广西专用高考数学一轮复习考点规范练37直接证明与间接证明含解析新人教A版理

考点规范练37　直接证明与间接证明

基础巩固

1.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明(　　)

A.2ab-1-a2b2≤0  B.a2+b2-1-0

C-1-a2b2≤0  D.(a2-1)(b2-1)≥0

答案:D

解析:在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.

2.(2020河南洛阳期中)若P=,Q=(a≥0),则P,Q的大小关系是(　　)

A.P>Q  B.P=Q

C.P<Q  D.由a的取值确定

答案:C

解析:∵P=,Q=(a≥0),

∴P2=2a+5+2=2a+5+2,

Q2=2a+5+2=2a+5+2

∵a2+5a<a2+5a+6,

∴P2<Q2.∴P<Q.故选C.

3.利用反证法证明“若x2+y2=0,则x=y=0”时,应假设(　　)

A.x,y都不为0  B.x≠y,且x,y都不为0

C.x≠y,且x,y不都为0 D.x,y不都为0

答案:D

解析:原命题的结论是x,y都为零,利用反证法时,应假设x,y不都为零.

4.设a,b是两个实数,下列条件中,能推出“a,b中至少有一个大于1”的是(　　)

A.a+b>1 B.a+b>2 C.a2+b2>2 D.ab>1

答案:B

解析:若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故A推不出;

若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故C推不出;

若a=-2,b=-3,则ab>1,故D推不出;

对于B,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,

反证法:假设a≤1,且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,

因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.

5.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+(　　)

A.都大于2  B.都小于2

C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2

答案:D

解析:∵a>0,b>0,c>0,6,当且仅当a=b=c=1时等号成立,故三个数不能都小于2,即至少有一个不小于2.

6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减.若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(　　)

A.恒为负值 B.恒等于零

C.恒为正值 D.无法确定正负

答案:A

解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.

7.设a>b>0,m=,n=,则m,n的大小关系是　　　　　. 

答案:m<n

解析:(方法一:取特殊值法)取a=2,b=1,得m<n.

(方法二:分析法)因为a>b>0,所以要得出m与n的大小关系,只需判断与1的大小关系,只需判断与1的大小关系,只需判断a+b-2-(a-b)与0的大小关系,只需判断2b-2与0的大小关系,只需判断与0的大小关系.由a>b>0,可知<0,即<1,即可判断m<n.

8.某同学在证明命题时作了如下分析,请你补充完整.

要证明,只需证明　　　　　　　　　,只需证明　　　　　　　　　　, 

展开得9+2<9+2,即,只需证明14<18,　　　　　　　　　, 

所以原不等式成立.

答案:　()2<()2　因为14<18显然成立

解析:要证明,只需证明,只需证明()2<()2,展开得9+2<9+2,即,只需证明14<18.

因为14<18显然成立,

所以原不等式成立.

9.(2020江苏镇江期末)(1)已知a>b>0,m>0,用分析法证明:;

(2)已知实数a,b,c,d满足ac≥2(b+d),用反证法证明:方程x2+ax+b=0与方程x2+cx+d=0至少有一个方程有实根.

答案:证明(1)由于a>b>0,m>0,故要证明成立,

则只需证明b(a+m)<a(b+m),

即证ab+bm<ab+am成立,

即bm<am成立,即b<a成立即可.

由条件知b<a成立,故成立.

(2)反证法:假设结论不成立,即方程x2+ax+b=0与方程x2+cx+d=0都没有实根,

则两方程的判别式分别满足Δ1=a2-4b<0,Δ2=c2-4d<0,

则a2+c2-4d-4b<0,即4d+4b>a2+c2,

即4d+4b>a2+c2≥2ac,

即2(b+d)>ac,这与条件ac≥2(b+d)矛盾,

即假设不成立,故原命题成立.

能力提升

10.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(　　)

A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形

D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

答案:D

解析:由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.

由

则A2+B2+C2=,这与三角形内角和为180°相矛盾.

因此假设不成立,故△A2B2C2是钝角三角形.

11.(2020湖南长沙模拟)已知a,b,c,d均为正实数,设S=,则下列判断中正确的是(　　)

A.0<S<1 B.1<S<2 C.2<S<3 D.3<S<4

答案:B

解析:因为a>0,b>0,c>0,d>0,所以S==1,即S>1;

因为,

所以=1,

=1,

即S=<2,

所以1<S<2.

故选B.

12.已知a>b>c,求证:0.

答案:证明因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0.

所以4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)]2=(a-c)2.

所以,

即0.

所以0.

高考预测

13.德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半;如果n是奇数,则将它乘3加1(即3n+1),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定,现在请你研究:如果对正整数n(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1(注:1可以多次出现),那么n的所有不同值的个数为(　　)

A.4 B.6 

C.32 D.128

答案:B

解析:如果正整数n按照上述规则施行变换后的第8项为1,

那么变换中的第7项一定是2,

变换中的第6项一定是4,

变换中的第5项可能是1,也可能是8,

变换中的第4项可能是2,也可能是16.

当变换中的第4项是2时,变换中的第3项是4,变换中的第2项是1或8,变换中的第1项是2或16;

当变换中的第4项是16时,变换中的第3项是32或5,变换中的第2项是64或10,变换中的第1项是128,21或20,3.

综上,n的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128共6个.