高考数学一轮复习考点规范练50双曲线含解析新人教A版理

考点规范练50　双曲线

基础巩固

1.若双曲线=1(a>0)的一条渐近线与直线y=x垂直,则此双曲线的实轴长为(　　)

A.2 B.4 C.18 D.36

答案:C

解析:双曲线的一条渐近线的方程为y=-x,所以-=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18,故选C.

2.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(　　)

A=1 B=1

C=1 D=1

答案:A

解析:由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,

则||PF1|-|PF2||=8.

由双曲线的定义知a=4,b=3.

故曲线C2的标准方程为=1.

3.当双曲线M:=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x

答案:C

解析:由题意,知c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当m=-1时,焦距2c取得最小值,则双曲线的方程为x2-=1,其渐近线方程为y=±2x.

4.(2020全国Ⅱ,理8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　)

A.4 B.8 C.16 D.32

答案:B

解析:由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±x.

因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,

所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.

所以S△ODE=×2b·a=ab=8.

所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时取等号.

所以c≥4,所以2c≥8.

所以双曲线C的焦距的最小值为8.

故选B.

5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为(　　)

A=1 B=1 C=1 D=1

答案:C

解析:∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上,

∴c=5,可得a2+b2=25.①

又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y=x上,

②

①②联立解得a=3,b=4,可得双曲线的方程为=1.

6.双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　　)

A B C.2 D.3

答案:A

解析:由已知可得a=2,b=,

则c=,∴F(,0).

∵|PO|=|PF|,∴xP=

又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=x上,

∴yP=

∴S△PFO=|OF|·|yP|=故选A.

7.(2020全国Ⅰ,理15)已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　　. 

答案:2

解析:由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=.

由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为B.

∵AB的斜率为3,∴B.

∵kAB==e+1=3,∴e=2.

8.双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为　　　　　. 

答案:9

解析:由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a≥2+4a=2+8=9.

9.设A,B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为

(1)求双曲线的方程;

(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使=t,求t的值及点D的坐标.

解:(1)由题意知a=2,故可得一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,

所以

所以b2=3,所以双曲线的方程为=1.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),

则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.

将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,

则x1+x2=16,y1+y2=12.

故解得

由=t,得(16,12)=(4t,3t),故t=4,点D的坐标为(4,3).

10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程;

(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.

解:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=

又焦距2c=4,所以虚半轴长b=

所以W的方程为=1(x).

(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而=x1x2+y1y2==2.

当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,

则x1+x2=,x1x2=,

所以=x1x2+y1y2

=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

=+m2

==2+

又因为x1x2>0,所以k2-1>0.

所以>2.

综上所述,当AB⊥x轴时,取得最小值2.

能力提升

11.设F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　　)

A B C.2 D

答案:A

解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.

∵|PQ|=|OF|=c,

∴|PA|=

∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,

∴|OA|=P.

又点P在圆x2+y2=a2上,=a2,即=a2,

∴e2==2,∴e=,故选A.

12.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

答案:B

解析:如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,

又O为F1F2的中点,∴|MF2|=2.

∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,

∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,

由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.

13.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为　　　　　. 

答案:

解析:由定义,知|PF1|-|PF2|=2a.

又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a.

在△PF1F2中,由余弦定理,

得cos∠F1PF2=e2.

要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,

∴当cos∠F1PF2=-1时,得e=,即e的最大值为

14.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.

(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;

(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.

解:(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,

则方程组有两个不同的实数根,

整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.

故

解得-<k<,且k≠±1.

双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).

(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0,-1),由(1)知,C与l联立的方程组可化简为(1-k2)x2+2kx-2=0.

故

当A,B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时,S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)=|x1-x2|;

当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,

S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)=|x1-x2|.

故S△OAB=|x1-x2|=,

即(x1-x2)2=(2)2,

即=8,

解得k=0或k=±

又-<k<,且k≠±1,

所以当k=0或k=±时,△AOB的面积为

15.如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:=1(a2>b2>0)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.

(1)求C1,C2的方程;

(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且||=||?证明你的结论.

解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.

因为点P在双曲线x2-=1上,

所以=1.故=3.

由椭圆的定义知

2a2==2

于是a2==2.

故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.

(2)不存在符合题设条件的直线.

①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,

所以直线l的方程为x=或x=-

当x=时,易知A(),B(,-),

所以||=2,||=2

此时,||≠||.

当x=-时,

同理可知,||≠||.

②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.

由

得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.

当l与C1相交于A,B两点时,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1,x2是上述方程的两个实根,

从而x1+x2=,x1x2=

于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.

因为直线l与C2只有一个公共点,

所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.

化简,得2k2=m2-3,

因此=x1x2+y1y2=0,

于是+2-2,

即||2≠||2,

故||≠||.

综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.

高考预测

16.已知双曲线=1的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的一个端点为B,若△ABF为等腰三角形,则该双曲线的离心率为(　　)

A.1+ B C D

答案:A

解析:由题意得F(-c,0),A(a,0),不妨设B(0,b),则|BF|=>c,|AF|=a+c>c,|AB|==c,

∵△ABF为等腰三角形,

∴只能是|AF|=|BF|,

∴a+c=

∴a2+c2+2ac=c2+c2-a2.

∴c2-2a2-2ac=0,

即e2-2e-2=0,e=1+(舍去负值),选A.