初中数学人教版八年级上册11.2.2 三角形的外角导学案

这是一份初中数学人教版八年级上册11.2.2 三角形的外角导学案，共12页。

(打“√”或“×”)
1．三角形的外角大于三角形的任何一个内角．(×)
2．三角形的外角和为180°.(×)
3．三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角．(√)
4．在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．(√)
5．三角形的一个外角等于与它相邻的内角时，该三角形是直角三角形．(√)
知识点1 三角形外角性质的应用
1．(概念应用题)如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是( C )
A．∠1，∠2 B．∠2，∠3
C．∠1，∠3 D．∠1，∠2，∠3
【解析】属于△ABC外角的有∠1，∠3，共2个．
2．(教材P16练习T(4)改编)(2020·包头中考)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB.若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为( B )
A.50° B．55° C．70° D．75°
【解析】∵∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，
∴∠ACE＝180°－∠ACB－∠ECD＝55°，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE＝55°.
3．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B )
A.∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
【解析】∵∠1是△ACD的外角，
∴∠1＞∠A；
∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A.
4．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝55°，则∠ACD＝__100°__．
【解析】∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝55°，
∴∠EAC＝2∠DAE＝2×55°＝110°，
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC＝∠B＋∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠ACB＝∠EAC－∠B＝110°－30°＝80°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－80°＝100°.
知识点2 三角形内、外角性质的综合应用
5．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为( B )
A.65° B．70° C．75° D．85°
【解析】∵DE⊥AB，∠A＝35°，
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
∴∠ACB＝∠D＋∠CFD＝15°＋55°＝70°.
6．(2021·武汉质检)如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为( C )
A.80° B．82° C．84° D．86°
【解析】设∠1＝∠2＝x，
∵∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2x，
∴∠DAC＝180°－4x，
∵∠BAC＝108°，
∴x＋180°－4x＝108°，
∴x＝24°，
∴∠DAC＝180°－4×24°＝84°.
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°，则∠AEC＝__115°__．
【解析】∵∠BAC＝80°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－80°－60°＝40°，
∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－40°＝50°，
∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝ eq \f(1,2) ∠DAC＝ eq \f(1,2) ×50°＝25°，∴∠AEC＝∠DAE＋∠ADE＝25°＋90°＝115°.
8．(2021·成都模拟)如图，AB// CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．
【解析】∵在△EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，
∴∠EGF＝90°－∠E＝55°.
∵GE平分∠FGD，
∴∠EGF＝∠EGD＝55°.
∵AB∥CD，∴∠EHB＝∠EGD＝55°.
又∵∠EHB＝∠EFB＋∠E，
∴∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
9．(2021·枣庄期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【解析】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°－∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°.
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝ eq \f(1,2) ∠CBD＝65°；
(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝∠ACB－∠CBE＝90°－65°＝25°.
∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.
关键能力·综合练
10．(2020·武汉中考)将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是( A )
A.15° B．20° C．25° D．30°
【解析】∵∠B＝90°，∠A＝45°，∴∠ACB＝45°.
∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，
∴∠DEF＝30°.∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DEF＝30°，
∴∠CED＝∠ACB－∠EDC＝45°－30°＝15°.
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠ADE的度数为( C )
A．71° B．64° C．38° D．45°
【解析】由折叠可得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，
∵∠A＝26°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝26°＋45°＝71°，
∴∠ADE＝180°－71°－71°＝38°.
12．如图，顺次连接同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数为( B )
A．20° B．30° C．40° D．60°
【解析】∵∠ADE＝∠ABD＋∠A，∠EDC＝∠DBC＋∠C，∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠A＋∠C＋∠ABC，∴120°＝40°＋20°＋∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝30°.
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是∠BAC的平分线，则∠ADB的度数为__115°__．
【解析】∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝90°－40°＝50°，
∵AD是角平分线，∴∠CAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝25°，
∴∠ADB＝∠C＋∠CAD＝90°＋25°＝115°.
14．(2020·泰州中考)如图，将分别含有30°，45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为__140°__．
【解析】如图，∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，
∴∠ACD＝∠ACB－∠DCB＝90°－65°＝25°，
∵∠A＝60°，∴∠DFB＝∠AFC＝180°－∠ACD－∠A＝180°－25°－60°＝95°，∵∠D＝45°，∴∠α＝∠D＋∠DFB＝45°＋95°＝140°.
15．(生活情境题)(一题多解)如图所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC＝140°才合格，小亮通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？
【解析】方法一：如图(1)，连接AD并延长，则∠1＝∠3＋∠C，∠2＝∠4＋∠B，
所以∠BDC＝∠1＋∠2＝∠3＋∠C＋∠4＋∠B＝(∠3＋∠4)＋∠B＋∠C＝90°＋19°＋40°＝149°，
所以∠BDC≠140°，故此零件不合格．
方法二：如图(2)，延长CD交AB于E，
因为∠BDC＝∠1＋∠B，又∠1＝∠A＋∠C，
所以∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C＝90°＋19°＋40°＝149°.所以∠BDC≠140°，故此零件不合格．
方法三：如图(3)，连接BC，则∠BDC＝180°－(∠1＋∠2)，而∠1＋∠2＝180°－(∠3＋∠4＋∠A)＝ 180°－(40°＋19°＋90°)＝180°－149°，所以∠BDC＝180°－(180°－149°)＝149°，所以∠BDC≠140°，故此零件不合格．
16．(素养提升题)已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F.
(1)如图1，当E，F都在直线AB，CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为________；
(2)如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN∠MFN之间的数量关系________．
【解析】(1)如图1，过E作EH∥AB，过F作FG∥AB，
∵AB∥CD，∴EH∥CD，FG∥CD，
∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，
∴∠BME＋∠DNE＝∠MEH＋∠NEH＝∠MEN＝80°，∴∠AME＋∠CNE＝360°－(∠BME＋∠DNE)＝280°，
∵MF，FN分别平分∠AME和∠CNE，
∴∠AMF＋∠CNF＝ eq \f(1,2) ×280°＝140°，
∵AB∥FG∥CD，∴∠AMF＝∠MFG，∠NFG＝∠CNF，∴∠MFN＝∠MFG＋∠NFG＝∠AMF＋∠CNF＝140°.
答案：140°
(2)∠MEN＝2∠MFN，理由：如图2，MF平分∠AME，∴∠4＝ eq \f(1,2) ∠AME＝∠HMG，
∴∠HMG＝180°－∠MHG－∠3，∴∠4＝180°－∠MHG－∠3，∵∠4＝∠E＋∠3，
∴180°－∠MHG－∠3＝∠E＋∠3，
∴∠MHG＝180°－∠E－2∠3，
∵FN平分∠CNH，∴∠5＝ eq \f(1,2) ∠CNH，
∴∠DNH＝180°－2∠5，∵∠5＝∠2＋∠F，
∴∠DNH＝180°－2∠2－2∠F，
∵AB∥CD，∴∠MHG＝∠DNH，
∴180°－∠E－2∠3＝180°－2∠2－2∠F，
∵∠2＝∠3，∴∠E＝2∠F；
(3) eq \f(1,2) ∠E＋∠MFN＝180°，
证明：如图3，∵AB∥CD，
∴∠MGE＝∠ENC，∵NF平分∠ENC，
∴∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG，∵MF平分∠AME，∴∠AME＝2∠1＝∠E＋∠MGE＝∠E＋2∠FNG，∴∠FMG＝∠1＝ eq \f(1,2) ∠E＋∠FNG，
∵∠E＋∠MFN＝360°－∠FNG－∠EMG－∠FMG＝360°－∠FNG－(180°－∠E－2∠FNG)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)∠E＋∠FNG)) ＝180°＋ eq \f(1,2) ∠E，
∴∠MFN＋ eq \f(1,2) ∠E＝180°.
答案： eq \f(1,2) ∠E＋∠MFN＝180°
模型 三角形内、外角平分线交角的“三种关系”
(1)如图①，BP，CP为△ABC的内角平分线，则∠BPC＝90°＋ eq \f(1,2) ∠A.
(2)如图②，BP，CP为△ABC的内、外角平分线，∠BPC＝ eq \f(1,2) ∠A.
(3)如图③，BP，CP为△ABC的外角平分线，∠BPC＝90°－ eq \f(1,2) ∠A.
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