2023年高考数学一轮复习课时规范练37数学归纳法含解析新人教A版理

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课时规范练37　数学归纳法1.是否存在正整数m,使得对任意正整数n,f(n)=(2n+7)·3n+m都能被36整除?若存在,求出m的最小值,并用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请说明理由. 2.已知数列{an}的首项a1=3,an+1=2an+1(n∈N*).(1)写出数列{an}的前5项,并归纳猜想{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中所猜想的通项公式. 3.平面内有n(n≥2)个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,记这n个圆的交点个数为f(n),猜想f(n)的表达式,并用数学归纳法证明. 4.已知数列{an}的各项均为正数a1+a2+…+an=Sn,S1·S2·…·Sn=Tn,且Sn+Tn=1,n∈N*,求数列前10项的和. 答案：课时规范练1.解:由f(n)=(2n+7)·3n+m,得f(1)=27+m,f(2)=99+m,所以27+m=36,99+m=3×36,由此猜想m=9.下面用数学归纳法证明,(1)当n=1时,显然成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除.则当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最小值为9.2.(1)解:a1=3;a2=2a1+1=7;a3=2a2+1=15;a4=2a3+1=31;a5=2a4+1=63.由此归纳猜想出数列{an}的通项公式为an=2n+1-1.(2)证明当n=1时,a1=21+1-1=3,显然成立.假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即有ak=2k+1-1,则ak+1=2ak+1=2×(2k+1-1)+1=2k+2-1=2(k+1)+1-1.显然,当n=k+1时猜想也成立.故an=2n+1-1.3.解:当n=2时,f(2)=2=1×2,当n=3时,f(3)=2+4=6=2×3,当n=4时,f(4)=6+6=12=3×4,当n=5时,f(5)=12+8=20=4×5,猜想f(n)=n(n-1)(n≥2,n∈N*).下面用数学归纳法给出证明:①当n=2时,f(2)=2=2×(2-1),猜想成立.②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时猜想成立,即f(k)=k(k-1),则当n=k+1时,其中任意1个圆与其余k个圆各有两个交点,而由假设知这k个圆有f(k)个交点,所以这k+1个圆的交点个数f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2k=k2+k=(k+1)[(k+1)-1],即当n=k+1时猜想也成立.由①②知f(n)=n(n-1)(n≥2,n∈N*).4.解:由S1·S2·…·Sn=Tn,Sn+Tn=1,所以S1·S2·…·Sn=1-Sn.当n=1时,S1=,当n=2时,S2=,当n=3时,S3=,所以猜想Sn=,则S1·S2·…·Sn=Tn=(n∈N*).用数学归纳法证明:当n=1时,左边==右边,猜想成立.假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即S1·S2·…·Sk=,则当n=k+1时,左边=S1·S2·…·Sk·Sk+1==Tk+1,所以对任意的n∈N*,Sn=,所以an=Sn-Sn-1=(n≥2),当n=1时,a1=符合上式,所以an=,则=n(n+1),n∈N*,所以数列前10项的和为1×2+2×3+…+10×11=440.