2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练37 空间几何体的表面积与体积

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课时规范练37　空间几何体的表面积与体积基础巩固组1.(2022全国甲,文4)如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为(　　)A.8 B.12 C.16 D.202.某中学开展劳动实习,学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片,如图所示,裁掉阴影部分,然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒,则此包装盒的容积为(　　)A.144 B.72 C.36 D.243.(2022河南郑州二模)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(　　)A. B. C.1 D.4.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,∠BAC=.若三棱锥P-ABC的各顶点都在球O的球面上,则球O的半径为(　　)A.1 B. C. D.5.在等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,以底边BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球,则球的最大体积为(　　)A. B. C. D.6.(2022河南郑州三模)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则球心O到平面ABC的距离为　　　　　. 综合提升组7.已知正三棱柱的高与底面边长均为2,则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为(　　)A. B. C. D.8.已知圆锥的底面圆周和顶点都在一半径为1的球的球面上,当圆锥体积为球体积的时,圆锥的高为(　　)A.1或 B.1或C.1或 D.1或9.半径为1的球O内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是　　　　　. 创新应用组10.(2022山西太原三模)在一个棱长为4的正方体内,你认为最多放入的直径为1的球的个数为(　　)A.64 B.65 C.66 D.67  
参考答案课时规范练37　空间几何体的表面积与体积1.B　该多面体的直观图如图所示,多面体是一个正方体和一个三棱柱的组合体,所以多面体的体积为V=2×2×2+×2×2×2=12,故选B.2.B　如图,由正六边形的每个内角为,按虚线处折成高为的正六棱柱,即BF=,所以BE==1,可得正六棱柱底边边长AB=6-2×1=4,所以此包装盒的容积V=6××42×=72.3.D　由三视图还原几何体如图,△ABC,△BDC分别是腰长为2,的等腰直角三角形,且平面ABC⊥平面BDC,所以几何体体积为×2××()2=.故选D.4.D　在△ABC中,设其外接圆半径为r,由正弦定理可得=2r,解得r=2,三棱锥P-ABC补成三棱柱ABC-PB1C1,点O1,O2分别是△ABC,△PB1C1的外心,连接O1O2,则球心O是O1O2的中点,连接O1A,OA,设三棱锥P-ABC外接球半径为R,R=.5.A　如图,据题意可得几何体的轴截面为边长为2、邻边的一夹角为60°的菱形,即菱形中的圆与该菱形内切时,球的体积最大,可得内切圆的半径r=|OM|=|OA|·cos 30°=|AB|·sin 30°·cos 30°=2×,故V=×π×3=.6.　设△ABC的边长为a,外接圆半径为r,则S△ABC=a2·,解得a=,由正弦定理可得2r==2,解得r=1.设球O的半径为R,则4πR2=16π,解得R=2,则球心O到平面ABC的距离为.7.A　设正三棱柱ABC-A1B1C1,取三棱柱ABC-A1B1C1的两底面中心O,O1,连接OO1,取OO1的中点D,连接BD,则BD为正三棱柱外接球的半径.∵△ABC是边长为2的正三角形,O是△ABC的中心,∴BO=×2=.又OD=OO1=AA1=1,∴BD=.∴正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为4π×BD2=.根据题意可知,当一个球的半径r等于底面正三角形内切圆的半径时,这个球是正三棱柱内半径最大的球,即r=×2=,∴正三棱柱ABC-A1B1C1内半径最大的球表面积为4π×r2=,∴该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为.8.D　①如图所示,设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R,则h=R+=1+≥1,因为圆锥体积为球体积的,所以πr2h=πR3,化简得r2(1+)=1,令=t,则r2=1-t2,所以t(t2+t-1)=0,解得t=(舍去)或t=或t=0,所以h=或h=1.②如图所示,设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R,则h=R-=1-≤1,因为圆锥体积为球体积的,所以πr2h=πR3,化简得r2(1-)=1,令=t,则r2=1-t2,所以t(t2-t-1)=0,解得t=(舍去)或t=0,所以h=1,综上h=或h=1.9.4π-3　如图所示,设球心为O点,上下底面的中心分别为O1,O2,设正三棱柱的底面边长与高分别为x,h,则O2A=x,在Rt△OAO2中,x2=1,化为h2=4-x2,∵S侧=3xh,∴=9x2h2=12x2(3-x2)≤12=27,当且仅当x=时取等号,S侧=3,∴球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4π-3,故答案为4π-3.10.C　本题关键在于判断一共可以放几层,根据球体的性质,应采用“插空,错心”方式填充,每层的球心在同一水平面内,上、下两层的球都相切,四球共托一球.易求各棱长为1的正四棱锥的高为,即上层球的球心到下层四个球的球心所在面的距离为,如图所示.所以第一层能放16个,高度为1;第2层放在每4个小球中间的空隙,共放9个,高度为1+;第3层继续往空隙放,可放16个,高度为1+;第4层同第2层放9个,高度为1+;第5层同第1层能放16个,高度为1+2<4.又因为1+>4,所以最多可以放入小球的个数为16+9+16+9+16=66.