人教版高考数学一轮复习考点规范练37空间直线、平面的垂直含答案

考点规范练37　空间直线、平面的垂直

1.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是 (　　)

A.平面ABC⊥平面ABD

B.平面ABD⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE

D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE

答案  C

解析  因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.

2.(2021山东肥城三模)如图,AB为圆锥底面直径,C是底面圆O上异于A,B的动点.已知OA=,圆锥侧面展开图是圆心角为π的扇形,则当PB与BC所成角为时,PB与AC所成角为(　　)

A. B. C. D.

答案  C

解析  设圆锥母线长为l,则l·π=2π,解得l=2.

∵PB=PC,且PB与BC所成的角∠PBC=,∴BC=2.

又OA=,∴在Rt△ABC中,AC=2.

如图,作BD∥AC与圆O交于点D,

连接AD,则四边形ACBD为平行四边形,BD=AC=2,

连接PD,则∠PBD为PB与AC所成角.

在△PBD中,PD=PB=2,BD=2,可得PD⊥PB,∴∠PBD=.

3.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是(　　)

A.l⊂α,m⊂β,且l⊥m

B.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n

C.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m

D.l⊂α,l∥m,且m⊥β

答案  D

解析  ∵m⊥β,l∥m,∴l⊥β.又l⊂α,∴α⊥β,故选D.

4.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在 (　　)

A.直线AB上 B.直线BC上

C.直线AC上 D.△ABC内部

答案  A

解析  连接AC1,由BC1⊥AC,BA⊥AC,得AC⊥平面ABC1,

所以平面ABC⊥平面ABC1,

所以C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.

5.如图,直线PA垂直于☉O所在的平面,△ABC内接于☉O,且AB为☉O的直径,点M为线段PB的中点.给出下列结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是(　　)

A.①② B.①②③

C.① D.②③

答案  B

解析  对于①,∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,

∴PA⊥BC.

∵AB为☉O的直径,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,

∴BC⊥PC;

对于②,∵点M为线段PB的中点,AB为☉O的直径,

∴OM∥PA.

∵PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,

∴OM∥平面PAC;

对于③,由①知BC⊥平面PAC,

∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离.

故①②③都正确.

6.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:　　　　　　　.(用序号表示) 

答案  ①③④⇒②(或②③④⇒①)

解析  逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.

7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别为线段CD,AB上的点,且,现将△ADE沿AE翻折成四棱锥P-ABCE,且二面角P-AE-B的大小为.

(1)证明:AE⊥PF;

(2)求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.

(1)证明连接DF交AE于点M,连接EF,如图.

∵在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,,

∴四边形ADEF为边长为2的正方形.

∴AE⊥DF,且DM=MF=.

在四棱锥P-ABCE中,AE⊥PM,AE⊥MF,PM∩MF=M,

∴AE⊥平面PMF.又PF⊂平面PMF,

∴AE⊥PF.

(2)解设点F到平面PAE的距离为d1,点B到平面PAE的距离为d,由(1)知∠PMF是二面角P-AE-B的平面角,∴∠PMF=.

∵AE⊥平面PMF,AE⊂平面PAE,∴平面PMF⊥平面PAE.过点F作FH⊥PM于点H,

∵平面PMF∩平面PAE=PM,∴FH⊥平面PAE.

由(1)知在△PMF中,PM=MF=,

∴∠FPM=,PF=,

∴d1=FH=PF=.

∵,∴d=d1=.

在Rt△APM中,可得PA=2,在△PAF中,有PF2=PA2+FA2-2PA·FA·cos∠PAF,

在△PAB中,有PB2=PA2+AB2-2PA·AB·cos∠PAF,

解得PB=.∴sin θ=,

∴直线PB与平面PAE所成角的正弦值为.