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高中物理第三节 万有引力定律的应用导学案
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这是一份高中物理第三节 万有引力定律的应用导学案，共21页。
1．预测地球形状
(1)万有引力主要产生两大作用效果，一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力平衡，另一方面是提供物体随地球一起自转的向心力。
因此，可以将引力F分解为F1和F2两个分量。
分力F1＝FT，就是我们所熟悉的重力。
分力F2＝mω2Rcs θ，是物体随地球自转所需的向心力，其方向垂直指向地轴。
(2)当物体从两极移向赤道时，随着纬度θ的减小，F2增大，F1减小，即物体从两极移向赤道时重力减小，而物体的质量不变，因此重力加速度g随之减小。此外，由于地球呈两极略扁的椭球状，物体在两极时受到的引力比赤道时大，从而造成物体从两极移向赤道时所受重力变小。
2．预测未知天体
(1)海王星的发现
英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶各自经过不懈的计算，分别独立推算出一颗新行星的运行轨道。1846年9月23日，柏林天文台的望远镜对准他们计算出来的轨道位置观测，终于，一颗新的行星——海王星被发现了，人们称其为“笔尖下发现的行星”。
(2)英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言的哈雷彗星“按时回归”，确立了万有引力定律的地位。
物体随地球自转的向心力特别小，一般认为地球附近的物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。( √ )
(2)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”。( × )
(3)在两极的重力加速度大于赤道处的重力加速度。( √ )
知识点二 估算天体的质量
1．月球绕地球做匀速圆周运动的向心力
F＝m月ω2r＝m月2πT2r
万有引力提供向心力
GM地m月r2＝m月2πT2r
得地球质量M地＝4π2r3GT2。
2．地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，有
m物g＝G M地m物R2
由此可得地球的质量
M地＝gR2G。
这个方法就是“第一位称量地球的人”——卡文迪许当年所使用的方法。
只要知道卫星或行星绕中心天体运动的周期及两者之间的距离，或天体半径及其表面重力加速度，就可以求出该中心天体的质量。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量。( × )
(2)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。( × )
3：填空
2017年2月，美国宇航局宣布，在一颗恒星的周围发现多达7颗大小与地球接近的行星，其中3颗可能存在生命。若某颗行星绕该恒星做圆周运动，并测出了轨道半径和运行周期。引力常量已知，则可推算出_________。
[答案] 恒星的质量
如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。
(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)已知行星绕太阳的公转周期和轨道半径如何计算太阳的质量？
(3)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？
提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
(2)由GMmr2＝m4π2T2r得M＝4π2r3GT2。
(3)由GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r表达式可知，线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。
考点1 计算天体的质量与密度
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝GMmR2，解得天体的质量为M＝gR2G，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
2．天体密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度求天体密度
由mg＝GMmR2和M＝ρ·4πR33，得ρ＝3g4πGR。
(2)利用天体的卫星求天体密度
若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得GMmr2＝m4π2T2r，中心天体质量M＝ρ·43πR3，联立可得ρ＝3πr3GT2R3。
特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝3πGT2。
角度1 天体质量的估算
【典例1】 卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”。
(1)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量。
(2)如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G，能求出太阳的质量吗？
[解析] (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，G值的确定使万有引力定律具有了实际的计算意义。由mg＝Gm地mR2得，m地＝gR2G。
(2)由Gm地m太r2＝m地4π2T2r得，m太＝4π2r3GT2，可以求出太阳的质量。
[答案] (1)m地＝gR2G (2)可以
角度2 天体密度的计算
【典例2】 某星球的自转周期为T，一个物体在该星球赤道处的重力是F1，在极地处的重力是F2，已知万有引力常量G，则星球的平均密度可以表示为( )
A．3πF2GF2-F1T B．3πF2GF2-F1T2
C．2πF2GF2-F1T2D．3πF2GF1-F2T2
B [设星球质量为M，半径为R，物体的质量为m，由于两极处物体的重力等于星球对物体的万有引力，所以F2＝GMmR2，在赤道上，万有引力可分解为重力和随地球自转的向心力，则有GMmR2＝F1＋m4π2T2R，联立解得M＝4π2F2R3GT2F2-F1，因此，星球的平均密度ρ＝MV＝4π2F2R3GT2F2-F143πR3＝3πF2GF2-F1T2。故B正确，A、C、D错误。]
求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝4π2r3GT2是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。
(2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝3πr3GT2R3进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
[跟进训练]
1．(角度1)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127 min。已知引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kgD．7.4×1022 kg
D [“嫦娥一号”靠月球对它的万有引力提供向心力，所以有GMmR+h2＝m4π2T2(R＋h)，代入数据得M≈7.4×1022 kg。]
2．(角度2)2020年11月24日，为进一步获取月球的相关数据，我国成功地进行了“嫦娥五号”的发射。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ(弧度)，引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是( )
A．3t2θ4πGs3R3 B．3s34πθGt2R3
C．4θπR3Gt23s3D．4πR3Gs33θt2
B [该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线转过的角度是θ(弧度)，所以该卫星的线速度、角速度分别为v＝st，ω＝θt，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝vω＝sθ。根据万有引力提供向心力，有GMmr2＝mv2r，得月球的质量为M＝v2rG＝s3Gt2θ，又因为月球的体积为V＝43πR3，所以月球的密度ρ＝MV＝s3Gt2θ43πR3＝3s34πθGt2R3，故B正确。]
考点2 天体运动的分析与计算
1．一个模型
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动。
2．两条思路
(1)万有引力提供向心力：Gm天mr2＝ma向＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r。
(2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体的重力：mg＝Gm天mR2，得gR2＝Gm天，这表明gR2与Gm天可以相互替代。该公式通常被称为黄金代换式。
3．四个重要结论
设质量为m的行星或卫星绕另一质量为m天的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由Gm天mr2＝mv2r得v＝Gm天r，r越大，v越小。
(2)由Gm天mr2＝mω2r得ω＝Gm天r3，r越大，ω越小。
(3)由Gm天mr2＝m2πT2r得T＝2πr3Gm天，r越大，T越大。
(4)由Gm天mr2＝ma向得a向＝Gm天r2，r越大，a向越小。
【典例3】 我国火星探测任务标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为3∶2
C．角速度大小之比为22∶33
D．向心加速度大小之比为9∶4
思路点拨：轨道周长C＝2πr，根据GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r得出线速度、角速度及向心加速度与半径的关系。
C [火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错误；火星和地球绕太阳运行可视为做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有GMmr2＝ma＝mv2r＝mω2r，解得a＝GMr2，v＝GMr，ω＝GMr3，所以火星与地球线速度大小之比为2∶3，B项错误；角速度大小之比为22∶33，C项正确；向心加速度大小之比为4∶9，D项错误。]
解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题。
[跟进训练]
3．天文学家发现了一颗“超级地球”，名为“55 Cancrie”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1480，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancrie”与地球的( )
A．轨道半径之比约为360480
B．轨道半径之比约为3604802
C．向心加速度之比约为360×4802
D．向心加速度之比约为360×480
B [由公式GMmr2＝m2πT2r，可得r＝3GMT24π2，由M＝ρV，得r超r地＝3M母M太·T超2T地2＝3V母V太·T超2T地2＝3604802，A错，B对；再由GMmr2＝ma得a＝GMr2，则a超a地＝M母M太·r地2r超2＝3M母M太·T地4T超4＝3V母V太·T地4T超4＝360×4804，C、D错。]
1．如图所示，美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝4π2R+h3Gt2，ρ＝3πR+h3Gt2R3
B．M＝4π2R+h2Gt2，ρ＝3πR+h2Gt2R3
C．M＝4π2t2R+h3Gn2，ρ＝3πt2R+h3Gn2R3
D．M＝4π2n2R+h3Gt2，ρ＝3πn2R+h3Gt2R3
[答案] D
2．若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A．3πGρ B．4πGρ
C．13πGρD．14πGρ
A [根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得GMmR2＝m2πT2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·43πR3，由以上两式可得：T＝3πGρ。]
3．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金D．v火＞v地＞v金
[答案] A
4．(新情境题，以航天员体重变化为背景考查万有引力定律的应用)某航天员在飞船起飞前测得自身连同航天服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a＝g2的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N。已知地球半径R＝6 400 km。地球表面重力加速度g取10 m/s2，引力常量G取6.67×10-11 N·m2/kg2(求解过程中可能用到1918＝1.03，2120＝1.02)。问：
(1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？
(2)该位置距地球表面的高度h为多大？
(3)地球的平均密度是多少？
[解析] (1)飞船起飞前，对航天员受力分析有G＝mg，得m＝84 kg
在h高度处对航天员受力分析，应用牛顿第二定律有F－mg′＝ma，得g'g＝2021。
(2)根据万有引力公式可知，在地面处有GMmR2＝mg
在h高度处有GMmR+h2＝mg′
解以上两式得h＝0.02R＝128 km。
(3)根据GMmR2＝mg可得，地球质量M＝gR2G
地球的密度ρ＝M43πR3＝3g4πGR
代入数据得ρ≈5.6×103 kg/m3。
[答案] (1)2021倍 (2)128 km (3)5.6×103 kg/m3
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．计算天体质量有哪几种方法？
提示：方法1：重力加速度法，即mg＝GMmR2⇒M＝gR2G；
方法2：环绕法，即GMmr2＝mv2r⇒M＝rv2G。
2．为什么说“海王星”是笔尖下发现的行星？
提示：因为其轨道是根据天王星的观测资料计算出来的。
3．天体运行的速度、周期、角速度和轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小。
冥王星是矮行星
2006年8月在布拉格举行的国际天文联合会第26届大会上，与会代表投票决定太阳系的八大行星为水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星，并将冥王星划入矮行星的行列。
按以前的认识，人们对大行星的定义是：在轨道上绕太阳运动，质量不超过木星质量的50倍，不能自身发光而只能反射太阳光的天体。这个定义并未对大行星的质量、大小规定下限。冥王星的直径只有2 300 km，是月球的2/3，质量是地球的3‰。2004年发现的塞德娜直径为1 700 km，接近冥王星。2005年美国天文学家布朗发现的2003UB313，直径约2 400 km，布朗称他发现了太阳系第十大行星。另外，直径在1 000 km左右的还有不少。如果将接近这一大小和质量的行星都称作大行星的话，那么新发现的大行星会不断增加，还存在着将原来归入小行星的“大个子”升格为大行星的可能。
天体质量决定着行星的分类、行星的演化和最终归宿。一个天体的质量如果大于木星质量的50倍，将会成为本身能发光的行星。如果天体的质量足够大，它将由于自身引力大而演化为一个球形天体，不是挤走就是吸收了在它轨道上的其他天体，从而可以形成自己独立的轨道。冥王星由于质量太小，它的轨道与海王星轨道交叉，没有形成自己独立的绕日运行轨道，故归类于矮行星。矮行星并未改变它围绕太阳旋转，受太阳引力制约的性质，只是表明其影响力不能与其他行星相比。
冥王星的质量是不是不够大？
提示：是。
课时分层作业(十) 万有引力定律的应用
题组一 天体质量和密度的计算
1．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是( )
A．3g4πRG B．3g4πR2G
C．gRGD．gRG2
A [地球表面有GMmR2＝mg，得M＝gR2G，又由ρ＝MV＝3M4πR3，得出ρ＝3g4πRG，故A正确。]
2．(多选)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥四号探测器绕月球表面的运行周期为T2，引力常量为G，由以上条件可知( )
A．地球质量为4π2r3GT12
B．月球质量为4π2r3GT12
C．地球的密度为3πGT12
D．月球的密度为3πGT22
AD [月球绕地球公转，由万有引力提供向心力得GMmr2＝m4π2T12r，解得地球的质量M＝4π2r3GT12，A正确；地球的半径未知，所以无法求解地球的密度，C错误；探测器绕月球表面运行，由万有引力提供向心力得Gmm0R2＝m04π2T22R，解得月球的质量m＝4π2R3GT22，则月球的密度ρ＝mV＝4π2R3GT2243πR3＝3πGT22，D正确，B错误。]
3．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A．R3T2r3t2 B．R3t2r3T2
C．R3t2r2T3D．R2T3r2t3
B [地球绕太阳公转，由太阳的万有引力提供地球的向心力，则得：GMmR2＝m4π2T2R，解得太阳的质量为M＝4π2R3GT2，月球绕地球公转，由地球的万有引力提供月球的向心力，则得：Gmm'r2＝m′4π2t2r，解得地球的质量：m＝4π2r3Gt2，所以太阳质量与地球质量之比Mm＝R3t2r3T2。]
4．(多选)若航天员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝2hv02L2
B．月球的质量m月＝2hR2v02GL2
C．月球的自转周期T＝2πRv0
D．月球的平均密度ρ＝3hv022πGL2
AB [根据平抛运动规律得L＝v0t，h＝12g月t2，联立解得g月＝2hv02L2，A正确；对于月球表面质量为m的物体有mg月＝Gmm月R2，解得m月＝g月R2G＝2hR2v02GL2，B正确；v0是小球做平抛运动的初速度，而非月球自转的线速度，C错误；月球的平均密度ρ＝m月43πR3＝3hv022πGL2R，D错误。]
5．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
[解析] 设卫星的质量为m，天体的质量为M。
(1)卫星距天体表面的高度为h时，GMmR+h2＝m4π2T12(R＋h)，则有M＝4π2R+h3GT12
天体的体积为V＝43πR3
故该天体的密度为ρ＝MV＝4π2R+h3GT12·43πR3＝3πR+h3GT12R3。
(2)卫星贴近天体表面运动时有GMmR2＝m4π2T22R，则有M＝4π2R3GT22，故ρ＝MV＝4π2R3GT22·43πR3＝3πGT22。
[答案] 13πR+h3GT12R3 23πGT22
题组二 天体运动的分析与计算
6．2022年我国建成载人空间站，轨道高度距地面约400 km，它将成为中国空间科学和新技术研究实验的重要基地。地球同步卫星距离地面约35 768 km。设该空间站绕地球做匀速圆周运动，其运行周期为T，轨道半径为r，引力常量为G，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．地球的质量为M＝4π2r3GT2
B．空间站的线速度大小为v＝gr
C．空间站的向心加速度大小为a＝4π2T2R
D．空间站的运行周期大于地球自转周期
A [由万有引力提供向心力得GMmr2＝m4π2rT2，解得地球的质量为M＝4π2r3GT2，A正确；由万有引力提供向心力得GMmr2＝mv2r，由地球表面物体的重力近似等于万有引力得GMm'R2＝m′g，由以上两式解得，空间站的线速度大小为v＝gR2r，B错误；空间站的加速度大小为a＝4π2rT2，C错误；空间站距地面的距离小于同步卫星到地面的距离，由轨道半径越大，周期越长知，空间站的运行周期小于同步卫星的周期，而同步卫星的周期与地球自转的周期相同，故空间站的运行周期小于地球自转的周期，D错误。]
7．(多选)空间站是空间科学和新技术研究实验的重要基地。设一空间站绕地球做匀速圆周运动，其运动周期为T，轨道半径为r，引力常量为G，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．空间站的线速度大小为v＝gr
B．地球的质量为M＝4π2r3GT2
C．空间站的向心加速度为4π2rT2
D．空间站的质量为m＝4π2r3GT2
BC [空间站绕地球做匀速圆周运动。由GMmr2＝mv2r得，v＝GMr，在地球表面有GMmR2＝mg，解得v＝gR2r，故A错；根据万有引力提供向心力有GMmr2＝ma＝m4π2T2r，解得地球的质量为M＝4π2r3GT2，空间站的向心加速度为a＝4π2T2r，B、C对；根据万有引力只能求出中心天体的质量，无法求出空间站的质量，D错。]
8．(多选)电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空标志着我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运行的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看成是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度D．线速度的大小
CD [卫星绕地球运动时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，已知卫星运动的周期T，则GMmr2＝m4π2T2r，卫星在地球表面满足GMmR2＝mg，联立可得r＝3gR2T24π2，从而可以求得卫星离地面的高度h＝r－R，选项C正确；卫星的线速度可以根据v＝2πTr求得，选项D正确；由于不知道卫星的质量，所以无法求出卫星受到的向心力，也无法求得卫星的密度，选项A、B错误。]
9．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
C [由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由GMmr2＝m2πT2r可得T＝4π2r3GM，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由GMmr2＝ma可得a＝GMr2，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D错误。]
1．(多选)某天文爱好者通过测量环绕某行星做匀速圆周运动的若干卫星的线速度v及轨道半径r，得到的v2-r图像如图所示，图中a、r1、r2已知，b未知。引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．b＝ar1r2
B．行星的质量为ar1G
C．OaAr1所围的面积和ObBr2所围的面积相等
D．轨道半径为r2的卫星所受行星的引力小于轨道半径为r1的卫星所受行星的引力
BC [若干卫星绕行星做匀速圆周运动，有GMmr2＝mv2r，即v2＝GMr，对图中A、B两点，有GMr1＝a，GMr2＝b，解得M＝ar1G，b＝r1r2a，故A错误，B正确；OaAr1所围的面积和ObBr2所围的面积均为S＝ar1＝br2＝GM，故C正确；卫星所受行星的引力F＝GMmr2，由于卫星的质量未知，则引力大小未知，故D错误。]
2．(多选)2019年4月10日，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为MR＝c22G，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知( )
A．该黑洞的质量M＝v2r2G
B．该黑洞的质量M＝v2rG
C．该黑洞的半径R＝2v2rc2
D．该黑洞的半径R＝v2rc2
BC [设环绕星体的质量为m，根据万有引力提供环绕星体做圆周运动的向心力有GMmr2＝mv2r，化简可得黑洞的质量为M＝v2rG，A错，B对；根据黑洞的质量M和半径R的关系MR＝c22G，可得黑洞的半径为R＝2GMc2＝2v2rc2，C对，D错。]
3．若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度。
[解析] (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝12g月t2，所以月球表面的自由落体加速度大小为g月＝2ht2。
(2)因不考虑月球自转的影响，则有GMmR2＝mg月，
月球的质量M＝2hR2Gt2。
(3)月球的密度ρ＝MV＝2hR2Gt243πR3＝3h2πRGt2。
[答案] (1)2ht2 (2)2hR2Gt2 (3)3h2πRGt2
4．(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即a3T2＝k，k是一个常数。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常数k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M太。
(2)开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立。经测定月地中心距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地。(G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
[解析] (1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和向心力公式有Gm行M太r2＝m行2πT2r，有r3T2＝G4π2·M太，即k＝G4π2M太。
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，可得R3T2＝G4π2M地，解得M地≈6×1024 kg。
[答案] (1)G4π2M太 (2)6×1024 kg
学习任务
1．能根据万有引力定律预测地球形状及未知天体。
2．理解计算太阳质量的基本思路，能分析和计算中心天体的质量。
3．认识人类对科学的探究永无止境，激发爱科学、学科学、用科学的热情。
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
GMmr2＝mv2r
M＝rv2G
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
GMmr2＝mrω2
M＝r3ω2G
GMmr2＝mr4π2T2
M＝4π2r3GT2
1．预测地球形状
(1)万有引力主要产生两大作用效果，一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力平衡，另一方面是提供物体随地球一起自转的向心力。
因此，可以将引力F分解为F1和F2两个分量。
分力F1＝FT，就是我们所熟悉的重力。
分力F2＝mω2Rcs θ，是物体随地球自转所需的向心力，其方向垂直指向地轴。
(2)当物体从两极移向赤道时，随着纬度θ的减小，F2增大，F1减小，即物体从两极移向赤道时重力减小，而物体的质量不变，因此重力加速度g随之减小。此外，由于地球呈两极略扁的椭球状，物体在两极时受到的引力比赤道时大，从而造成物体从两极移向赤道时所受重力变小。
2．预测未知天体
(1)海王星的发现
英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶各自经过不懈的计算，分别独立推算出一颗新行星的运行轨道。1846年9月23日，柏林天文台的望远镜对准他们计算出来的轨道位置观测，终于，一颗新的行星——海王星被发现了，人们称其为“笔尖下发现的行星”。
(2)英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言的哈雷彗星“按时回归”，确立了万有引力定律的地位。
物体随地球自转的向心力特别小，一般认为地球附近的物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。( √ )
(2)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”。( × )
(3)在两极的重力加速度大于赤道处的重力加速度。( √ )
知识点二 估算天体的质量
1．月球绕地球做匀速圆周运动的向心力
F＝m月ω2r＝m月2πT2r
万有引力提供向心力
GM地m月r2＝m月2πT2r
得地球质量M地＝4π2r3GT2。
2．地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，有
m物g＝G M地m物R2
由此可得地球的质量
M地＝gR2G。
这个方法就是“第一位称量地球的人”——卡文迪许当年所使用的方法。
只要知道卫星或行星绕中心天体运动的周期及两者之间的距离，或天体半径及其表面重力加速度，就可以求出该中心天体的质量。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量。( × )
(2)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。( × )
3：填空
2017年2月，美国宇航局宣布，在一颗恒星的周围发现多达7颗大小与地球接近的行星，其中3颗可能存在生命。若某颗行星绕该恒星做圆周运动，并测出了轨道半径和运行周期。引力常量已知，则可推算出_________。
[答案] 恒星的质量
如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。
(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)已知行星绕太阳的公转周期和轨道半径如何计算太阳的质量？
(3)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？
提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
(2)由GMmr2＝m4π2T2r得M＝4π2r3GT2。
(3)由GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r表达式可知，线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。
考点1 计算天体的质量与密度
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝GMmR2，解得天体的质量为M＝gR2G，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
2．天体密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度求天体密度
由mg＝GMmR2和M＝ρ·4πR33，得ρ＝3g4πGR。
(2)利用天体的卫星求天体密度
若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得GMmr2＝m4π2T2r，中心天体质量M＝ρ·43πR3，联立可得ρ＝3πr3GT2R3。
特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝3πGT2。
角度1 天体质量的估算
【典例1】 卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”。
(1)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量。
(2)如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G，能求出太阳的质量吗？
[解析] (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，G值的确定使万有引力定律具有了实际的计算意义。由mg＝Gm地mR2得，m地＝gR2G。
(2)由Gm地m太r2＝m地4π2T2r得，m太＝4π2r3GT2，可以求出太阳的质量。
[答案] (1)m地＝gR2G (2)可以
角度2 天体密度的计算
【典例2】 某星球的自转周期为T，一个物体在该星球赤道处的重力是F1，在极地处的重力是F2，已知万有引力常量G，则星球的平均密度可以表示为( )
A．3πF2GF2-F1T B．3πF2GF2-F1T2
C．2πF2GF2-F1T2D．3πF2GF1-F2T2
B [设星球质量为M，半径为R，物体的质量为m，由于两极处物体的重力等于星球对物体的万有引力，所以F2＝GMmR2，在赤道上，万有引力可分解为重力和随地球自转的向心力，则有GMmR2＝F1＋m4π2T2R，联立解得M＝4π2F2R3GT2F2-F1，因此，星球的平均密度ρ＝MV＝4π2F2R3GT2F2-F143πR3＝3πF2GF2-F1T2。故B正确，A、C、D错误。]
求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝4π2r3GT2是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。
(2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝3πr3GT2R3进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
[跟进训练]
1．(角度1)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127 min。已知引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kgD．7.4×1022 kg
D [“嫦娥一号”靠月球对它的万有引力提供向心力，所以有GMmR+h2＝m4π2T2(R＋h)，代入数据得M≈7.4×1022 kg。]
2．(角度2)2020年11月24日，为进一步获取月球的相关数据，我国成功地进行了“嫦娥五号”的发射。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ(弧度)，引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是( )
A．3t2θ4πGs3R3 B．3s34πθGt2R3
C．4θπR3Gt23s3D．4πR3Gs33θt2
B [该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线转过的角度是θ(弧度)，所以该卫星的线速度、角速度分别为v＝st，ω＝θt，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝vω＝sθ。根据万有引力提供向心力，有GMmr2＝mv2r，得月球的质量为M＝v2rG＝s3Gt2θ，又因为月球的体积为V＝43πR3，所以月球的密度ρ＝MV＝s3Gt2θ43πR3＝3s34πθGt2R3，故B正确。]
考点2 天体运动的分析与计算
1．一个模型
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动。
2．两条思路
(1)万有引力提供向心力：Gm天mr2＝ma向＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r。
(2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体的重力：mg＝Gm天mR2，得gR2＝Gm天，这表明gR2与Gm天可以相互替代。该公式通常被称为黄金代换式。
3．四个重要结论
设质量为m的行星或卫星绕另一质量为m天的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由Gm天mr2＝mv2r得v＝Gm天r，r越大，v越小。
(2)由Gm天mr2＝mω2r得ω＝Gm天r3，r越大，ω越小。
(3)由Gm天mr2＝m2πT2r得T＝2πr3Gm天，r越大，T越大。
(4)由Gm天mr2＝ma向得a向＝Gm天r2，r越大，a向越小。
【典例3】 我国火星探测任务标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为3∶2
C．角速度大小之比为22∶33
D．向心加速度大小之比为9∶4
思路点拨：轨道周长C＝2πr，根据GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r得出线速度、角速度及向心加速度与半径的关系。
C [火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错误；火星和地球绕太阳运行可视为做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有GMmr2＝ma＝mv2r＝mω2r，解得a＝GMr2，v＝GMr，ω＝GMr3，所以火星与地球线速度大小之比为2∶3，B项错误；角速度大小之比为22∶33，C项正确；向心加速度大小之比为4∶9，D项错误。]
解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题。
[跟进训练]
3．天文学家发现了一颗“超级地球”，名为“55 Cancrie”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1480，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancrie”与地球的( )
A．轨道半径之比约为360480
B．轨道半径之比约为3604802
C．向心加速度之比约为360×4802
D．向心加速度之比约为360×480
B [由公式GMmr2＝m2πT2r，可得r＝3GMT24π2，由M＝ρV，得r超r地＝3M母M太·T超2T地2＝3V母V太·T超2T地2＝3604802，A错，B对；再由GMmr2＝ma得a＝GMr2，则a超a地＝M母M太·r地2r超2＝3M母M太·T地4T超4＝3V母V太·T地4T超4＝360×4804，C、D错。]
1．如图所示，美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝4π2R+h3Gt2，ρ＝3πR+h3Gt2R3
B．M＝4π2R+h2Gt2，ρ＝3πR+h2Gt2R3
C．M＝4π2t2R+h3Gn2，ρ＝3πt2R+h3Gn2R3
D．M＝4π2n2R+h3Gt2，ρ＝3πn2R+h3Gt2R3
[答案] D
2．若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A．3πGρ B．4πGρ
C．13πGρD．14πGρ
A [根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得GMmR2＝m2πT2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·43πR3，由以上两式可得：T＝3πGρ。]
3．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金D．v火＞v地＞v金
[答案] A
4．(新情境题，以航天员体重变化为背景考查万有引力定律的应用)某航天员在飞船起飞前测得自身连同航天服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a＝g2的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N。已知地球半径R＝6 400 km。地球表面重力加速度g取10 m/s2，引力常量G取6.67×10-11 N·m2/kg2(求解过程中可能用到1918＝1.03，2120＝1.02)。问：
(1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？
(2)该位置距地球表面的高度h为多大？
(3)地球的平均密度是多少？
[解析] (1)飞船起飞前，对航天员受力分析有G＝mg，得m＝84 kg
在h高度处对航天员受力分析，应用牛顿第二定律有F－mg′＝ma，得g'g＝2021。
(2)根据万有引力公式可知，在地面处有GMmR2＝mg
在h高度处有GMmR+h2＝mg′
解以上两式得h＝0.02R＝128 km。
(3)根据GMmR2＝mg可得，地球质量M＝gR2G
地球的密度ρ＝M43πR3＝3g4πGR
代入数据得ρ≈5.6×103 kg/m3。
[答案] (1)2021倍 (2)128 km (3)5.6×103 kg/m3
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．计算天体质量有哪几种方法？
提示：方法1：重力加速度法，即mg＝GMmR2⇒M＝gR2G；
方法2：环绕法，即GMmr2＝mv2r⇒M＝rv2G。
2．为什么说“海王星”是笔尖下发现的行星？
提示：因为其轨道是根据天王星的观测资料计算出来的。
3．天体运行的速度、周期、角速度和轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小。
冥王星是矮行星
2006年8月在布拉格举行的国际天文联合会第26届大会上，与会代表投票决定太阳系的八大行星为水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星，并将冥王星划入矮行星的行列。
按以前的认识，人们对大行星的定义是：在轨道上绕太阳运动，质量不超过木星质量的50倍，不能自身发光而只能反射太阳光的天体。这个定义并未对大行星的质量、大小规定下限。冥王星的直径只有2 300 km，是月球的2/3，质量是地球的3‰。2004年发现的塞德娜直径为1 700 km，接近冥王星。2005年美国天文学家布朗发现的2003UB313，直径约2 400 km，布朗称他发现了太阳系第十大行星。另外，直径在1 000 km左右的还有不少。如果将接近这一大小和质量的行星都称作大行星的话，那么新发现的大行星会不断增加，还存在着将原来归入小行星的“大个子”升格为大行星的可能。
天体质量决定着行星的分类、行星的演化和最终归宿。一个天体的质量如果大于木星质量的50倍，将会成为本身能发光的行星。如果天体的质量足够大，它将由于自身引力大而演化为一个球形天体，不是挤走就是吸收了在它轨道上的其他天体，从而可以形成自己独立的轨道。冥王星由于质量太小，它的轨道与海王星轨道交叉，没有形成自己独立的绕日运行轨道，故归类于矮行星。矮行星并未改变它围绕太阳旋转，受太阳引力制约的性质，只是表明其影响力不能与其他行星相比。
冥王星的质量是不是不够大？
提示：是。
课时分层作业(十) 万有引力定律的应用
题组一 天体质量和密度的计算
1．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是( )
A．3g4πRG B．3g4πR2G
C．gRGD．gRG2
A [地球表面有GMmR2＝mg，得M＝gR2G，又由ρ＝MV＝3M4πR3，得出ρ＝3g4πRG，故A正确。]
2．(多选)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥四号探测器绕月球表面的运行周期为T2，引力常量为G，由以上条件可知( )
A．地球质量为4π2r3GT12
B．月球质量为4π2r3GT12
C．地球的密度为3πGT12
D．月球的密度为3πGT22
AD [月球绕地球公转，由万有引力提供向心力得GMmr2＝m4π2T12r，解得地球的质量M＝4π2r3GT12，A正确；地球的半径未知，所以无法求解地球的密度，C错误；探测器绕月球表面运行，由万有引力提供向心力得Gmm0R2＝m04π2T22R，解得月球的质量m＝4π2R3GT22，则月球的密度ρ＝mV＝4π2R3GT2243πR3＝3πGT22，D正确，B错误。]
3．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A．R3T2r3t2 B．R3t2r3T2
C．R3t2r2T3D．R2T3r2t3
B [地球绕太阳公转，由太阳的万有引力提供地球的向心力，则得：GMmR2＝m4π2T2R，解得太阳的质量为M＝4π2R3GT2，月球绕地球公转，由地球的万有引力提供月球的向心力，则得：Gmm'r2＝m′4π2t2r，解得地球的质量：m＝4π2r3Gt2，所以太阳质量与地球质量之比Mm＝R3t2r3T2。]
4．(多选)若航天员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝2hv02L2
B．月球的质量m月＝2hR2v02GL2
C．月球的自转周期T＝2πRv0
D．月球的平均密度ρ＝3hv022πGL2
AB [根据平抛运动规律得L＝v0t，h＝12g月t2，联立解得g月＝2hv02L2，A正确；对于月球表面质量为m的物体有mg月＝Gmm月R2，解得m月＝g月R2G＝2hR2v02GL2，B正确；v0是小球做平抛运动的初速度，而非月球自转的线速度，C错误；月球的平均密度ρ＝m月43πR3＝3hv022πGL2R，D错误。]
5．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
[解析] 设卫星的质量为m，天体的质量为M。
(1)卫星距天体表面的高度为h时，GMmR+h2＝m4π2T12(R＋h)，则有M＝4π2R+h3GT12
天体的体积为V＝43πR3
故该天体的密度为ρ＝MV＝4π2R+h3GT12·43πR3＝3πR+h3GT12R3。
(2)卫星贴近天体表面运动时有GMmR2＝m4π2T22R，则有M＝4π2R3GT22，故ρ＝MV＝4π2R3GT22·43πR3＝3πGT22。
[答案] 13πR+h3GT12R3 23πGT22
题组二 天体运动的分析与计算
6．2022年我国建成载人空间站，轨道高度距地面约400 km，它将成为中国空间科学和新技术研究实验的重要基地。地球同步卫星距离地面约35 768 km。设该空间站绕地球做匀速圆周运动，其运行周期为T，轨道半径为r，引力常量为G，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．地球的质量为M＝4π2r3GT2
B．空间站的线速度大小为v＝gr
C．空间站的向心加速度大小为a＝4π2T2R
D．空间站的运行周期大于地球自转周期
A [由万有引力提供向心力得GMmr2＝m4π2rT2，解得地球的质量为M＝4π2r3GT2，A正确；由万有引力提供向心力得GMmr2＝mv2r，由地球表面物体的重力近似等于万有引力得GMm'R2＝m′g，由以上两式解得，空间站的线速度大小为v＝gR2r，B错误；空间站的加速度大小为a＝4π2rT2，C错误；空间站距地面的距离小于同步卫星到地面的距离，由轨道半径越大，周期越长知，空间站的运行周期小于同步卫星的周期，而同步卫星的周期与地球自转的周期相同，故空间站的运行周期小于地球自转的周期，D错误。]
7．(多选)空间站是空间科学和新技术研究实验的重要基地。设一空间站绕地球做匀速圆周运动，其运动周期为T，轨道半径为r，引力常量为G，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．空间站的线速度大小为v＝gr
B．地球的质量为M＝4π2r3GT2
C．空间站的向心加速度为4π2rT2
D．空间站的质量为m＝4π2r3GT2
BC [空间站绕地球做匀速圆周运动。由GMmr2＝mv2r得，v＝GMr，在地球表面有GMmR2＝mg，解得v＝gR2r，故A错；根据万有引力提供向心力有GMmr2＝ma＝m4π2T2r，解得地球的质量为M＝4π2r3GT2，空间站的向心加速度为a＝4π2T2r，B、C对；根据万有引力只能求出中心天体的质量，无法求出空间站的质量，D错。]
8．(多选)电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空标志着我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运行的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看成是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度D．线速度的大小
CD [卫星绕地球运动时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，已知卫星运动的周期T，则GMmr2＝m4π2T2r，卫星在地球表面满足GMmR2＝mg，联立可得r＝3gR2T24π2，从而可以求得卫星离地面的高度h＝r－R，选项C正确；卫星的线速度可以根据v＝2πTr求得，选项D正确；由于不知道卫星的质量，所以无法求出卫星受到的向心力，也无法求得卫星的密度，选项A、B错误。]
9．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
C [由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由GMmr2＝m2πT2r可得T＝4π2r3GM，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由GMmr2＝ma可得a＝GMr2，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D错误。]
1．(多选)某天文爱好者通过测量环绕某行星做匀速圆周运动的若干卫星的线速度v及轨道半径r，得到的v2-r图像如图所示，图中a、r1、r2已知，b未知。引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．b＝ar1r2
B．行星的质量为ar1G
C．OaAr1所围的面积和ObBr2所围的面积相等
D．轨道半径为r2的卫星所受行星的引力小于轨道半径为r1的卫星所受行星的引力
BC [若干卫星绕行星做匀速圆周运动，有GMmr2＝mv2r，即v2＝GMr，对图中A、B两点，有GMr1＝a，GMr2＝b，解得M＝ar1G，b＝r1r2a，故A错误，B正确；OaAr1所围的面积和ObBr2所围的面积均为S＝ar1＝br2＝GM，故C正确；卫星所受行星的引力F＝GMmr2，由于卫星的质量未知，则引力大小未知，故D错误。]
2．(多选)2019年4月10日，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为MR＝c22G，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知( )
A．该黑洞的质量M＝v2r2G
B．该黑洞的质量M＝v2rG
C．该黑洞的半径R＝2v2rc2
D．该黑洞的半径R＝v2rc2
BC [设环绕星体的质量为m，根据万有引力提供环绕星体做圆周运动的向心力有GMmr2＝mv2r，化简可得黑洞的质量为M＝v2rG，A错，B对；根据黑洞的质量M和半径R的关系MR＝c22G，可得黑洞的半径为R＝2GMc2＝2v2rc2，C对，D错。]
3．若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度。
[解析] (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝12g月t2，所以月球表面的自由落体加速度大小为g月＝2ht2。
(2)因不考虑月球自转的影响，则有GMmR2＝mg月，
月球的质量M＝2hR2Gt2。
(3)月球的密度ρ＝MV＝2hR2Gt243πR3＝3h2πRGt2。
[答案] (1)2ht2 (2)2hR2Gt2 (3)3h2πRGt2
4．(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即a3T2＝k，k是一个常数。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常数k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M太。
(2)开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立。经测定月地中心距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地。(G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
[解析] (1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和向心力公式有Gm行M太r2＝m行2πT2r，有r3T2＝G4π2·M太，即k＝G4π2M太。
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，可得R3T2＝G4π2M地，解得M地≈6×1024 kg。
[答案] (1)G4π2M太 (2)6×1024 kg
学习任务
1．能根据万有引力定律预测地球形状及未知天体。
2．理解计算太阳质量的基本思路，能分析和计算中心天体的质量。
3．认识人类对科学的探究永无止境，激发爱科学、学科学、用科学的热情。
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
GMmr2＝mv2r
M＝rv2G
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
GMmr2＝mrω2
M＝r3ω2G
GMmr2＝mr4π2T2
M＝4π2r3GT2
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