2021-2022学年湖南省株洲市渌口区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省株洲市渌口区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 已知直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在▱中，如果，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如果中，，，，是斜边的中点，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(    )

A. 矩形 B. 菱形
C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形

10. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 一个矩形的两条邻边分别为，，面积______．
12. 如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为______米．

13. 如图，、两地间有一池塘阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、的中点、若的长度为，则、两地的距离为______

14. 如图，的对角线、交于点，点是的中点，的周长为，则的周长是______．

15. 如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为和时，则阴影部分的面积为______．

16. 小明在操场上从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米后，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了______米．
17. 如图，将三角尺其中，绕点按顺时针转动一个角度到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么这个角度等于______度．
18. 如图，点在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 如图，在中，，为的中点，于点，，，求的长．
     

20. 如图，菱形的边长为，过点、作对角线的垂线，分别交和的延长线于点、，．
    求证：四边形是平行四边形；
    求四边形的周长．

21. 在▱中，过点作于点，点 在边上，，连接，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，，求证：平分．

22. 如图，在菱形中，，相交于点，为的中点，．
    求的度数；
    如果，求的长．

23. 如图，四边形是矩形，把矩形沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点．
    求证：≌；
    若，，求的长度．

24. 如图，矩形中，点是线段上一动点，为的中点，的延长线交于．
    求证：；
    若厘米，厘米，从点出发，以厘米秒的速度向运动不与重合设点运动时间为秒，请用表示的长；并求为何值时，四边形是菱形．

25. 如图所示，四边形是正方形，，分别是和延长线上的点，且，连接，，．
    求证：≌；
    填空：可以由绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到；
    若，，求的面积．

26. 如图，在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上一点与点、不重合，射线与的延长线交于点．
    求证：≌；
    过点作交于点，连结，当时，
    求证：四边形是平行四边形；
    请判断四边形是否为菱形，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：直角三角形中，有一个锐角等于，
另一个锐角的度数是：，
故选：．
利用直角三角形的性质进行解答即可．
此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴两旁的部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
由在▱中，，根据平行四边形对角相等，易求得的度数．
此题考查了平行四边形的性质与平行线的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形对角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，可求得的度数，又由，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得的度数．
此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，是斜边的中点，
，
故选：．
根据勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设新多边形是边形，由多边形内角和公式得
，
解得，
原多边形是，
故选：．
根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多条边，可得答案．
本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．
根据角平分线的性质即可求得的长，然后在直角中，根据的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得长，则即可求得．
【解答】
解：是的角平分线，，，
，
又直角中，，
，
．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，根据题意得：四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，
，，，
．
原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选：．
首先根据题意画出图形，由四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．
此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．
通过勾股定理计算出长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出、两点间的距离．
【解答】
解：在中，，，，
，
将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，
，，
，
在中，
．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：矩形的两条邻边分别为，，
面积，
故答案为：．
根据矩形的面积公式解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的面积等于长宽解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，米，
故可得米．
故答案为：．
在中，由，米，即可得出的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握含角的直角三角形的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，，

故答案为：．
根据三角形中位线求出，代入求出即可．
本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

14.【答案】 

【解析】解：为中点，四边形是平行四边形，
，，，
，
的周长为，
，
的周长是，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，，，求出，求出的周长是，代入求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出，，．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解答】

解：菱形的两条对角线的长分别为和，
菱形的面积，
是菱形两条对角线的交点，
阴影部分的面积．
故答案为：．
 

16.【答案】 

【解析】解：小明每次都是沿直线前进后左转，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了．
故答案为：．
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用求出正多边形的边数，然后再乘以即可．
此题考查了正多边的外角和，分析出小明走过的图形为正多边形为解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：三角板中，旋转角是，
则．
这个旋转角度等于度．
故填．
利用旋转的性质计算．
正确记忆三角板的角的度数，理解旋转角的概念，是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
正方形的面积是，
的面积是，
阴影部分的面积是，
故答案是：．
根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．
 

19.【答案】解：，为的中点，
，
，
，
，
． 

【解析】先求出，根据含角的直角三角形的性质得出，代入求出即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质．
 

20.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形的周长．
四边形的周长为． 

【解析】由菱形的性质得出，，证明四边形是平行四边形；
根据平行四边形的性质得出，，再由角的互余关系求出，得出，求出，即可得出四边形的周长．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行四边形周长的计算；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即平分． 

【解析】根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键．
 

22.【答案】解：为的中点，，
，
四边形是菱形，
，
，
为等边三角形．
．
 在菱形中，，
，
即；
四边形是菱形，
于，，
由可知和都是等边的高，
． 

【解析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据菱形的四条边都相等可得，然后求出，从而得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
根据菱形的对角线互相平分求出，再根据等边三角形的性质可得．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
矩形沿对角线折叠点落在点处，
，，
，，
在和中，
，
≌．
解：≌，
，
设，则，
在中，
，
即，
解得，
即的长为． 

【解析】根据矩形的对边相等可得，，再根据翻折的性质可得，，然后求出，，再利用“角角边”证明即可；
设，则，由勾股定理列出方程，即求出的长为．
本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
又为的中点，
，
在与中，

≌，
；

解：，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即运动时间为秒时，四边形是菱形． 

【解析】本题需先根据四边形是矩形，得出，，再根据为的中点得出≌，即可证出．
本题需先根据已知条件得出的度数，再根据厘米，厘米，得出和的长，再根据四边形是菱形时，即可求出的值，判断出四边形是菱形．
本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】证明：四边形是正方形，
，，
而是的延长线上的点，
，
在和中，
≌；

解：≌，
，
而，
，即，
可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转 度得到；
故答案为、；

解：，
，
在中，，，
，
可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转 度得到，
，，
的面积．
根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得≌；
由于≌得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转 度得到；
先利用勾股定理可计算出，再根据可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转 度得到，，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
 

26.【答案】解：四边形是正方形，
，
是的中点，
，
又，
≌；

，
，
，
，
≌，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
当时，四边形是菱形．
设，则，
若四边形是菱形，则，
，是中点，
，
在中，由得，
解得，
即当时，四边形是菱形． 

【解析】由四边形是正方形知，由是的中点知，结合即可得证；
由知，结合得，由≌知，再由知，根据中知，从而得，据此即可证得，从而得证；
设，则，若四边形是菱形，则，由得关于的方程，解之求得的值，从而得出四边形为菱形的情况．
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点．