2021学年第三章 万有引力定律第三节 万有引力定律的应用学案

第三节　万有引力定律的应用

学习目标：1.[科学态度与责任]了解万有引力定律在天文学上的重要应用。　2.[科学思维]会用万有引力定律计算天体质量，了解“称量地球质量”的基本思路。　3.[科学思维]掌握解决天体运动问题的基本思路。

一、预测未知天体

1．海王星的发现

英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒威耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日柏林天文台的望远镜对准他们笔下计算出来的位置，终于，一颗新的行星——海王星被发现了。

2．英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言了哈雷彗星的“按时回归”，确立了万有引力定律的地位，显示了科学理论对实践的巨大指导作用。

二、估算天体的质量

方法一：月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供。即＝m月r

由此可得地球质量M地＝。

方法二：地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，有m物g＝G，由此可得M地＝。

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)利用万有引力等于向心力，可以求出中心天体的质量，也能求出卫星的质量。                             (×)

(2)利用地球半径、表面重力加速度和万有引力常量能求出地球的质量。

  (√)

(3)知道行星的轨道半径及运行周期，可计算出中心天体的质量。  (√)

(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。

  (√)

2．下列说法正确的是(　　)

A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的

B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的

C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的

D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星

D　[由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。由此可知，A、B、C错误，D正确。]

3．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。则该中心恒星与太阳的质量的比值约为(　　)

A．　　　B．1　　　C．5　　　D．10

B　[由G＝mr得M∝

已知＝，＝，则＝×≈1，B项正确。]

1．求天体质量的思路

绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量。

2．计算天体的质量

下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：

(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得

mg＝G，解得地球质量为M地＝。

(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动

G＝

3．计算天体的密度

若天体的半径为R，则天体的密度

ρ＝

将M＝代入上式得ρ＝

特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。

【例1】　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。

(1)则该天体的密度是多少？

(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？

思路点拨：(1)卫星轨道半径等于天体半径，利用＝m及ρ＝求解。

(2)利用＝及ρ的公式求解。

[解析]　设卫星的质量为m，天体的质量为M。

(1)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝

根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3

故该天体的密度为ρ＝＝＝。

(2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有

G＝m(R＋h)

M＝

ρ＝＝＝。

[答案]　(1)　(2)

注意区分R、r、h的意义：一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，h指卫星距离星球表面的高度，r＝R＋h。

1．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2，则下列说法正确的是 (　　)

A．地球的质量m地＝

B．太阳的质量m太＝

C．月球的质量m月＝

D．由题中数据可求月球、地球及太阳的密度

B　[若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有＝mg，则m地＝，A错；

根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有＝m地L2，则m太＝，B对；

由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，C、D错。]

1．两条基本思路

G＝m＝mω2r＝mr＝ma(m围绕M做匀速圆周运动)

mg＝(g为天体表面处的重力加速度)，即GM＝gR2，该公式通常被称为黄金代换式。

2．四个重要的物理量

(1)线速度v：由G＝m得v＝，可见，r越大，v越小；r越小，v越大。

(2)角速度ω：由G＝mω2r得ω＝，可见，r越大，ω越小；r越小，ω越大。

(3)周期T：由G＝mr得T＝2π，可见，r越大，T越大；r越小，T越小。

(4)向心加速度a：由G＝ma得a＝，可见，r越大，a越小；r越小，a越大。

利用上述结论可以对环绕天体运动的线速度v、角速度ω、周期T以及向心加速度a进行定性分析，也可以进行定量计算。

【例2】　天文学家发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(　　)

A．轨道半径之比约为

B．轨道半径之比约为

C．向心加速度之比约为

D．向心加速度之比约为

思路点拨：本题中涉及两个中心天体，可用万有引力定律结合向心力公式写出相应的通式，再代入题中的已知条件进行求解。

B　[由公式G＝mr，可得r＝，由M＝ρV，则＝＝＝，A错，B对；

再由G＝ma得a＝G，则＝·＝＝＝，C、D错。]

训练角度1　天体运动的定性分析

2．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　)

A．a金＞a地＞a火　　　 B．a火＞a地＞a金

C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金

A　[金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，选项A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，选项C、D均错误。]

训练角度2　天体运动的定量计算

3．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个双星系统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为(　　)

A．1∶6 400 B．1∶80

C．80∶1 D．6 400∶1

C　[月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球、地球和O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有mω2r＝Mω2R，所以＝＝，线速度和质量成反比。故选C。]

1．设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有(　　)

A．土星线速度的大小 B．土星加速度的大小

C．土星的质量 D．太阳的质量

C　[根据已知数据可求：土星的线速度大小v＝、土星的加速度a＝R、太阳的质量M＝，无法求土星的质量，所以选C。]

2．嫦娥一号是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127 min。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km。利用以上数据估算月球的质量约为(　　)

A．8.1×1010kg　　　　 B．7.4×1013kg

C．5.4×1019kg D．7.4×1022kg

D　[嫦娥一号靠月球对它的万有引力提供向心力，所以有＝m(R＋h)，代入数据得M≈7.4×1022kg。]

3．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比(　　)

A．轨道半径变小 B．向心加速度变小

C．线速度变小 D．角速度变小

A　[探测器做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则G＝mr，整理得T＝2π，可知周期T较小的轨道，其半径r也小，A正确；由G＝ma＝m＝mω2r，整理得a＝G，v＝，ω＝，可知半径变小，向心加速度变大，线速度变大，角速度变大，故B、C、D错误。]

4．2017年12月8日消息，科学家发现土卫六上有大量的碳氢化合物，比地球上的石油和天然气多几百倍。土卫六和土卫五绕土星的运动可近似看成匀速圆周运动，土卫六质量、直径、距土星中心的距离都比土卫五的这三个相应量大，两卫星相比，土卫六绕土星运动的 (　　)

A．周期较大

B．线速度较大

C．角速度较大

D．向心加速度较大

A　[A对：由开普勒第三定律＝k可知，半径越大，周期越大，所以土卫六的公转周期大。

B错：由速度公式v＝可知，公转半径越大，线速度越小，则土卫六的公转线速度小。

C错：由卫星角速度公式ω＝＝可知，半径越小，角速度越大，则土卫五的角速度大。

D错：由向心加速度公式a＝可知，公转半径越小，向心加速度越大，则土卫五的向心加速度大。]

5．有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：

(1)星球半径与地球半径之比；

(2)星球质量与地球质量之比。

[解析]　(1)由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝。

(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍。根据M＝得＝·＝。

[答案]　(1)4∶1　(2)64∶1