摸到黑球的概率摸到黑球______；
请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？

24. 如图，中，，现要过的某一顶点将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形．
    请用尺规作图的方法画出这条分割线保留痕迹，不写作法，并指出分割线；
    若，，求分割出的等腰三角形的面积．

25. 某学生用品商店购进一批，两种型号的计算器进行销售，其进价与标价如表：

该商店购进了型和型计算器共个，若型计算器按标价进行销售，而型计算器打九折销售，则销售完这批计算器后可获利元，求该商店购进的，两种型号的计算器数量分别为多少？列方程组解答
由于新学年开学前热销，很快将两种计算器销售完．该商店计划再次购进这两种计算器个，在不打折的情况下，请问如何进货，使这批计算器销售完时获利最多且不超过进货价的？

26. 如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，与正比例函数交于点，．
    求一次函数的表达式；
    求的面积；
    在线段上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

27. 如图，和是等边三角形，点，分别在，上，且，连接与交于点，连接．
    求证：
    ；
    平分．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、为二次，不满足二元一次方程组的定义，故此选项不符合题意；
B、不是整式，不满足二元一次方程组的定义，故此选项不符合题意；
C、有三个未知数，不满足二元一次方程组的定义，故此选项不符合题意；
D、满足二元一次方程组的定义，故此选项符合题意．
故选：．
首先明确二元一次方程组中含有两个未知数，含未知数的项的次数都是一次，且方程组中的两个方程都是整式方程；根据二元一次方程组的定义，对照四个选项，选出符合条件的即可．
本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，原变形正确，故本选项不符合题意；
B.，
，原变形正确，故本选项不符合题意；
C.，
，原变形错误，故本选项符合题意；
D.，
，原变形正确，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故A是假命题，不符合题意；
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B是假命题，不符合题意；
等腰三角形底边上的高与底边上的中线、顶角的角平分线重合，故C是假命题，不符合题意；
角平分线上的点到这个角两边的距离相等，是真命题，符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理的推论，平行线性质，等腰三角形性质，角平分线性质逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：共摸了次，其中次摸到黑球，
有次摸到白球，
摸到黑球与摸到白球的次数之比为：，
口袋中黑球和白球个数之比为：，
个．
故选：．
根据共摸球次，其中次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为：，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为：；即可计算出白球数．
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：、添加可利用判定≌，故此选项不合题意；
B、添加可利用定理判定≌，故此选项不合题意；
C、添加可利用定理判定≌，故此选项不合题意；
D、添加不能判定≌，故此选项符合题意．
故选：．
根据题目所给条件，再加上公共边，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

6.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：；
解不等式得：．
则不等式组的解集是：

故选：．
首先解不等式组中的每个不等式，然后再数轴上表示即可．
把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

7.【答案】 

【解析】解：圆形靶子被分成个面积相等的区域，其中阴影部分区域为个，
故飞镖落在阴影部分的概率是．
故选：．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，由题意得，，，
，
，
，
，
，
，
，
小岛在小岛的北偏东，
故选：．
根据方向角的定义以及等腰三角形的性质进行计算即可．
本题考查方向角，理解方向角的定义，掌握平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：马四匹、牛六头，共价四十八两，
；
马三匹、牛五头，共价三十八两，
．
可列方程组为．
故选：．
利用总价单价数量，结合“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
不是的垂直平分线，故不能证明，
综上所述：，，不符合题意，符合题意，
故选：．
由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断，根据角平分线的性质可判断，证得≌可判定，由于不是的垂直平分线，不能证明．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图可知，，
又，
，
又，
，
又，
．
故选：．
首先求出，然后证明出，最后结合求出的度数．
本题主要考查了三角形内角的外角，解答本题的关键是求出，此题难度不大．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，
，
，
由题意得：
，
是的一个外角，
，
由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
设，根据平行线的性质可得，根据题意可得，，再利用三角形的外角可得，然后利用垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得
，
解得．
故答案为：．
把方程的解代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，解方程可得答案．
本题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入方程，关于和的方程转变成是关于的一元一次方程，求解即可．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，
，
故答案为：．
先利用平行线的性质可得，再利用平角定义，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
由得，
，
，
，
解得．
故答案为：．
将两式作差，得到，然后得到求解．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是利用整体思想求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：

，
即小树苗栽下个月时的高度是．
故答案为：．
根据题意可得小树苗平均每月增高，进而得出小树苗栽下个月时的高度．
本题考查了函数的图象，仔细观察图象，得出小树苗平均每月增高是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，
，是的外角，
，
，
．
故答案为：．
由题意可得，由三角形的外角性质可求得，再结合平行线的性质可得．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

18.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过点，
，解得，
，
将代入，得，
解得，
解得．
故答案为：．
先将点代入，求出的值，再将点坐标代入，求出，进而解不等式组即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出的值，是解答本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
，
，
．
故答案为．
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，再根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得
本题考查的是直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
一元一次不等式有且只有一个正整数解，
，
，
，
故答案为：．
先解一元一次不等式可得，然后根据题意可得，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：原方程组整理得：
，
得：
，
得：
，
解得，，
把代入中得：
，
解得：，
原方程组的解为：；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】先将原方程组进行化简整理，然后再利用加减消元法，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
、分别是、的中点，
，，
，
又，
≌，
，
． 

【解析】由等腰三角形的性质得，再由“”可证≌，得，进而可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明≌是本题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：当的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近，
故答案为：；
根据频率估计概率可得，摸到白球的概率摸到白球，摸到黑球的概率摸到黑球，
故答案为：，；
黑球：个，
白球：个．
黑球有个，白球有个．
根据次数很大时，频率会趋于稳定可得答案；
利用次数很大时，频率估计概率可得答案；
黑球个数球的总数得到黑球的概率．
本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握大量反复实验下频率稳定值即概率是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，即是分割线．

解：由题意，的垂直平分线交于点，
，
设，则，，
在中，，
，
即，，解得，，
，
等腰的面积． 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，连接，线段即为所求；
设，则，，利用勾股定理求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：设该商店购进型计算器个，型计算器个，
根据题意，得，
解得，
答：该商店购进，两种型号的计算器数量分别为个和个；
设该商店再次购进型计算器个，则购进型计算器个，这批计算器的总利润为元，
，
，
解得，
，
随的增大而增大，
时，最大，此时购进型计算器个，
答：该商场再次购进型计算器个，型计算器个，获利最多且不超过进货价的． 

【解析】设该商场购进型计算器个，型计算器个，利用该商场购进这两种计算器共个和销售完这批计算器后可以获利元列方程组，然后解方程组即可；
设该商场购进型计算器个，这批计算器的总利润为元，则购进型计算器个，利用利润的意义得到，再根据销售完这批计算器时获利最多且不超过进货价的可确定的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
本题考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据题意得出有关等量关系是解决问题的关键．
 

26.【答案】解：，
点的坐标为，
将代入，
，
点坐标为，
一次函数的图象过，，
，
解得，，，
一次函数的表达式为；
令，则，
点的坐标为，，
的面积；
存在，理由如下：
作的垂直平分线交轴于点，与直线的交点即为点，
，
即，
，
点的坐标为 

【解析】求出、点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可；
的面积；
作的垂直平分线交轴于点，与直线的交点即为点，再求点坐标即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
 

27.【答案】证明：和是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
；
作于点，，交的延长线于点，

，
和是等边三角形，
，，，
，，
，，
≌
，

，
在和中，
，
≌，
，
点在的平分线上，
即平分． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，由角平分线的判定定理可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．