备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（四十三） 直接证明与间接证明、数学归纳法

这是一份备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（四十三） 直接证明与间接证明、数学归纳法，共4页。试卷主要包含了点全面广强基训练，重点难点培优训练等内容，欢迎下载使用。
课时验收评价（四十三） 直接证明与间接证明、数学归纳法一、点全面广强基训练1．在△ABC中，sin Asin C<cos Acos C，则△ABC一定是(　 )A．锐角三角形  B．直角三角形C．钝角三角形  D．不确定解析：选C　由sin Asin C<cos Acos C得cos Acos C－sin Asin C>0，即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，从而B>，故△ABC必是钝角三角形．2．(2023·广州模拟)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　 )A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A　因为“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．3．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　 )A．x2>2  B．x2>4C．x2>0  D．x2>1解析：选C　因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<2，即证0<，即证x2>0，显然x2>0成立，故原不等式成立．4．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　 )A．1项  B．k项  C．2k－1项  D．2k项解析：选D　令不等式的左边为g(n)，则g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.故左边增加了2k项．5．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设____________________．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案：x≠－1且x≠16．小李在阅读教材时，看到“任意有理数可以写成两个整数的比．即∀x∈Q，∃m，n∈Z，且n≠0使x＝”．小李思考：整数和有限小数可化为分数，如：3＝＝＝…；1.2＝1＋＝＝；那么无限循环小数如何化成分数呢？小李想到如下方法：将3.化成分数，可设其小数部分为x，即3.＝3＋x，两边同乘10可得到：31.＝30＋10x，即31＋x＝30＋10x，解方程可得x＝，所以3.＝.应用小李的方法，则1.的分数形式的结果为________．(化成最简分数，即分子分母的最大公约数为1)解析：设1.的小数部分为x，则1.＝1＋x，两边同乘100可得131.＝100＋100x，即131＋x＝100＋100x，所以x＝，所以1.＝1＋＝.答案：7．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，第一步验证的不等式是________，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________．解析：观察不等式中分母的变化便知．答案：>－　＋＋…＋＋＞－8．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4；(2)根据计算结果，猜想{an}，{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)由已知条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，由此算出a2＝6，a3＝12，a4＝20，b2＝9，b3＝16，b4＝25.(2)由(1)的计算可以猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，由已知a1＝2，b1＝4可得结论成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时猜想成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么，当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝k2＋3k＋2＝(k＋1)·(k＋2)，bk＋1＝＝＝(k＋2)2，因此当n＝k＋1时，结论也成立．由①和②可知，对一切n∈N*，都有an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2成立． 二、重点难点培优训练1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　 )A．恒为负值  B．恒等于零C．恒为正值  D．无法确定正负解析：选A　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.2．已知a，b，c∈R，若·＞1且＋≥－2，则下列结论成立的是(　 )A．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C．a，c同号，b与它们异号D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定解析：选A　由·＞1，知与同号，若＞0且＞0，不等式＋≥－2显然成立；若＜0且＜0，则－＞0，－＞0，＋≥2 ＞2，即＋＜－2，这与＋≥－2矛盾，故＞0且＞0，即a，b，c同号．故选A.3．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.解析：由(S1－1)2＝S，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.猜想Sn＝.答案：4．给定的正整数n(n≥2)，若集合A＝{a1，a2，…，an}⊆M满足a1＋a2＋…＋an＝a1·a2·…·an，则称A为集合M的n元“好集”．(1)写出一个实数集R的2元“好集”；(2)证明：不存在自然数集N的2元“好集”．解：(1)因为－1＋＝－1×，又⊆R，所以A＝是实数集R的一个2元“好集”．(2)证明：设A＝{a1，a2}是自然数集N上的一个2元“好集”，不妨设a1<a2，①若a1＝0，则a2∈N*，故a1＋a2＝a1×a2不成立；②若a1∈N*，由a1＋a2＝a1·a2得a1＝a1·a2－a2＝(a1－1)a2，所以a1－1＝，因为a1，a2∈N*且a1<a2，所以0<<1，a1－1∈N，故a1－1＝不成立，综上所述，不存在自然数集N的2元“好集”．5．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．(1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值．(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.因为b>1，所以b＝3.(2)假设存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数，因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有即解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．