（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点37 直线及其方程 (含解析)

考点三十七  直线及其方程

知识梳理

1．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．

2．直线的斜率

(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan α.

(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.

(3) 直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系

每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：

3．直线方程的五种形式

4．过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程

(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；

(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；

(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0；

(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0.

5．线段的中点坐标公式

若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．

典例剖析

题型一  直线的倾斜角和斜率

例1　已知两点A(－3，)，B(，－1)，则直线AB的倾斜角等于__________．

答案  π

解析  斜率k＝＝－，

又∵θ∈[0，π)，

∴θ＝π.

变式训练  经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝__________．

答案  －3

解析  由＝＝y＋2，

得y＋2＝tan＝－1.∴y＝－3.

解题要点  求斜率的常见方法：

1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．

2．若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．

3．若已知直线的一般式方程ax＋by＋c＝0，一般根据公式k＝－求斜率．

题型二  直线方程的求解

例2　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2，1)，C(－2,3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE的方程．

解析　(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.

(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2.

BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.

(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.

由(2)知，点D的坐标为(0,2)．

由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.

变式训练  根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.

解析　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，

从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.

故所求直线方程为y＝±(x＋4)．

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3,4)，

从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；

当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.

由点线距离公式，得＝5，解得k＝.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

解题要点  在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

题型三  直线的截距式方程有关的易错题

例3　过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为__________________．

答案　x＋y－1＝0或3x＋2y＝0

解析　(1)当截距不为0时，设所求直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.

∵点P(－2，3)在直线l上，∴－2＋3－a＝0，

∴a＝1，所求直线l的方程为x＋y－1＝0.

(2)当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，则有3＝－2k，即k＝－，

此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.

综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.

变式训练  过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．

答案  y＝－x或x－y＋8＝0

解析  (1)当直线过原点时，直线方程为y＝－x；

(2)当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8.

即直线方程为x－y＋8＝0.

解题要点  1.弄清截距和距离的区别：截距不是距离，而是一个坐标值，纵截距是直线与y轴交点的纵坐标值，横截距是直线与x轴交点的横坐标值．截距可为一切实数，而距离是一个非负数．

2.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．

3.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.

当堂练习

1．已知直线l：y＝x，则直线l的倾斜角为__________．

答案 

解析  ∵k＝1.故倾斜角为.

2．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为__________．

答案  2x＋y－1＝0

解析  因所求直线与直线x－2y＋3＝0垂直，故可设为2x＋y＋m＝0.

又因为所求直线过点(－1,3)，所以有2×(－1)＋3＋m＝0，解得m＝－1.

故所求直线方程为2x＋y－1＝0.

3. 如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3 的大小关系是__________．

答案  k1<k3<k2

解析  直线l1的斜率角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2.

4．（2015山东理）一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为__________．

答案　－或－

解析　由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.

5．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________．

答案　x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0

解析　由题意可设直线方程为＋＝1.则解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.

课后作业

一、    填空题

1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为__________．

答案  －

解析  过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为＝ ，即y＝2x＋3，令y＝0得x＝－，即为所求．

2．已知直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于__________．

答案  －1或2

解析  由l1∥l2，得(a－1)×a－2×1＝0，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.

当a＝－1时，l1：－2x＋2y＋1＝0，即2x－2y－1＝0，

l2：x－y＋3＝0，显然l1∥l2.

当a＝2时，l1：x＋2y＋1＝0，

l2：x＋2y＋3＝0，显然l1∥l2，

综上，a＝－1或2.

3．已知A(3,4)，B(－1,0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是__________．

答案  x＋y－2－＝0

解析  由题意可知A、B两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的斜率k＝tan120°＝－

∴直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－2－＝0.

4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是__________．

答案  －2或1

解析  由题意，知a≠0，令x＝0，得y＝2＋a；令y＝0，得x＝，故2＋a＝，

解得a＝－2或a＝1.

5．直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0的倾斜角是__________．

答案　50°

解析　将直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0化成xcos40°－ysin40°－1＝0，其斜率为k＝＝tan50°，倾斜角为50°.

6．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0平行，则l的方程是_________________．

答案  2x－3y＋8＝0

解析  ∵2x－3y＋4＝0的斜率为k＝，

∴所求的直线方程为y－2＝(x＋1)，即2x－3y＋8＝0.

7．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为__________．

答案　1

解析　∵kMN＝＝1，∴m＝1.

8．已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________．

答案　

解析　直线PQ的斜率为－，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，

tan60°＝.

9．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是__________．

答案  (－2,1)

解析  k＝tanα＝ ＝. ∵α为钝角，

∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.

10．过两直线x＋3y－10＝0和y＝3x的交点，并且与原点距离为1的直线方程为__________．

答案  x＝1或4x－3y＋5＝0

解析  设所求直线为(x＋3y－10)＋λ(3x－y)＝0，

整理得(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.

由点到直线距离公式得＝1，

解得λ＝±3.

∴所求直线为x＝1或4x－3y＋5＝0.

11．直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．

答案  [0，]∪[π，π)

解析 由题知k＝－cosθ，故k∈[－，]，结合正切函数的图象，当k∈[0，]时，直线倾斜角α∈[0，]，当k∈[－，0)时，直线倾斜角α∈[π，π)，故直线的倾斜角的范围是[0，]∪[π，π)．

二、解答题

12．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．

解析  设所求直线方程为＋＝1，由已知可得

解得或，

∴所求直线方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0．

13．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：

(1)△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程；

(2)BC边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．

解析  (1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标为，，所以这条直线的方程为＝，整理得6x－8y－13＝0，化为截距式方程为－＝1.

(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为－＝1.