新高考数学一轮复习讲练测专题7.6数学归纳法（练）（含解析）

专题7.6   数学归纳法

1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.

【详解】

当时，左边，共个连续自然数相加，

当时，左边，

所以从到，等式左边需增添的项是.

故选：C.

2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（    ）

A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立

C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立

【答案】B

【解析】

直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．

【详解】

解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，

则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，

不是，因为是偶数，是奇数，

故选：．

3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（    ）

A．2k－1 B．2k－1

C．2k D．2k＋1

【答案】C

【解析】

根据数学归纳法、不等式特点知有左侧，有左侧，即可判断增加的项数.

【详解】

时，左边=，而n＝k＋1时，左边＝，

增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，

故选：C.

4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.

【详解】

根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当时，左端值为，

右端为，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.

故选：B.

5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“” 的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

利用数学归纳法证明“”的过程中，假设“”成立;当时，

左边为

故增加的项数为项.

故答案为：C.

6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．

【答案】5

【解析】

分别写出和时的对应的结果，再比较差异，得到答案.

【详解】

当时，原式为：，

当时，原式为，

比较后可知多了，共5项.

故答案为：5

7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．

【答案】

【解析】

当时，；

当时，；

当时，；

当时，，猜想得，

故，下面用数学归纳法证明：

①，满足，

②假设时，结论成立，即，可得，

则，

，也满足，

结合①②可知，，故答案为．

8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列中，用数学归纳法证明：.

【答案】见解析.

【解析】

当时，，，所以，时，不等式成立；

假设（）时，成立，则当时，

         ，

所以，时，不等式成立．

综上所述，不等式成立．

9.（2021·全国高三专题练习）数列满足.

（1）计算，并猜想的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

【答案】(1) ；；；.

(2)证明见解析.

【详解】

分析：（1）将n进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可.

详解：

（1）当时，，

∴；

当时，，

∴；

当时，，

∴；

由此猜想；

（2）证明：①当时，结论成立，

②假设（，且）时结论成立，即，

当时， ，

∴，∴，

∴当时结论成立，

由①②可知对于一切的自然数，成立.

10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{an}满足：，点在直线上．

（1）求的值，并猜想数列{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．

【答案】（1），，；；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先将点坐标代入直线方程，得到递推关系，再依次求出前几项，猜想通项公式；

（2）结合递推关系，用数学归纳法证明.

【详解】

(1)点在直线上可知，数列满足： ，
，．可猜得．
(2)当时，成立，
假设当时，成立，

则当时，成立，
就是说，猜想正确；

综上，．

1．（2021·全国）已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.

【详解】

因为数列满足，，

若，则，不满足，故A错误；

若，则，，，

不满足，故D错误；

又此时，不满足，故B错误；

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；

构造函数，，，所以，

则在上显然恒成立，

所以在上单调递增；

因此在上单调递增，所以，

猜想，对任意恒成立；

下面用数学归纳法证明：

（1）当时，，显然成立；

（2）假设当时，不等式成立，即恒成立；

则时，，

因为函数在上单调递增；

所以，

即成立；

由（1）（2）可得；，对任意恒成立；故C正确.

故选：C.

2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列，满足，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

转化条件为，令，通过导数可得单调递增，通过数学归纳法可证明如果，则，再令，通过导数证明后，适当放缩可得，进而可证明，即可得解.

【详解】

因为，所以，

令，则，

当时，，单调递增，

由题意，，

如果，则，

设，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，

因为，所以，

所以，

所以对于任意的，均有，

所以.

故选：B.

3．（2020·浙江省桐庐中学）数列满足，，则以下说法正确的个数（    ）

①；       

②；

③对任意正数，都存在正整数使得成立；

④.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

利用二次函数的性质及递推关系得，然后作差，可判断①，已知等式变形为，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．

【详解】

，若，则，

∴，∴，①正确；

由已知，

∴，②正确；

由及①得，，

∴，

显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，③正确；

(i)已知成立，

(ii)假设，则，

又，即，∴，

由数学归纳法思想得④正确．

∴4个命题都正确．

故选：D．

4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项错误的是（    ）.

A．是单调递增数列，是单调递减数列

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

设，则有， ，，构建，求导分析可知导函数恒大于零，即数列，都是单调数列，分别判定，，即得单调性，数列与的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证，即可证得.

【详解】

∵，，

∴，，，

设，，，则，

令，则，∴单调递增，

将，看作是函数图象上两点，则，

∴数列，都是单调数列，

，同理，，，即，，

∴单调递增，单调递减，而数列与的单调性一致，

∴是单调递增数列，是单调递减数列，A正确；

由得，

要证，即证，即，即证，

也即要证，等价于，

显然时，，时，，故成立，

∴不等式成立．B正确；

欲证，只需证，即

即，显然成立，

故，所以，

故C选项错误；

欲证，因单调性一致则只需证，只需证

因为，若，则；

又因为，若，则，

由数学归纳法有，则成立

故D选项正确。

故选：C

5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.

【答案】1010

【解析】

先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和，由此即可计算得到答案.

【详解】

先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和

当时，，成立；

假设时，

当时，

综上可得，，

则数集的所有非空子集的“积数”的和为：

故答案为：1010.

6．（2021·浙江高三期末）已知数列满足，前项和为，若，且对任意的，均有，，则_______；______.

【答案】1    2146   

【解析】

由递推关系计算出，再计算出，然后可以计算，归纳出的通项公式（可用数学归纳法证明），求得和．

【详解】

因为，，

由已知，，，，

，，，，，

归纳结论，，

证明：（1），由上面知已经成立；

假设时，假设成立，即，，

则，，，

由数学归纳法知，，对一切成立．

．

故答案为：1；2146．

7．（2020·江苏南通·高三其他）数列的前n项和为，记，数列满足，，且数列的前n项和为．

（1）请写出，，满足的关系式，并加以证明；

（2）若数列通项公式为，证明：．

【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1），，之间满足的关系式是：，证明如下：

当时， ，所以成立，

假设当时，成立，即，

当时，

，

所以成立，所以成立.

（2）由（1）得，即，

因为，所以，

当时，，成立；

假设当时，成立，，

当时，

，

所以当时，不等式成立，

所以.证毕.

8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．

（1）求数列、的通项公式；

（2）数列满足：，，证明

【答案】（1），；（2）详见解析.

【解析】

（1）由题意，得，

即，解得或，已知故．

，．

当时，，

当时，，

当时，满足上式，

，．

（2）

法1．，

，累加得当，，

当，

∴

法2．先用数学归纳法证明当，．

①当时，，左式>右式，不等式成立．

②假设时，不等式成立，即

当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立．

③由①②得证当，．

.

9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，，证明：，．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）因为，，成等差数列，即，

当时，，两式相减得，

所以是公比为2的等比数列，即，

即，由，得，

所以的通项公式．

（2）方法一（放缩法）：

因为，，所以，

当时，

所以

，

当时，，取到“”号，

综上所述，， 

方法二（数学归纳法）：

因为，，所以，

当时，左边，右边，原不等式成立；

假设当时，原不等式成立，即，

那么，当时，左边

，即时也成立，

由此可知，原不等式对于任意的均成立．

10.已知点满足，，且点的坐标为.

（1）求过点的直线的方程；

（2）试用数学归纳法证明：对于，点都在（1）中的直线上.

【答案】（1）2x+y-1=0.（2）见解析.

【解析】

(1)由P1的坐标为(1,−1)知：a1=1，b1=−1.

∴,a2=a1⋅b2=.

∴点P2的坐标为.

∴直线l的方程为2x+y-1=0.

(2)要证明原问题成立只需证明点都满足即可.

①当n=1时，2a1+b1=2×1+(−1)=1，成立.

②假设n=k(,k⩾1)时，2ak+bk=1成立，即成立，

则2ak+1+bk+1=2ak⋅bk+1+bk+1 ，

∴当n=k+1时，命题也成立.

由①②知，对n∈N∗，都有2an+bn=1，

即点在直线l上.

1．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

【答案】（1），，，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意可得，，

由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立；

（2）由（1）可知，

，①

，②

由①②得：

，

即.

2.（2017浙江）已知数列满足：，．

证明：当时

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：

当时，

假设时，，

那么时，若，则，矛盾，故．

因此

所以

因此

（Ⅱ）由得

记函数

函数在上单调递增，所以=0，

因此

故

（Ⅲ）因为

所以得

由得

所以

故

综上， ．

3．(湖北省高考真题) 已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；

（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．

【答案】（Ⅰ）．

（Ⅱ）；；．

（Ⅲ）见解析.

【解析】（Ⅰ）的定义域为，．

当，即时，单调递增；

当，即时，单调递减．

故的单调递增区间为，单调递减区间为．

当时，，即．

令，得，即．  ①

（Ⅱ）；；

．

由此推测： ．  ②

下面用数学归纳法证明②．

（1）当时，左边右边，②成立．

（2）假设当时，②成立，即．

当时，，由归纳假设可得

．

所以当时，②也成立．

根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．

（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得

，即．

4.（2021·全国高三专题练习）设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

【答案】（1），，，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；

（2）由错位相减法求解即可.

【详解】

（1）由题意可得，，

由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立；

（2）由（1）可知，

，①

，②

由①②得：

，

即.

5.(江苏省高考真题)已知函数，设为的导数，．

（Ⅰ）求的值；

（2）证明：对任意的，等式成立．

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）证明：见解析.

【解析】（Ⅰ）由已知，得

于是

所以

故

（Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，

即，类似可得

，

，

.

下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.

(i)当n=1时，由上可知等式成立.

(ii)假设当n=k时等式成立, 即.

因为

，

所以.

所以当n=k+1时,等式也成立.

综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.

令，可得().

所以()．

6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推.

（1）写出点和的坐标；

（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.

【答案】（1），，；，，；（2），证明见解析.

【解析】

（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果；

（2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论.

【详解】

（1）由得：，即；

直线方程为：，即，

令，解得：，；

直线方程为：，由得：，即；

直线方程为：，即，

令，解得：，；

直线方程为：，

由得：，即；

直线方程为，即，

令，解得：，；

（2）由（1）猜想的坐标为，

设，，则直线的方程为：，

令，解得：，，

直线的斜率为，即，即，

，

用数学归纳法证明的坐标如下：

①当时，满足；

②假设当时，成立，

那么当时，由得：

，解得：，

即当时，成立；

综上所述：.