2023-2024学年山东省烟台市芝罘区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省烟台市芝罘区七年级（上）期末数学试卷（五四学制），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列交通标志中，轴对称图形的个数为( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
2.根据下列表述，能确定一个点位置的是( )
A. 北偏东40∘B. 某地江滨路
C. 光明电影院6排D. 东经116∘，北纬42∘
3.81的算术平方根为( )
A. ±3B. 3C. ±9D. 9
4.若长度分别为x，2，5的三条线段能组成一个三角形，则x的值可能是( )
A. 1B. 2C. 5D. 7
5.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=50∘，CD平分∠ACB，则∠BDC的度数是( )
A. 80∘B. 90∘C. 100∘D. 110∘
6.用科学计算器进行计算，按键顺序依次为
，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是( )
A. 1.2B. 2.0C. 2.2D. 2.3
7.一次函数y=kx+5的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限-D. 第四象限
8.如图，AB=AD，∠B=∠DAE，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DAE的是( )
A. AC=DEB. BC=AE
C. ∠C=∠ED. ∠BAC=∠ADE
9.如图，△ABC中，∠C=90∘，将△ABC折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC、AB于点D、E.如果AC=5cm，△ADC的周长为17cm，那么AB的长为( )
A. 10cmB. 12cmC. 13cmD. 17cm
10.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，若CD=7，BE=4，则DE的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 7
11.如图在4×4的正方形网格中，三个阴影小正方形组成一个图案，在这个网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形，则符合条件的不同的画法有( )
A. 1种
B. 2种
C. 3种
D. 4种
12.如图，BD是△ABC的角平分线，且BD=BC.E是BD延长线上一点，BE=BA，连接AE、CE.以下结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BDC=180∘；③AE=CE；④若CE//AB，则∠AEC=120∘.其中正确的结论是( )
A. ①③
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
13.当a=______时，函数y=(a−2)xa2−3，是正比例函数.
14.已知2m−4和3m−1是实数x的两个平方根，则x的值是______.
15.中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱.如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0,−2)、“马”位于点(3,−2)，则“兵”位于点______.
16.已知P1(−2,m)、P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，则m与n的大小关系是______.
17.平面直角坐标系中，若一次函数y=kx+b的图象沿x轴向右平移3个单位后，所得到的图象表达式是y=2x+1，则函数y=kx+b的表达式为______.
18.如图，把一个等腰直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，A和B的坐标分别是(0,1)和(2,1)，点C在x轴正半轴上.∠BAC的平分线交x轴于点D，则点D的坐标是______.
19.如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=90∘，CD=3，BD=4，连接AD，则AD的长度是______.
20.如图，△ABC的面积是6，∠C=90∘，AB=5，D、E分别是BC、AB上的动点，连接AD、DE，则AD+DE的最小值是______.
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
(1)计算：(− 2)2+|1− 3|+(−13)−1；
(2)求x的值：3(2x+1)2=27.
22.(本小题6分)
如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度.
(1)在网格平面内，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为A(0,2)、B(1,0)，并直接写出点C的坐标是______；
(2)请找出格点P的位置(A除外)，使△PBC与△ABC全等，画出所有满足条件的△PBC.
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，BD与CE相交于点F.求证：EF=DF.
24.(本小题8分)
如图△ABC中，D是AC上一点，沿BD所在直线折叠△ABC，使点C落在边AB上的点E处，连接DE.
(1)请用尺规作图的方法作出线段BD和DE，保留作图痕迹，不写作法；
(2)若AD=5cm，DE=3cm，AE=4cm，求AB的长度.
25.(本小题8分)
一辆汽车从甲地开往乙地，在速度不变的情况下，汽车油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示.
(1)求出余油量Q(升)与行驶时间t(小时)之间的关系式；
(2)当这辆汽车到达乙地时，油箱中还剩余15升油，若汽车的速度是40千米/时，求甲、乙两地之间的路程.
26.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，直线y=−2x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y=kx−12过点A和点C(m,1).
(1)求k和m的值；
(2)判断直线AB和AC是否垂直？证明你的结论.
27.(本小题12分)
如图1，△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD，点D在AB上，连接AE，∠DCE的平分线交AD于点F.
(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ACB=90∘，求证：AF2+BD2=DF2；
(3)如图2，设∠ACB=120∘，BC=2，若EF⊥AB，求AF的长度.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【解答】
解：第1，2，4个是轴对称图形，符合题意。
故选：B.
2.【答案】D
【解析】解：根据题意可得，
北偏东40∘无法确定位置，故选项A错误；
某地江滨路无法确定位置，故选项B错误；
光明电影院6排无法确定位置，故选项C错误；
东经116∘，北纬42∘可以确定一点的位置，故选项D正确，
故选：D.
根据各个选项中的语句可以判断哪个选项是正确的，本题得以解决．
本题考查坐标位置的确定，解题的关键是明确题意，可以判断选项中的各个语句哪一个可以确定一点的位置．
3.【答案】D
【解析】解：∵92=81，
∴81的算术平方根为 81=9.
故选：D.
根据算术平方根的定义解答即可．
本题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
4.【答案】C
【解析】解：∵3∴a的可能取值是5，
故选：C.
根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，再结合选项即可求解．
本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠A=30∘，∠B=50∘，
∴∠ACB=180∘−30∘−50∘=100∘(三角形内角和定义).
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=12∠ACB=12×100∘=50∘，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=30∘+50∘=80∘.
故选：A.
根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
10−1
≈3.2−1
=2.2，
故选：C.
根据题目中的运算程序，可以计算出相应的结果．
本题考查计算器-基础知识，解答本题的关键是明确计算器的计算原理．
7.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=kx+5的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D.
先根据一次函数的性质和题意，可以得到k>0，然后即可写出该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8.【答案】A
【解析】解：A、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故A符合题意；
B、添加BC=AE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故B不符合题意；
C、添加∠C=∠E，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故C不符合题意；
D、添加∠BAC=∠ADE，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故D不符合题意．
故选：A.
本题要判定△ABC≌△DBE，依据AB=AD，∠B=∠DAE，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9.【答案】C
【解析】解：∵△ADC的周长为17cm，
∴AD+CD+AC=17cm，
∵AC=5cm，
∴AD+CD=17−AC=17−5=12(cm)，
由折叠得BD=AD，
∴BC=BD+CD=AD+CD=12cm，
∵∠C=90∘，
∴AB= AC2+BC2= 52+122=13(cm)，
故选：C.
由AD+CD+AC=17cm，且AC=5cm，求得AD+CD=12cm，由折叠得BD=AD，则BC=12cm，由∠C=90∘，根据勾股定理求得AB= AC2+BC2=13cm，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、勾股定理、三角形的周长等知识，证明BD=AD并求得BC=12cm是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=90∘，
∴∠BAE+∠CAE=90∘，
∵CD⊥AD，BE⊥AD，
∴∠ADC=∠E=90∘，
∴∠CAE+∠ACD=90∘，
∴∠BAE=∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
∠E=∠ADC∠BAE=∠ACDAB=AC，
∴△ABE≌△CAD(AAS)，
∴AE=CD=7，BE=AD=4，
∴DE=AE−AD=3，
故选：B.
利用AAS证明△ABE≌△CAD，根据全等三角形的性质得出AE=CD=7，BE=AD=4，再根据线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABE≌△CAD是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：根据轴对称图形可作如图所示：
共有4种画法，
故选：D.
利用轴对称的性质找到对称轴，再画上相关网格即可．
本题考查利用轴对称设计图案的知识，难度不大，注意掌握轴对称的概念是关键．
12.【答案】B
【解析】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
BD=BC∠ABD=∠CBDAB=EB，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，
故①符合题意；
②∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BDC=∠BDA+∠BDC=180∘，
故②符合题意；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
故③符合题意；
④∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE，∠ABE=∠CEB，
∵△ABD≌△EBC(SAS)，
∴∠BAC=∠BEC，
∴∠BAC=∠ABE=∠ACE=∠CEB，
∴∠BDC=∠CEB+∠ACE，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=∠CEB+∠ACE，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
设∠ABE=α，则∠CBE=∠BAC=∠BEC=∠ACE=α，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠BCA=180∘，
∴∠ABC+∠CBE+∠BAC+∠BEC+∠ACE=180∘，
∴5α=180∘，
∴α=36∘，
∴∠DAE=α=36∘，
∴∠AEC=180∘−∠DAE−∠ACE=180∘−36∘−36∘=108∘，
故④不符合题意，
故选：B.
利用角平分线的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质对选项逐一进行证明即可．
本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】−2
【解析】解：根据正比例函数的定义：a2−3=1且a−2≠0，
解得：a=−2.
故答案为：−2.
根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，即可列出有关a的方程，求出a值．
本题考查的是正比例函数的概念，根据正比例函数的概念是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：∵2m−4和3m−1是实数x的两个平方根，
∴2m−4+3m−1=0，
解得m=1，
∴2m−4=−2，3m−1=2，
∴x=(±2)2=4，
故答案为：4.
根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数即可求出m的值，从而求出x的值．
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
15.【答案】(−1,1)
【解析】解：∵“兵”在“帅”的左边1格上，
∴“兵”的横坐标为：0−1=−1；
∵“兵”在“帅”的上面3格上，
∴“兵”的纵坐标为：−2+3=1，
∴“兵”的坐标为：(−1,1)，
故答案为：(−1,1).
根据“兵”在“帅”相对的位置，来求出点的坐标即可．
本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据处于点的左边时，横坐标用减法求得；处于点的上面时，纵坐标用加法求得．
16.【答案】m>n
【解析】解：∵函数y=−2x+1，
∴该函数y随x的增大而减小，
∵P1(−2,m)、P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，−2<1，
∴m>n，
故答案为：m>n.
根据函数y=−2x+1和一次函数的性质，可知该函数y随x的增大而减小，再根据P1(−2,m)、P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，即可得到m和n的大小关系．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
17.【答案】y=2x+7
【解析】解：原函数y=kx+b可以看作函数y=2x+1向左平移3个单位得到的，即：y=2(x+3)+1，
整理得：y=2x+7，
故答案为：y=2x+7.
根据函数平移法则“左加右减”，原函数y=kx+b可以看作函数y=2x+1向左平移3个单位得到的即可．
本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”法则是关键．
18.【答案】( 2+1,0)
【解析】解：∵A和B的纵坐标都是1，
∴AB平行于x轴，
∴∠ACO=∠BAC=45∘，
∴∠CAO=45∘，
∴OC=OA=1.
在直角三角形AOC中，
AC= 12+12= 2，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=45∘÷2=22.5∘，
∴∠ADC=180∘−90∘−45∘−22.5∘=22.5∘，
∴CD=AC= 2.
则OD=OC+CD= 2+1，
即点D的坐标是( 2+1,0)，
故答案为：( 2+1,0).
根据已知条件和平面直角坐标，求出OC的长度；再根据勾股定理求出AC的长度；最后根据等腰三角形两腰相等求出CD的长度．则计算出OD的长度，即可表示出点D的坐标．
本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是根据图形的性质和坐标的特征来解答．
19.【答案】 58
【解析】解：过点C作CE⊥CD，使CE=CD，连接BE，过点E作EF⊥BD，交BD的延长线于点F，
∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACD=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
∴CD=3，BD=4，BC=5，
∴CD2+BD2=BC2，
∴∠BDC=90∘，
∴∠CDF=90∘，
∴四边形CEFD是矩形，
∵CE=CD，
∴四边形CEFD是正方形，
∴EF=DF=3，
∴BF=7，
∴BE= EF2+FB2= 32+72= 58，
∴AD= 58.
故答案为： 58.
过点C作CE⊥CD，使CE=CD，连接BE，过点E作EF⊥BD，交BD的延长线于点F，证明△ACD≌△BCE(SAS)，得出AD=BE，证出四边形CEFD是正方形，得出EF=DF=3，由勾股定理求出BE的长，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20.【答案】245
【解析】解：作点A关于BC的对称点A′，作点A′E⊥AB，交BC于点D.
则AD=A′D，
∴AD+DE=A′D+DE≥A′E.
即AD+DE的最小值为A′E.
∵△ABC的面积是6，∠C=90∘，AB=5，
∴BC=2×65=2.4，
∴AB=10，AA′=12，
∵S△AA′B=12AB⋅A′E=12AB⋅AE=2S△ABC=2×6=12，
∴A′E=12×25=245，
即AD+DE的最小值为245.
故答案为：245.
作点A关于BC的对称点A′，作点A′E⊥AB，交BC于点D.则AD=A′D，所以AD+DE=A′D+DE≥A′E.即AD+DE的最小值为A′E.
此题考查了角平分线的性质，角平分线的性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握此性质是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)(− 2)2+|1− 3|+(−13)−1
=2+( 3−1)+(−3)
=2+ 3−1−3
= 3−2.
(2)∵3(2x+1)2=27，
∴(2x+1)2=9，
∴2x+1=−3或2x+1=3，
解得：x=−2或x=1.
【解析】(1)首先计算乘方、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
(2)首先求出(2x+1)2的值，然后根据平方根的含义和求法，求出2x+1的值，进而求出x的值即可．
此题主要考查了平方根的含义和求法，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
22.【答案】(−3,−2)
【解析】解：(1)如图，C的坐标是(−3,−2)；
故答案为：(−3,−2)；
(2)如图，点P1、P2、P3为所作．
(1)利用点A、B的坐标画出平面直角坐标系，然后写出C点坐标；
(2)先画出A点关于直线BC的对称点P1，再把B点先左平移3个单位，接着向下平移4个单位得到点P2，然后作点P2关于直线BC的对称点P3.
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等会三角形的判定．
23.【答案】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠CDB=90∘，
∵AB=AC，
∴∠EBC=∠DCB，
在△BCE与△CBD中，
∠BEC=∠CDB∠EBC=∠DCBBC=CB，
∴△BCE≌△CBD(AAS)，
∴BD=CE，∠BCE=∠CBD，
∴FB=FC，
∴CE−FC=BD−FB，
即EF=DF.
【解析】根据垂直的定义及等腰三角形的性质得出∠BEC=∠CDB=90∘，∠EBC=∠DCB，利用AAS证明△BCE≌△CBD，根据全等三角形的性质得出BD=CE，∠BCE=∠CBD，则FB=FC，再根据线段的和差即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△BCE≌△CBD是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图，线段BD和DE为所作；
(2)∵沿BD所在直线折叠△ABC，使点C落在边AB上的点E处，
∴DC=DE=3cm，BC=BE，∠BED=∠C，
在△ADE中，∵AE2+DE2=42+32=25，AD2=52=25，
∴AE2+DE2=AD2，
∴△ADE为直角三角形，∠AED=90∘，
∴∠BCD=∠BED=90∘，
设BC=BE=xcm，则AB=(4+x)cm，
在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，
∴(5+3)2+x2=(4+x)2，
解得x=6，
∴AB=AE+BE=4+6=10(cm).
【解析】(1)先作∠ABC的平分线交AC于点D，然后过D点作DE⊥AB于E点；
(2)先利用折叠的性质得到DC=DE=3cm，BC=BE，∠BED=∠C，再利用勾股定理的逆定理证明△ADE为直角三角形，∠AED=90∘，所以∠BCD=∠BED=90∘，设BC=BE=xcm，则AB=(4+x)cm，然后在Rt△ABC中利用勾股定理得到(5+3)2+x2=(4+x)2，解方程求出x得到BE=6cm，最后计算AE+BE即可．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理的逆定理和折叠的性质．
25.【答案】解：(1)设Q与t之间的关系式为Q=kt+b(k、b为常数，且k≠0).
将坐标(0,60)和(8,20)代入Q=kt+b，
得b=608k+b=20，解得k=−5b=60，
∴Q与t之间的关系式为Q=−5t+60.
(2)当Q=15时，得−5t+60=15，解得t=9，
40×9=360(千米)，
∴甲、乙两地之间的路程为360千米．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)根据(1)中得到函数关系式，当Q=15时，求出对应的行驶时间t，再由“路程=速度×时间”计算甲、乙两地之间的路程即可．
本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把y=0代入y=−2x+2，得0=−2x+2，
解得x=1，
∴A的坐标为(1,0)，
把(1,0)代入y=kx−12，得0=k−12，
解得k=12，
∴直线AC关系式为y=12x−12，
把(m,1)代入y=12x−12，得1=12m−12，
解得m=3；
(2)AB⊥AC，
理由：过点C作CD⊥OA，交OA的延长线于点D，
∴∠AOB=∠CDA=90∘.
把x=0代入y=−2x+2，得y=2，
∴点B的坐标为(0,2)，
∴OB=2，
∵A的坐标为(1,0)，
∴OA=1，
∵C的坐标是(3,1)，
∴OD=3，CD=1，
∴AD=OD−OA=2，
∴OA=CD，OB=AD，
在△OAB和△DCA中，
OA=DC∠AOB=∠CDAOB=DA，
∴△OAB≌△DCA(SAS)，
∴∠OBA=∠DAC，
∵∠OBA+∠OAB=90∘，
∴∠DAC+∠OAB=90∘
∴AC⊥AB.
【解析】(1)根据直线y=−2x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，可以求得点A的坐标，再根据直线y=kx−12过点A和点C(m,1).即可求得m的值；
(2)先判断，然后先证明△OAB≌△DCA，再根据直角三角形的性质，即可求得结论成立．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、三角形全等、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
27.【答案】(1)证明：如图1，∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB−∠ACD=∠ECD−∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD.
(2)证明：如图1，连接EF，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠B，
∵AC=BC，∠ACB=90∘，
∴∠CAB=∠B=90∘，
∴∠EAF=∠EAC+∠CAB=90∘，
∴AF2+AE2=EF2，
∵AE=BD，
∴AF2+BD2=EF2，
∵CF平分∠DCE，
∴∠ECF=∠DCF，
在△ECF和△DCF中，
EC=DC∠ECF=∠DCFCF=CF，
∴△ECF≌△DCF(SAS)，
∴EF=DF，
∴AF2+BD2=DF2.
(3)解：作CG⊥AB于点G，则∠AGC=90∘，
∵BC=2，
∴AC=BC=2，
∵∠ACB=120∘，
∴∠CAB=∠B=12×(180∘−120∘)=30∘，
∴CG=12AC=12×2=1，
∴AG= AC2−CG2= 22−12= 3，
∵EF⊥AB，
∴∠DFE=90∘，
由(2)得△ECF≌△DCF，
∴∠CFE=∠CFD=12∠DFE=45∘，
∴∠FCG=∠CFD=45∘，
∴FG=CG=1，
∴AF=AG−FG= 3−1，
∴AF的长度是 3−1.
【解析】(1)由∠ACB=∠ECD，推导出∠BCD=∠ACE，而AC=BC，EC=DC，即可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，得AE=BD；
(2)连接EF，由全等三角形的性质得∠EAC=∠B，由AC=BC，∠ACB=90∘，得∠CAB=∠B=90∘，则∠EAF=∠EAC+∠CAB=90∘，所以AF2+AE2=EF2，而AE=BD，所以AF2+BD2=EF2，再证明△ECF≌△DCF，得EF=DF，所以AF2+BD2=DF2；
(3)作CG⊥AB于点G，由∠ACB=120∘，得∠CAB=∠B=30∘，则CG=12AC=1，所以AG= AC2−CG2= 3，因为EF⊥AB，所以∠DFE=90∘，则∠CFE=∠CFD=45∘，所以∠FCG=∠CFD=45∘，则FG=CG=1，所以AF=AG−FG= 3−1.
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、勾股定理等知识，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．